第第頁人教版高二下學期數學(選擇性必修3)《6.7排列、組合的綜合應用》同步測試題含答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．（2022秋·河南南陽·高二階段練習）用0?1?2?3四個數字組成沒有重復數字的自然數.(1)把這些自然數從小到大排成一個數列，1230是這個數列的第幾項？(2)其中的四位數中偶數有多少個？所有這些偶數它們各個數位上的數字之和是多少？2．（2022·全國·高三專題練習）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？3．（2022·高二課時練習）從5名教師中挑選2人，分別擔任兩個班的班主任，有多少種不同的安排方案？4．（2022春·上海嘉定·高二期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？5．（2022·全國·高三專題練習）現有7位同學（分別編號為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數．6．（2022·高二課時練習）從1到7的7個數字中取兩個偶數和三個奇數組成沒有重復數字的五位數.試問：（1）五位數中，兩個偶數排在一起的有幾個？（2）兩個偶數不相鄰且三個奇數也不相鄰的五位數有幾個？（所有結果均用數值表示）7．（2022·高二單元測試）4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內．（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？8．（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習）某人設計了一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為ii=1,2,???6，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A9．（2022春·天津河西·高二期中）從1、3、5、7、9這五個數字中任取兩個數字，從0、2、4、6這四個數字中任取兩個數字.(1)共可組成多少個沒有重復數字的四位數?(2)共可組成多少個沒有重復數字的四位偶數?10．（2022·全國·高三專題練習）現有編號分別為A，B，C，D，E，F，G的7個不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求A，B，C相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求A排在正中間，且B，C，D各不相鄰，則有多少種不同的排法？11．（2023·全國·高二專題練習）設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現將這5個球放入5個盒子內．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？12．（2022·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？(1)偶數：(2)左起第二?四位是奇數的偶數；(3)比21034大的偶數.13．（2022秋·浙江金華·高二階段練習）從1，3，5，7中任取兩個數，從0，2，4，6中任取兩個數，組成沒有重復數字的四位數．(1)可以組成多少個四位偶數？(2)可以組成多少個兩個奇數數字相鄰的四位數？（所有結果均用數值表示）14．（2022·全國·高三專題練習）某種產品的加工需要經過A,B,C,D,E,5道工序．(1)如果工序A不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數字作答）(2)如果工序A,B必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數字作答）15．（2022·全國·高三專題練習）杭州亞運會將于2022年9月10日至25日舉行，相關部門計劃將6名志愿者分配到亞運會三個不同的運動場館做服務工作，每個崗位至少1人.(1)一共有多少種不同的分配方案？(2)若6名志愿者中的甲和乙必須分配在同一個場館工作，則共有多少種不同的分配方案？16．（2022春·福建三明·高二期中）在班級主題班會活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節目：(1)4名男生相鄰有多少種不同的站法？(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有多少種選派方法？（寫出必要的數學式和過程，結果用數字作答）17．（2023·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4五個數字．(1)可以排成多少個不重復的能被2整除的五位數？(2)可以排成多少個四位數？(3)可以排成多少個四位數字的電話號碼？18．（2022春·河北衡水·高二階段練習）為弘揚我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設禮樂射御書數六門體驗課程.(1)若體驗課連續開設六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數不排在最后一周的所有可能排法種數；(2)甲?乙?丙?丁?戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數的課程安排方案種數.19．（2022秋·吉林長春·高二考階段練習）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數學競賽．(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個考點，每個考點至少1人，那么有多少種派送方式？20．（2022春·浙江湖州·高二期中）從0,2,4,6中任取3個數字，從1,3,5中任取2個數字．