2024-2025學年廣西南寧高三上學期11月考試數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，則（

）A． B． C． D．2．某地鐵1號線的開通運營極大地方便了市民的出行.某時刻從A站駛往B站的過程中，10個車站上車的人數統計如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.這組數據的第90%分位數為（

）A．50 B．55 C．60 D．653．（

）A． B．0 C．1 D．24．已知，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．已知的三個內角分別為A、B、C，若A、B、C成等差數列，且，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．6．若點P是直線上的一動點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，當最小時，的余弦值為（

）A． B． C． D．7．“函數的圖象關于對稱”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數的定義域為，，為奇函數，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知正方體的棱長為2，點M在線段上運動，則（

）A．直線與直線是異面直線B．三棱錐的體積為定值C．直線與平面所成角的正弦值為D．點到平面的距離為10．已知點是橢圓的左、右頂點，點，分別為C的左、右焦點，點O為原點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點，且不與重合，則（

）A．PF1B．C．以線段為直徑的圓被直線截得的弦長為D．直線與直線的斜率之積11．函數，則下列結論正確的是（

）A．當時，函數只有一個零點B．若函數的對稱中心為，則C．若函數在上為減函數，則D．當時，設的三個零點分別為，，曲線在點，，處的切線斜率分別記為，，，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C上且到x軸的距離為3，則.13．函數(，且)，若對成立，則實數的取值范圍是.14．已知向量，，令，當時，則實數t的取值范圍是；對任意和，滿足恒成立，則實數a的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．設有甲、乙兩個不透明的箱子，每個箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個紅球和3個白球，乙箱有3個紅球和2個白球.從甲箱中隨機摸出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機摸出1個球.(1)求從乙箱中摸出白球的概率；(2)若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個紅球的概率.16．如圖，在正四棱臺中，，，E是的中點.(1)求證：直線平面；(2)已知直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值.17．已知動點到定點的距離與它到定直線的距離之比是.(1)求動點P的軌跡方程；(2)記動點P的軌跡為C，若過點的直線與C交于M，N兩點，的面積為，求直線的方程.18．已知函數.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，討論的單調性；(3)證明：當時，只有一個零點.19．已知數列，對于任意的，都有，則稱數列為“凹數列”.(1)已知數列，的前項和分別為，，且，，試判斷數列，數列是否為“凹數列”，并說明理由；(2)已知等差數列，首項為4，公差為，且為“凹數列”，求的取值范圍；(3)證明：數列為“凹數列”的充要條件是“對于任意的，，，當時，有”.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為復數，則.故選：C.2．【正確答案】D【詳解】數據從小到大排序為，而，故第90%分位數為.故選：D3．【正確答案】A【詳解】.故選：A．4．【正確答案】A【詳解】由題意知函數定義域為，關于原點對稱，因為，所以fx為偶函數，所以，當單調遞增，所以,所以或,所以或.所以解集為.故選：A.5．【正確答案】B【詳解】由，又A、B、C成等差數列，即，可得，由，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.故選：B6．【正確答案】C【詳解】由題設，可畫如下示意圖，其中，且，要使最小，即最小，而，若，則，此時，故.故選：C7．【正確答案】B【詳解】當函數的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，，所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．8．【正確答案】B【詳解】因為①，所以，所以，所以的周期為4，，令，由①得，所以，因為為奇函數，所以②，令，得，結合①，得③，令，由②得，所以，由③得，所以，令，由③得，所以，由函數的周期性得，.故選：B.9．【正確答案】ABD【詳解】A：根據正方體的結構，易知直線與直線是異面直線，對；B：根據正方體的結構，易證面，即面，又點M在線段上運動，所以M到面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，對；

