高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市2023-2024學年高一上學期1月期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原式.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】已知命題，，其否定為存在量詞命題：，.故選：C.3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：，所以扇形的周長為：.故選：C.4.設，，，則，，的大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以a，b，c三者的大小關系為.故選：A.5.已知函數的圖象是一條連續不斷的曲線，且有如下對應值表：則下列結論正確的是（）1234561082A.在內恰有3個零點 B.在內至少有3個零點C.在內最多有3個零點 D.在內不可能有4個零點【答案】B【解析】依題意，，根據根的存在性定理可知，在區間和及內至少含有一個零點，故函數在區間上的零點至少有3個.故選：B．6.已知且，函數與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對函數得，故函數的圖象應該在軸的左側，排除BC選項；對D：由的圖象看，函數單調遞減，所以，但從的圖象看：，所以有矛盾，D選項錯誤；對A：當時，與的圖象都吻合，故A正確.故選：A.7.是函數在上單調遞增的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，該函數在區間恒大于0且單調遞增，則當時，單調遞減，可得函數在上單調遞減；則當時，單調遞增，可得函數在上單調遞增；故當是函數在上單調遞增的充分必要條件.故選：C.8.函數和的定義域均為，且為偶函數，為奇函數，，均有，則（）A.335 B.345 C.356 D.357【答案】B【解析】由函數偶函數，可得，所以，所以函數的圖象關于對稱，又由為奇函數，可得，即，所以函數的圖象關于對稱，由，均有，所以，因為的圖象關于對稱，可得，又因為的圖象關于對稱，，可得，所以，因為，聯立方程組，可得，所以.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.已知，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，由函數為R上的增函數，可得，A正確；由函數為上的減函數，可得，B錯誤；由函數為上的增函數，可得，C正確；由函數為R上的減函數，可得，D錯誤.故選：AC.10.下列函數中，在上有零點且單調遞增的函數有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】令，得，不合題意，A錯誤；令，得，且，即函數在和上單調遞增，則在上單調遞增，B正確；對于在上為減函數，不合題意，C錯誤；令，得，且由增函數+增函數為增函數，所以在上有零點且單調遞增，D正確.故選：BD.11.若將函數的圖象先向右平移個單位長度，再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的定義域為C.圖象的一個單調區間為D.圖象的一條對稱軸方程為【答案】ABD【解析】依題意得，，的最小正周期為，故A項正確；由，得，得的定義域為，故B項正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故C項錯誤；由，當時，，則圖象的一條對稱軸方程為，故D項正確.故選：ABD.12.已知函數，若存在四個實數，，，，使得，則（）A.的范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數的圖象如圖所示：因為函數與交于4個交點，則，選項A正確；因為，則，由于，則，所以，則，且，，令，得，或，所以，又，則，所以，且，所以，則，選項B錯誤；，由，得，，由函數在為增函數，可知，則，所以，選項C正確；，設，則，，且為增函數，所以，即，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置13.函數（且）的圖象經過的定點坐標為_________.【答案】【解析】由函數（且），令，得，所以，所以函數（且）的圖象經過的定點坐標為.故答案為：.14.，恒成立，則實數的取值范圍是_________.【答案】【解析】，，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，故實數的取值范圍是.故答案為：.15.，函數同時滿足：①，②，寫出函數的一個解析式_________.【答案】（答案不唯一）.【解析】因為，函數同時滿足：①由，此時函數可以是指數函數型或常值函數；②由，可得函數的圖象為“凸”型函數或常值函數，所以函數的一個解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.16.關于的方程有且僅有1個實數根，則實數的值為_________.