(1)組成無重復數字的五位數，其中能被10整除的有多少個？(2)一共可組成多少個無重復數字的五位數？(3)組成無重復數字的五位數，其中奇數排在奇數位上的共有多少個？21．（2022春·高二單元測試）班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學代表本組與其他小組進行辯論賽．(1)每個小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學中指定1名作替補，那么每個小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個小組有多少種選法？22．（2023·全國·高三專題練習）用0、1、2、3、4五個數字:(1)可組成多少個五位數；(2)可組成多少個無重復數字的五位數；(3)可組成多少個無重復數字的且是3的倍數的三位數；(4)可組成多少個無重復數字的五位奇數．23．（2022秋·北京昌平·高二期末）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？24．（2022春·河北唐山·高二階段練習）有4個編號為1，2，3，4的小球，4個編號為1，2，3，4的盒子，現需把球全部放進盒子里，（最后結果用數字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？25．（2022·全國·高三專題練習）3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數．按要求列出式子，再計算結果，用數字作答．(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生不能站一起；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾．(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起，而丙、丁不能站在一起；26．（2022春·吉林長春·高二階段練習）一個正方形花圃被分成5份．（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?（2）若將6個不同的盆栽都擺放入這5個部分，且要求每個部分至少有一個盆栽，問有多少種不同的放法?27．（2022春·江蘇無錫·高二期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O，現用五種顏色（其中一種為紅色）對圖中四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO進行染色，且每個三角形用一種顏色染．(1)若必須使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數；(2)若不使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數.28．（2022秋·吉林長春·高二階段練習）某學習小組有3個男生和4個女生共7人：(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔4種不同的任務，有多少種選派方法？(4)現有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？29．（2022春·廣東廣州·高二期中）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.30．（2022春·河北石家莊·高二階段練習）（1）如圖，從左到右有5個空格.（i）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（ii）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（iii）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？（2）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱ABC?A（i）若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？（ii）若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？（注：最終結果均用數字作答）參考答案1．（2022秋·河南南陽·高二階段練習）用0?1?2?3四個數字組成沒有重復數字的自然數.(1)把這些自然數從小到大排成一個數列，1230是這個數列的第幾項？(2)其中的四位數中偶數有多少個？所有這些偶數它們各個數位上的數字之和是多少？【解題思路】（1）利用分步乘法計數原理討論1位自然數?2位自然數?3位自然數?4位自然數的情況即可；（2）利用分步乘法和分類加法計數原理計算即可.【解答過程】（1）1位自然數有C42位自然數有C33位自然數有C34位自然數中小于1230的有“10XX”型A2所以1230是此數列的第4+9+18+3+1=35項.（2）四位數偶數有個位是0和個位是2兩種情況，其中個位是0有A33=6所以四位偶數共有10個.它們各個數位上的數字之和為10×0+1+2+32．（2022·全國·高三專題練習）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？【解題思路】根據題意先對6本書進行分組，因為平均分成的組，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要除以A3【解答過程】6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數為C6故答案為：15.3．（2022·高二課時練習）從5名教師中挑選2人，分別擔任兩個班的班主任，有多少種不同的安排方案？【解題思路】可分兩步走：①從5名教師中挑選2人，②將選中的二人安排到兩個班；故利用分步乘法計數原理可得答案﹒【解答過程】可分兩步完成：①從5名教師中挑選2人，共C52＝10種方法，②將選中的2人安排到兩個班，共4．