C：根據正方體結構，易知面，面，則，由，都在面內，故面，若，所以直線與平面所成角為，所以，錯；D：由，若點到平面的距離為，又，故，對.故選：ABD10．【正確答案】AD【詳解】易知，對于A，設Px0,則，故A正確；對于B，易知四邊形為平行四邊形，即，故B錯誤；對于C，易知以線段為直徑的圓其圓心為原點，半徑為，則圓心到直線的距離為，則相應弦長為，故C錯誤；對于D，易知，故D正確.故選：AD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，時，，令，令，即y=fx在上單調遞增，在上單調遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數y=fx只有一個零點，在區間?1,1內，故A正確；對于B，若函數的對稱中心為，則有，即，所以，故B正確；對于C，可知，若函數在上為減函數，則有在上恒成立，分離參數得在上恒成立，結合對勾函數的性質可知：，故，故C錯誤；對于D，當時，，令，令，即y=fx在上單調遞增，在上單調遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數y=fx有一個零點，分別在區間內，則有，故，所以，，則，故D正確.故選：ABD12．【正確答案】5【詳解】由題設，則，而，根據拋物線的定義知，.故513．【正確答案】.【詳解】解:當時，，設，則在上是減函數，所以.故.當0<a<1時，，設，則在上均為減函數，所以，所以，此不等式組無解.綜上，實數的取值范圍是，故答案為.14．【正確答案】【詳解】第一空，由，因為，可得，當，即時，；當時，即時，，所以實數的取值范圍為；第二空，當時，可得，當，即時，；當或時，即或時，，所以實數的取值范圍為，又由，可得，由向量，，可得，因為，所以，對任意恒成立，注意到，有，即恒成立，所以，則，即或，即或對任意恒成立，因為在上單調遞增，所以，因為在上單調遞減函數，所以，所以或，即實數的取值范圍為.故；.1、若題目的條件中給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量的坐標運算公式，得到三角函數的關系式，進而求解；2、若題目條件中給出三角函數表示向量的坐標，要求的是向量的數量積或向量的模，或者其他向量的表達形式，解題思路是結合向量的運算，利用三角函數的圖象與性質，以及有界性，進而求解；3、對于向量的最值與范圍的求法方法：①幾何法：充分利用幾何圖形的特征，結合向量的線性運算和向量的數量積的運算解決；②代數法：將平面向量的最值或范圍轉化為坐標運算，結合目標函數，利用代數方法求解.15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題意，從甲摸出2紅球概率為，此時從乙摸出白球概率為，從甲摸出2白球概率為，此時從乙摸出白球概率為，從甲摸出紅白球各一個的概率為，此時從乙摸出白球概率為，所以從乙箱中摸出白球的概率為.（2）由（1）知，從乙箱中摸出白球情況下，甲箱中摸出2個紅球的概率為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接棱臺上下底面的對角線，交點分別為，由于棱臺為正四棱臺，易知與上下底面均垂直，且，故可以以O為中心建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱臺高為h，則，，所以，設平面的一個法向量為m=x,y,z，則，令，即，易知，又平面，所以直線平面；（2）易知，而底面的一個法向量為，因為直線與平面所成的角為，所以，則，又，設平面的一個法向量為n2=a,b,c則，令，即，由上知，所以，由圖形可知二面角的平面角為銳角，所以其余弦值為，故其正弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知.兩邊平方得.展開化簡得.則這就是動點的軌跡方程.（2）當斜率不存在時，直線與曲線沒有交點，不滿足題意.當斜率存在時，設直線的方程為，聯立，將代入得.展開整理得，，設，，由韋達定理（），.根據弦長公式先求.所以.

原點到直線的距離.已知.即.化簡得.兩邊平方整理得，即.得，因為，所以，.也滿足.所以直線的方程為.18．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）當時，則，所以，所以在點1,f1處的切線方程為：，即；（2）易知，因為，若，則在R上單調遞增；若，令，，即此時在上單調遞增，在上單調遞減；若，令，，即此時在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：時，在R上單調遞增；時，在上單調遞增，在上單調遞減；時，在上單調遞增，在上單調遞減；（3）①由（2）可知時，在R上單調遞增，則在R上單調遞增，而，即只有一個零點為0；②若，由（2）可知此時，在上單調遞增，在上單調遞減，則極大值為，極小值為，不妨令，則，此時單調遞減，又，，即只有一個零點，在區間0,1上；③若，由（2）可知此時，在上單調遞增，在上單調遞減，故極大值為，極小值為，不妨令，則，顯然時有，此時單調遞增，而時有，此時單調遞減，易知，所以，又，即只有一個零點，在區間上；綜上，當時，只有一個零點.19．【正確答案】(1)數列是為“凹數列”，數列不是為“凹數列”，理由見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由于為等差數列，