【答案】1【解析】關于的方程有且只有1個實數根，設函數，，問題轉化為：兩個函數的圖象有且只有1個公共點，且兩個函數由公共的對稱軸：，當時，函數有最小值：，且，由或，若，則，，如圖，根據函數圖象，兩個函數的公共點不唯一，故不合題意，當時，，有最小值；，有最大值，且（當且僅當時取等號），而，所以兩函數的圖象只有一個公共點.故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，，.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，于是，故.（2）由，可得，當時，，即，此時符合題意；當時，由可得：，解得：，故實數的取值范圍為：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求關于的不等式的解集.解：（1）由得函數對稱軸：，由.（2）由，當時，可得：；當時，可得：；當時，可得：，綜上，當時，原不等式的解集為：，當時，原不等式的解集為：，當時，原不等式的解集為：.19.在單位圓中，已知銳角終邊與單位圓交于點，將角的終邊按照逆時針方向旋轉交單位圓于點.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知銳角的終邊與單位圓交于點，所以，所以，則.（2）將角的終邊按照逆時針方向旋轉，交單位圓于點，可知點位于第二象限，所以，所以則.20.定義域為的奇函數只能同時滿足下列的兩個條件：①在區間上單調遞增；②；③.（1）請寫出這兩個條件的序號，并求的解析式；（2）判斷在區間的單調性，并用定義證明.解：（1）若選①②，因為在是奇函數，所以，又，則不滿足在區間上單調遞增，故舍去；若選②③，因為在是奇函數，所以，而，不滿足，故舍去；故只能選①③，在區間上單調遞增，，且易驗證符合題意，結合題意：，解得，所以，經驗證當時，滿足為奇函數，故.（2）結合（1）問可知，在區間的單調遞減，證明如下：任取，且，，因為，所以，，因為，所以，即，所以，即，所以在區間的單調遞減.21.如圖為某市擬建的一塊運動場地的平面圖，其中有一條運動賽道由三部分構成：賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數在的圖象，且圖象的最高點為）；賽道的中間部分為長度是的水平跑道；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.（1）求，和值；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個矩形草坪，如圖所示，記，求矩形草坪面積的最大值及此時的值.解：（1）由題意可得，則，故，將點代入，得，所以，又，所以，從而可得曲線段的解析式為，令，可得，所以，所以，則，.（2）由（1），可知，又易知當矩形草坪的面積最大時，點在弧上，故，由，則，，，所以矩形草坪的面積為，又，所以，故當，即時，，矩形草坪面積取得最大值．22.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數.當時，就是雙曲余弦函數，類似地我們可以定義雙曲正弦函數.它們與正、余弦函數有許多類似的性質.（1）類比正弦函數的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數的一個正確的結論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；（2），不等式恒成立，求實數的取值范圍；（3）若，試比較與的大小關系，并證明你的結論.解：（1）.（2）依題意，，不等式，函數在上單調遞增，，令，顯然函數在上單調遞減，在上單調遞增，，又，于是，，因此，，顯然函數在上單調遞減，當時，，從而，所以實數的取值范圍是.（3），，依題意，，，當時，，，即，于是，而，因此，當時，，則，，即，而，因此，于是，，所以.福建省寧德市2023-2024學年高一上學期1月期末質量檢測數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原式.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】已知命題，，其否定為存在量詞命題：，.故選：C.3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：，所以扇形的周長為：.故選：C.4.設，，，則，，的大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以a，b，c三者的大小關系為.故選：A.5.已知函數的圖象是一條連續不斷的曲線，且有如下對應值表：則下列結論正確的是（）1234561082A.在內恰有3個零點 B.在內至少有3個零點C.在內最多有3個零點 D.在內不可能有4個零點【答案】B【解析】依題意，，根據根的存在性定理可知，在區間和及內至少含有一個零點，故函數在區間上的零點至少有3個.故選：B．6.已知且，函數與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對函數得，故函數的圖象應該在軸的左側，排除BC選項；對D：由的圖象看，函數單調遞減，所以，但從的圖象看：，所以有矛盾，D選項錯誤；對A：當時，與的圖象都吻合，故A正確.故選：A.7.