（2022春·上海嘉定·高二期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？【解題思路】（1）分數字重復和不重復討論，根據排列組合計算即可.（2）偶數先確定個位數字為0或2或4，再分三類討論，最后根據加法計數原理可得結果.【解答過程】解：（1）①若組成的四位數的數字不能重復，則可組成的四位數有：C5②若組成的四位數的數字能重復，則可組成的四位數有：54綜上所述，結論是：若組成的四位數的數字不能重復，可組成120個四位數；若組成的四位數的數字能重復，可組成625個四位數.（2）滿足偶數按個位數字分成三類：個位是0或2或4，①個位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個數中選出3個分別放在千、百、十位，有C5②個位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個數中選出1個有4種選法，從剩下的4個數字中選出2個分別放在百位、十位，有C41?③個位是4的，也有48個；綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字的四位偶數有60+48+48=156個.5．（2022·全國·高三專題練習）現有7位同學（分別編號為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數．【解題思路】先排A,B,C,由A33種，F,G相鄰捆綁看整體有【解答過程】因F,G兩人必須相鄰，所以把F,G看作一個整體有A2又A,B,C三人互不相鄰，D,E兩人也不相鄰，所以把A,B,C排列，有A3（1）當D,E分別插入到A,B,C中間的兩個空位時，有A22種排法，再把（2）當D,E分別插入到A,B,C中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有C21?C2所以共有A26．（2022·高二課時練習）從1到7的7個數字中取兩個偶數和三個奇數組成沒有重復數字的五位數.試問：（1）五位數中，兩個偶數排在一起的有幾個？（2）兩個偶數不相鄰且三個奇數也不相鄰的五位數有幾個？（所有結果均用數值表示）【解題思路】（1）先從3個偶數抽取2個偶數和從4個奇數中抽取3個奇數，利用捆綁法把兩個偶數捆綁在一起，再和另外三個奇數進行全排列；（2）利用插空法，先排兩個偶數，再從兩個偶數形成的3個間隔中，插入三個奇數，即可得出結果.【解答過程】解：可知從1到7的7個數字中，有3個偶數，4個奇數，（1）五位數中，偶數排在一起的有：C3（2）兩個偶數不相鄰且三個奇數也不相鄰的五位數有：C37．（2022·高二單元測試）4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內．（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？【解題思路】（1）把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內，由分步乘法計數原理結合排列組合即可求出結果；（2）“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，進而由（1）即可得出答案.【解答過程】（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內，由分步乘法計數原理，共有C4（2）“恰有1個盒內有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．8．（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習）某人設計了一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數為ii=1,2,???6，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A【解題思路】先依題意分析知拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數之和是12，再計算滿足點數之和是12的組合的所有不同結果即可.【解答過程】由題意知正方形ABCD（邊長為3個單位）的周長是12個單位，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處表示三次骰子的點數之和是12，列舉出在點數中三個數字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共6種組合.其中1，5，6；2，4，6；3，4，5這三種組合每一種有A33=6種不同的結果，所以有3×6=18種；其中3，3，6；5，5，2這兩種組合每一種有C根據分類加法計數原理知,共有18+6+1=25種不同的結果，即某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法有25種.9．（2022春·天津河西·高二期中）從1、3、5、7、9這五個數字中任取兩個數字，從0、2、4、6這四個數字中任取兩個數字.(1)共可組成多少個沒有重復數字的四位數?(2)共可組成多少個沒有重復數字的四位偶數?【解題思路】（1）首先需要討論四位數含0和不含0的情況，含0時要考慮0不在首位，再利用排列組合進行求解；（2）組成的數為偶數時，個位數字只能時0，2，4，6中的一個，需要討論含0和不含0的情況，含有0時又分0在個位和0不在個位，再利用排列組合進行求解.【解答過程】(1)當構成的四位數不含0時有C5當構成的四位數含0時有C5故符合條件的四位數共有C5(2)因為組成四位偶數的個位數字只能時0，2，4，6中的一個，當四位偶數不含數字0時，有C5含有數字0時，分為兩種，0在個位和0不在個位，有C5故符合條件的四位偶數共有C510．