2.4.2圓的一般方程第二章直線和圓的方程2.4圓的方程整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．理解圓的一般方程及其特點(diǎn)．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程問題．(邏輯推理)(教師用書)在平面直角坐標(biāo)系中，我們用二元一次方程的一般形式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代表直線，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的相互融合，那么，我們不禁要問，對于二元二次方程的一般形式Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，B，C不同時為0)，它是否也代表什么曲線類型呢？事實(shí)上，圓的方程就是其中一類二元二次方程，仔細(xì)想想，它的系數(shù)A，B，C有什么要求嗎？[討論交流]

問題1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？問題2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F(xiàn)滿足什么條件時，這個方程表示圓？問題3．待定系數(shù)法求圓的方程有哪幾個步驟？問題4．代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程有哪幾個步驟？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1圓的一般方程探究問題把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．反之，這個方程表示的圖形是否都是圓呢？

[新知生成]1．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程_____________________叫做圓的一般方程，此時方程表示以為____________圓心，_______________為半徑的圓．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>0

【教用·微提醒】

(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．(2)圓的一般方程中有三個系數(shù)，這說明確定一個圓需要三個獨(dú)立條件．[典例講評]

1．下列方程是否表示圓？若是，寫出圓心和半徑；若不是，說明理由．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－x＝0；(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．

反思領(lǐng)悟

圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．

√【鏈接·教材例題】例4求過三點(diǎn)O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑．[分析]

將點(diǎn)O，M1，M2的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程．探究2求圓的一般方程

[典例講評]

2．已知點(diǎn)A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四點(diǎn)共圓，則點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為________．

[母題探究]若點(diǎn)M(a，0)在過A，B，C三點(diǎn)的圓內(nèi)，求a的取值范圍．[解]

由M(a，0)在圓內(nèi)，得a2－1＜0，解得－1＜a＜1，所以a的取值范圍是(－1，1)．反思領(lǐng)悟

待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟(1)根據(jù)題意設(shè)所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組．(3)解此方程組，求出D，E，F(xiàn)(D2＋E2－4F＞0)的值．(4)將所得的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程．[學(xué)以致用]

2．(源自北師大版教材)求經(jīng)過A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三點(diǎn)的圓的方程．

【鏈接·教材例題】例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．[分析]

如圖2.4-4，點(diǎn)A運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4．建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)A的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，求出點(diǎn)M的軌跡方程．探究3與圓有關(guān)的軌跡問題

[典例講評]

3．已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．

【教用·備選題】已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)的弦的中點(diǎn)P的軌跡．[解]

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．當(dāng)AP垂直于x軸，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)時，符合題意；當(dāng)AP垂直于y軸，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)時，符合題意；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)O重合，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(0，0)時，符合題意；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

求解與圓有關(guān)的軌跡問題有哪些常用方法？

[學(xué)以致用]

3．已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．[解]

(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2，2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1．(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，連接BN，ON，OP，如圖所示．

應(yīng)用遷移23題號411．已知圓的一般方程為x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則圓的半徑為(

)A．1

B．2C．3

D．4√C

[x2＋y2＋4x－2y－4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝9，故圓的半徑為3．故選C．]23題號41

√

23題號413．圓x2＋y2＋4x－1＝0關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．x2＋y2－4x－1＝0

B．x2＋(y－2)2＝5C．x2＋y2＋8x＋15＝0

D．(x－2)2＋y2＝5√

23題號414．已知A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的一般方程為______________________．

1．知識鏈：(1)圓的一般方程．(2)求與圓有關(guān)的軌跡問題．2．方法鏈：待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法、直接法．3．警示牌：忽視圓的一般方程表示圓的條件．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．試寫出圓的一般方程．[提示]

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，需滿足什么條件？[提示]

A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．3．求動點(diǎn)的軌跡方程有哪些常用方法？[提示]

直接法、定義法、代入法．課時分層作業(yè)(二十一)圓的一般方程題號135246879101112131415一、選擇題1．若圓x2＋y2－4x＋8y＋2m＝0的半徑為2，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A．－9

B．－8

C．9

D．8√

題號1352468791011121314152．已知點(diǎn)(－1，1)在⊙O：x2＋y2－2x＋my＋m＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－2，＋∞)

B．(－∞，2)C．[2，＋∞)

D．(－2，2)∪(2，＋∞)√D

[因?yàn)辄c(diǎn)(－1，1)在圓x2＋y2－2x＋my＋m＝0外，所以1＋1＋m＋2＋m＞0，解得m＞－2，4＋m2－4m＞0，解得m≠2，綜上，m∈(－2，2)∪(2，＋∞)．故選D．]題號352468791011121314151

√√√題號352468791011121314151

題號3524687910111213141514．若Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－3，0)和(7，0)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(

)A．x2＋y2＝25(y≠0)B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D．(x－2)2＋y2＝25√

題號3524687910111213141515．△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(－1，－5)，B(2，4)，C(5，－5)，則△ABC外接圓的方程是(

)A．x2＋y2－4x－2y－20＝0B．x2＋y2＋4x－2y－20＝0C．x2＋y2－4x＋2y－20＝0D．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．已知圓x2＋y2－4x－m＝0的面積為π，則m＝________．－3

[圓x2＋y2－4x－m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4＋m，∵圓的面積為π，∴圓的半徑為1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]－3

題號352468791011121314151

(x＋1)2＋y2＝4

題號3524687910111213141518．M(3，0)是圓C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，過M點(diǎn)最長的弦所在的直線方程為______________，最短的弦所在的直線方程是_____________．

x－y－3＝0x＋y－3＝0

題號352468791011121314151三、解答題9．△ABC的頂點(diǎn)A在圓x2＋y2

－4x－6y＋1＝0上運(yùn)動，B(－1，0)，C(1，0)，求△ABC的重心G的軌跡方程．

題號35246879101112131415110．“m＞6”是“方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圓的方程”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√A

[若方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圓的方程，則m2－4m－12＞0，解得m＞6或m＜－2，故“m＞6”是“方程x2＋y2－mx＋4y＋m＋7＝0是圓的方程”的充分不必要條件．故選A．]題號352468791011121314151題號35246879101112131415111．圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關(guān)于直線y＝x＋1對稱的圓的方程是(

)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

x2＋y2－4x－5＝0

題號35246879101112131415113．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓．后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓．已知直角坐標(biāo)系中A(－2，0)，B(2，0)，則滿足|PA|＝2|PB|的點(diǎn)P的軌跡的圓心為________，面積為_______．