是函數在上單調遞增的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，該函數在區間恒大于0且單調遞增，則當時，單調遞減，可得函數在上單調遞減；則當時，單調遞增，可得函數在上單調遞增；故當是函數在上單調遞增的充分必要條件.故選：C.8.函數和的定義域均為，且為偶函數，為奇函數，，均有，則（）A.335 B.345 C.356 D.357【答案】B【解析】由函數偶函數，可得，所以，所以函數的圖象關于對稱，又由為奇函數，可得，即，所以函數的圖象關于對稱，由，均有，所以，因為的圖象關于對稱，可得，又因為的圖象關于對稱，，可得，所以，因為，聯立方程組，可得，所以.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.已知，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，由函數為R上的增函數，可得，A正確；由函數為上的減函數，可得，B錯誤；由函數為上的增函數，可得，C正確；由函數為R上的減函數，可得，D錯誤.故選：AC.10.下列函數中，在上有零點且單調遞增的函數有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】令，得，不合題意，A錯誤；令，得，且，即函數在和上單調遞增，則在上單調遞增，B正確；對于在上為減函數，不合題意，C錯誤；令，得，且由增函數+增函數為增函數，所以在上有零點且單調遞增，D正確.故選：BD.11.若將函數的圖象先向右平移個單位長度，再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的定義域為C.圖象的一個單調區間為D.圖象的一條對稱軸方程為【答案】ABD【解析】依題意得，，的最小正周期為，故A項正確；由，得，得的定義域為，故B項正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故C項錯誤；由，當時，，則圖象的一條對稱軸方程為，故D項正確.故選：ABD.12.已知函數，若存在四個實數，，，，使得，則（）A.的范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數的圖象如圖所示：因為函數與交于4個交點，則，選項A正確；因為，則，由于，則，所以，則，且，，令，得，或，所以，又，則，所以，且，所以，則，選項B錯誤；，由，得，，由函數在為增函數，可知，則，所以，選項C正確；，設，則，，且為增函數，所以，即，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置13.函數（且）的圖象經過的定點坐標為_________.【答案】【解析】由函數（且），令，得，所以，所以函數（且）的圖象經過的定點坐標為.故答案為：.14.，恒成立，則實數的取值范圍是_________.【答案】【解析】，，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，故實數的取值范圍是.故答案為：.15.，函數同時滿足：①，②，寫出函數的一個解析式_________.【答案】（答案不唯一）.【解析】因為，函數同時滿足：①由，此時函數可以是指數函數型或常值函數；②由，可得函數的圖象為“凸”型函數或常值函數，所以函數的一個解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.16.關于的方程有且僅有1個實數根，則實數的值為_________.【答案】1【解析】關于的方程有且只有1個實數根，設函數，，問題轉化為：兩個函數的圖象有且只有1個公共點，且兩個函數由公共的對稱軸：，當時，函數有最小值：，且，由或，若，則，，如圖，根據函數圖象，兩個函數的公共點不唯一，故不合題意，當時，，有最小值；，有最大值，且（當且僅當時取等號），而，所以兩函數的圖象只有一個公共點.故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，，.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，于是，故.（2）由，可得，當時，，即，此時符合題意；當時，由可得：，解得：，故實數的取值范圍為：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求關于的不等式的解集.解：（1）由得函數對稱軸：，由.（2）由，當時，可得：；當時，可得：；當時，可得：，綜上，當時，原不等式的解集為：，當時，原不等式的解集為：，當時，原不等式的解集為：.19.在單位圓中，已知銳角終邊與單位圓交于點，將角的終邊按照逆時針方向旋轉交單位圓于點.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知銳角的終邊與單位圓交于點，所以，所以，則.（2）將角的終邊按照逆時針方向旋轉，交單位圓于點，可知點位于第二象限，所以，所以則.20.定義域為的奇函數只能同時滿足下列的兩個條件：①在區間上單調遞增；②；③.（1）請寫出這兩個條件的序號，并求的解析式；（2）判斷在區間的單調性，并用定義證明.解：（1）若選①②，因為在是奇函數，所以，又，則不滿足在區間上單調遞增，故舍去；若選②③，因為在是奇函數，所以，而，不滿足，故舍去；故只能選①③，在區間上單調遞增，，且易驗證符合題意，結合題意：，解得，所以