（2022·全國·高三專題練習）現有編號分別為A，B，C，D，E，F，G的7個不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求A，B，C相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求A排在正中間，且B，C，D各不相鄰，則有多少種不同的排法？【解題思路】（1）利用“捆綁法”可求；（2）分B，C，D中有1個在A的左側和有2個在A的左側討論求解.【解答過程】（1）把A，B，C看成一個整體與剩余的4個球全排列，則不同的排法有A3（2）A在正中間，所以A的排法只有1種．因為B，C，D互不相鄰，所以B，C，D不可能同時在A的左側或右側．若B，C，D中有1個在A的左側，2個在A的右側且不相鄰，則不同的排法有C3若B，C，D中有2個在A的左側且不相鄰，1個在A的右側，則不同的排法有C3故所求的不同排法有108+108=216（種）．11．（2023·全國·高二專題練習）設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現將這5個球放入5個盒子內．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？【解題思路】（1）首先從選出兩個球作為一組，再將4組排到4個盒子，按照分步乘法計數原理計算可得；（2）首先將5個球全排列，再減去球的編號與盒子編號全相同的情況，即可得解；（3）分四種情況討論，按照分類加法計數原理計算可得.【解答過程】（1）解：首先選定兩個不同的球，作為一組，選法有C5再將4組排到4個盒子，有A54=120種投放法．∴（2）解：沒有一個盒子空著，相當于5個元素排列在5個位置上，有A5而球的編號與盒子編號全相同只有1種，所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有A5（3）解：滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種；第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種；第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：C5第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法：2C所以滿足條件的放法數為：1+10+20=31種．12．（2022·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？(1)偶數：(2)左起第二?四位是奇數的偶數；(3)比21034大的偶數.【解題思路】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進行計算.【解答過程】（1）末位是0，有A4末位是2或4，有C2故滿足條件的五位數共有24+36=60個.（2）法一：可分兩類，0是末位數，有A22或4是末位數，則A2故共在4+4=8個.法二：四位從奇數1，3中取，有A2首位從2，4中取，有A21個：余下的排在剩下的兩位，有故共有A2（3）法一：可分五類，當末位數是0，而首位數是2時，有A2當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有A2當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有A2當末位數字是4，而首位數字是2時，有A2當末位數字是4，而首位數字是3吋，有A3故有A2法二：不大于21034的偶數可分為三類：萬位數字為1的偶數，有A3萬位數字為2，而千位數字是0的偶數，有A2而由0,1,2,3,4組成的五位偶數有A4故滿足條件的五位偶數共有60?A13．（2022秋·浙江金華·高二階段練習）從1，3，5，7中任取兩個數，從0，2，4，6中任取兩個數，組成沒有重復數字的四位數．(1)可以組成多少個四位偶數？(2)可以組成多少個兩個奇數數字相鄰的四位數？（所有結果均用數值表示）【解題思路】（1）分末位為0和末位為2,4,6分類求解即可；（2）計算所有情況，減去0在首位的情況即可.【解答過程】（1）當0在末位時，共有C4當末位為2，4，6，且0不在首位時，共有3C則可以組成108+288=396個四位偶數．（2）當0在首位時，有C4則兩個奇數數字相鄰的四位數共有C414．（2022·全國·高三專題練習）某種產品的加工需要經過A,B,C,D,E,5道工序．(1)如果工序A不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數字作答）(2)如果工序A,B必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數字作答）【解題思路】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；（2）先排A，B這2道工序，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列；（3）先排其余的3道工序，出現4個空位，再將這2道工序插空.【解答過程】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有C41=4種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有A（2）先排A，B這2道工序，有A22=2種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有A（3）先排其余的3道工序，有A33=6種不同的排法，出現4個空位，再將C，D這2道工序插空，有A15．（2022·全國·高三專題練習）杭州亞運會將于2022年9月10日至25日舉行，相關部門計劃將6名志愿者分配到亞運會三個不同的運動場館做服務工作，每個崗位至少1人.(1)一共有多少種不同的分配方案？(2)若6名志愿者中的甲和乙必須分配在同一個場館工作，則共有多少種不同的分配方案？【解題思路】（1）根據題意將6名志愿者進行1,1,4，3,2,1，2,2,2分組，分別求出每組的分配方案，再利用分類加法計數原理求解；（2）根據題意將6名志愿者進行1,1,3，2,2,1分組，其中甲和乙必須在一起看作一個整體，再利用分類加法計數原理求解.【解答過程】（1）當分配的人數分別是1人，1人，4人時，共有C6當分配的人數分別是3人，2人，1人時，共有C6當分配的人數分別是2人，2人，2人時，共有C6所以一共有90+360+90=540種不同的分配方案.（2）把甲?乙兩人看作一個整體，6個人變成了5個元素，再把這5個元素分成3組，若分配的元素分別是1人，1人，3人時，共有C5若分配的元素分別是2人，2人，1人時，共有C5則有60+90=150種不同的分配方案.16．（2022春·福建三明·高二期中）在班級主題班會活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節目：(1)4名男生相鄰有多少種不同的站法？(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有多少種選派方法？（寫出必要的數學式和過程，結果用數字作答）【解題思路】（1）利用捆綁法將4名男生綁在一起再排列即可；（2）先從中選出2名男生和2名女生再排列4人即可．【解答過程】(1)將4名男生綁在一起有A44種，再與3名女生站成一排有(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦，有C417．（2023·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4五個數字．(1)可以排成多少個不重復的能被2整除的五位數？(2)可以排成多少個四位數？(3)可以排成多少個四位數字的電話號碼？【解題思路】（1）先考慮能被2整除的數為偶數，則個位數字應在0，2，4中選擇，再考慮不重復的五位數字，需注意萬位不為0，對個位是否為0分類討論，進而求解；（2）四位數的要求為千位不為0，求解即可；（3）四位數字的電話號碼相對（2）的區別在于首位可為0，進而求解.【解答過程】（1）由題，能被2整除的數為偶數，則個位數字應在0，2，4中選擇，需用5個數字組成不重復的五位數，則萬位不是0，所以當個位是0時，共有A4當個位不是0時，共有C2所以不重復的且能被2整除的五位數有24+36=60個.（2）要組成一個四位數，則千位不為0，所以共有4×5×5×5=500個.（3）要組成一個四位數字的電話號碼，則共有5418．（2022春·河北衡水·高二階段練習）為弘揚我國古代的六藝文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設禮樂射御書數六門體驗課程.(1)若體驗課連續開設六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數不排在最后一周的所有可能排法種數；(2)甲?乙?丙?丁?戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數的課程安排方案種數.【解題思路】（1）分射排在最后一周時和射不排在最后一周時兩種情況討論求解即可；（2）分甲教兩科時和甲教一科時兩組情況討論求解即可.【解答過程】(1)解：分兩組情況討論，①射排在最后一周時，則有A5②當射不排在最后一周，則射有4種排法，數也有4種排法，剩下的4課課程全排列，有4×4?A所以，共有120+384=504種不同排法.(2)解：分兩種情況討論；當甲教兩科時，則有C5當甲教一科時，則有C5所以，共有240+1200=1440種不同方案.19．（2022秋·吉林長春·高二考階段練習）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數學競賽．(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個考點，每個考點至少1人，那么有多少種派送方式？【解題思路】（1）用組合知識直接求解；（2）先求出若小王和小紅均未入選時的選法，從而求出如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選時的選法；（3）分兩種情況進行求解，再使用分類加法計數原理進行求解.【解答過程】（1）從5名男生中選2名，4名女生中選2人，屬于組合問題，C5（2）若小王和小紅均未入選，則有C74=35（3）若2個考點派送人數均為2人，則有C4若1個考點派送1人，另1個考點派送3人，則有C420．（2022春·浙江湖州·高二期中）從0,2,4,6中任取3個數字，從1,3,5中任取2個數字．(1)組成無重復數字的五位數，其中能被10整除的有多少個？(2)一共可組成多少個無重復數字的五位數？(3)組成無重復數字的五位數，其中奇數排在奇數位上的共有多少個？【解題思路】（1）根據能被10整除確定個位數字為0，然后從2,4,6中任取2個，從1,3,5中任取2個，再將取出的四個數字作全排列即可得解；（2）按照五位數中是否含0分兩類，可求出結果；（3）按照2個奇數排的位置分三類計數，再相加可求出結果.【解答過程】(1)因為被10整除的數的個位必為0，所以先從2,4,6中任取2個，有C32種，從1,3,5中任取2個，有C32種，然后將得到的4個數字在前面四個位置上作全排列，有(2)若五位數中含0，則0不能排在首位，有A41種，然后從2,4,6中任取2個，有C32種，從1,3,5中任取2個，有C3此時，共有A4若五位數中不含0，則從2,4,6中任取3個有C33種，從1,3,5中任取2個有C32種，將取出的5個數字作全排，有綜上所述：滿足題意的五位數共有864+360=1224個.(3)若2個奇數排在萬位和百位上，有A3若2個奇數排在萬位和個位上，有A3若2個奇數排在百位和個位上，有A3所以滿足題意的五位數共有144+144+108=396個.21．（2022春·高二單元測試）班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學代表本組與其他小組進行辯論賽．(1)每個小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學中指定1名作替補，那么每個小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個小組有多少種選法？【解題思路】（1）從12名學生中任選4名即可，（2）先從12名學生中選4名，然后再從這4名學生中選1人，再利用分步乘法原理可求得結果，（3）先從12名學生中選4名，然后對這4名學生進行全排列即可【解答過程】(1)由題意可得每個小組有C12(2)由題意可得先從12名學生中選4名，然后再從這4名學生中選1人，所以由分步乘法原理可得共有C12(3)由題意可得先從12名學生中選4名，然后對這4名學生進行全排列，所以由分步乘法原理可得共有C12422．（2023·全國·高三專題練習）用0、1、2、3、4五個數字:(1)可組成多少個五位數；(2)可組成多少個無重復數字的五位數；(3)可組成多少個無重復數字的且是3的倍數的三位數；(4)可組成多少個無重復數字的五位奇數．【解題思路】四個問題是同一類型題根據已知討論各個位置上的數字情況，然后利用分步乘法計數原理進行計算即可求解.【解答過程】（1）用0、1、2、3、4五個數字組成五位數,相當于從1、2、3、4四個數字中抽取一個放在萬位，有C41種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在千位，有C51種情況，從0、1、2、3、4五個數字中抽取一個放在百位，有C5所以可組成C4（2）用0、1、2、3、4五個數字組成無重復數字的五位數,相當于先從1、2、3、4四個數字中抽取一個放在萬位，有C41種情況，再把剩下的三個數字和0全排列，有A4（3）無重復數字的3的倍數的三位數組成它的三個數字之和必須是3的倍數，所以三個數字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三個數字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數字中抽取一個放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個數字和0全排列，有若三個數字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數字中抽取一個放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個數字和0全排列，有若三個數字是1、2、3，則相當于對這三個數字全排列，有A3若三個數字是2、3、4，則相當于對這三個數字全排列，有A3所以根據分類計數原理，共可組成C個無重復數字的且是3的倍數的三位數.（4）由數字0、1、2、3、4五個數字組成無重復數字的五位奇數，則放在個位的數字只能是奇數，所以放在個位數字只能是1或3，所以相當于先從1、3兩個數字中抽取一個放在個位，有C21種情況，再從剩下的四個數字中除去0抽取一個放在萬位，有C3所以可組成C223．（2022秋·北京昌平·高二期末）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．(1)共有多少種不同的坐法？(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？【解題思路】（1）前排選3人任意排，后排4人任意排，根據分步計數原理可得．（2）首先從其余5人中選出2人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，按照分步乘法計數原理計算可得；（3）先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列，按照分步乘法計數原理計算可得；【解答過程】(1)解：排成兩排就座，第一排3人，第二排4人，有A7(2)解：若甲和乙都在第二排，先從其余5人中選出2人有C52種選法，將這兩人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，故一共有(3)解：如甲和乙不能坐在每排的兩端，則先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個位置中的兩個位置，再將其余人全排列即可，故一共有A3224．（2022春·河北唐山·高二階段練習）有4個編號為1，2，3，4的小球，4個編號為1，2，3，4的盒子，現需把球全部放進盒子里，（最后結果用數字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？【解題思路】（1）4個球全放4個盒中，沒有空盒則全排列即可求得.（2）有4個球，每個球有4種放法，此時隨意放，盒子可以空也可以全用完.（3）恰有一個空盒，說明另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球.(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中,選定從四盒四球中選定標號相同得球和盒，另外三球三盒不能對應共兩種.【解答過程】（1）沒有空盒子的方法：4個球全放4個盒中，沒有空盒則全排列共A4（2）可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法共44（3）恰有一個空盒子，說明另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球，先將四盒中選一個作為空盒，再將四球中選出兩球綁在一起，再排列共C4（4）恰有一個小球放入自己編號的盒中,選定從四盒四球中選定標號相同得球和盒，另外三球三盒不能對應共兩種，則共C425．（2022·全國·高三專題練習）3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數．按要求列出式子，再計算結果，用數字作答．(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生不能站一起；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾．(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起，而丙、丁不能站在一起；【解題思路】（1）從男生中任選2名有C32種選法，從女生中任選2名有（2）先將女生全排列會有5個空，再將男生排列到5個空即可求解；（3）先從除甲外的6個人中選兩人排列在收尾，再將剩余的5個人排列到中間即可求解；（4）先將甲乙捆綁有A22種，將甲乙看做一個整體與除丙丁外的剩余3人排列有【解答過程】（1）從3名男生中任選2名有C32種選法，從4名女生中任選2名有C42種選法，再將選取的4人排列有（2）先將女生全排有A44種，再從5個空隙中選出3個將3個男生插入到3個空隙中有A5（3）首尾位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他人有A5（4）將甲乙捆在一起，與剩下的3人（除丙丁）全排A44，再將丙丁插空到5個空隙中的2個有A52種，再將甲乙交換位置有26．（2022春·吉林長春·高二階段練習）一個正方形花圃被分成5份．（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?（2）若將6個不同的盆栽都擺放入這5個部分，且要求每個部分至少有一個盆栽，問有多少種不同的放法?【解題思路】（1）先對E部分種植，再對A部分種植，對C部分種植進行分類：①若與A相同，②若與A不同進行討論即可；（2）將6個盆栽分成5組，即2-1-1-1-1，將分好的5組全排列即可.【解答過程】（1）先對E部分種植，有4種不同的種植方法；再對A部分種植，又3種不同的種植方法；對C部分種植進行分類：①若與A相同，D有2種不同的種植方法，B有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48（種），②若與A不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，B有1種不同的種植方法，共有4×3×2×1×1=24（種），綜上所述，共有72種種植方法。（2）將6個盆栽分成5組，則2-1-1-1-1，有C6將分好的5組全排列，對應5個部分，則一共有C6綜上所述，共有1800種不同的放法。27．（2022春·江蘇無錫·高二期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O，現用五種顏色（其中一種為紅色）對圖中四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO進行染色，且每個三角形用一種顏色染．(1)若必須使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數；(2)若不使用紅色，求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數.【解題思路】（1）根據題意，假設為△ABO，△BCO，同色，再分2種情況討論：①若△ABO，△BCO，同時染紅色與，②若△ABO，△BCO，同時染的不是紅色，求出每種情況的染色方法數目，由加法原理計算可得答案；（2）根據題意，分3種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂的區域，③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區域，求出每種情況的染色方法數目，由加法原理計算可得答案．【解答過程】（1）解：根據題意，要求四個三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色，而同色的相鄰三角形共有4種，不妨假設為△ABO，△BCO同色，①若△ABO，△BCO同時染紅色，則另外兩個三角形共有A42種染色方法，因此這種情況共有②若△ABO，△BCO同時染的不是紅色，則它們的染色有4種，另外兩個三角形一個必須染紅色，所以這兩個三角形共有3×2=6，因此這種情況共有4×6=24種染色方法．綜上可知有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數為4×(12+24)=144種；（2）解：根據題意，因為不用紅色，則只有四種顏色可選，分3種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，則共有A4②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對頂的區域，所以一共有C4③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對頂區域，所以共有C4綜上可知所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數為24+4828．（2022秋·吉林長春·高二階段練習）某學習小組有3個男生和4個女生共7人：(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔4種不同的任務，有多少種選派方法？(4)現有7個座位連成一排，僅安排4個女生就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種？【解題思路】（1）利用排列中相間問題插空法及分步乘法計數原理即可求解；（2）利用排列中特殊位置與特殊元素優先處理及分類加法計數原理即可求解；（3）利用排列組合中遵循先選后排及分步乘法計數原理即可求解；（4）利用排列中的相鄰問題插空法及分步計數原理即可求解.【解答過程】（1）根據題意，分2步進行分析：①，將3個男生全排列，有A3②，將4名女生全排列，安排到4個空位中，有A4則一共有A3（2）根據題意，分2種情況討論：①，男生甲在最右邊，有A6②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A5則有720+3000＝3720種排法；（3）根據題意，分2步進行分析：①，在3名男生中選取2名男生，4名