4.2.1等差數(shù)列的概念第4章

數(shù)列

1.定義:如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。2.通項公式:an=a1+(n-1)d

4.圖象:直線上均勻排開的一群離散的點.3.等差中項：a,A,b成等差數(shù)列2A=a+b.{an}為等差數(shù)列

5.等差數(shù)列的判斷an-an-1=d

(n≥2)或an+1-an=d

(n∈N*).或2an+1=an+an+2或an=pn+q(p、q是常數(shù))復(fù)習(xí)導(dǎo)入等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，那么性質(zhì)1an

=am+(n-m)d(n>m)證明：∵an

=a1+(n-1)d①am

=a1+(m-1)d②由①-②得，an

-am=(n-m)d∴an

=am+(n-m)d變形

探究新知練習(xí)、

已知{an}是一個等差數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當(dāng)?shù)臄?shù).a1a3a5a7d－782－6.50.515.53.7515－11－24思考：觀察項的角標(biāo)滿足什么關(guān)系？由此你能得到什么固定的結(jié)論嗎？探究新知性質(zhì)2

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p,q,s,t∈N*,若p+q=s+t，則ap+aq=as+at證明：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因為p＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.特別地，若m+n=2k，則am+an=2ak課本P17

例5探究新知

思考

是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，圖4.2-2是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎?nanO????spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)圖4.2-2探究新知若p+q=s+t，則ap+aq=as+at例1、已知

a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.法1：法2：設(shè)此數(shù)列的公差為d,根據(jù)題意得：∵∵例題鞏固例2（1）已知三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，積為80，求這三個數(shù)；

（2）已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為34，中間兩個數(shù)的積為70，求這四個數(shù).例題鞏固24C4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，則a20=

．3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4+a8＝20，a7＝12，則a4=

．615.

在等差數(shù)列中，是方程的根，則________.由已知得.又數(shù)列為等差數(shù)列，∴.練習(xí)練習(xí)

例3、已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.例題鞏固

例3、

已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.

(2)b29是不是數(shù)列{an}的項?若是,它是{an}的第幾項?若不是,請說明理由.

解：例題鞏固

l

探究新知等差數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)3已知等差數(shù)列{an}，{bn}，公差分別為d,d1,則有①下標(biāo)成等差數(shù)列的項ak,

ak+m,ak+2m,…組成等差數(shù)列，公差是______；②數(shù)列{λan+μ}(λ,μ是常數(shù))是等差數(shù)列，公差是________；③數(shù)列{λan±μbn}(λ,μ是常數(shù))是等差數(shù)列，公差是____________.特別地，所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列a2,a4,a6,…,公差是_____；所有奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列a1,a3,a5,…,公差是_____.④等差數(shù)列中依次k項之和，即a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，

a2k+1+a2k+2+…+a3k,…是等差數(shù)列，公差是________；md2d2dλdk2dλd±μd1探究新知

例題鞏固

例題鞏固例5解:例題鞏固

D

A

練習(xí)

A.

8

B.

6

C.

4

D.

2

D

A.

8

B.

9

C.

10

D.

11

B練習(xí)

觀察歸納法：數(shù)列{2n-1}為：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……數(shù)列{3n-2}為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……觀察可知，兩個數(shù)列的公共項依次為：1，7，13，19，25，31，……，

練習(xí)兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新的等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差為原來兩個數(shù)列公差的“最小公倍數(shù)”.練習(xí)6、若am＝n，an＝m，則am＋n＝

.0練習(xí)1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9

B．12C．15D．18AC3.已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則數(shù)列{an＋bn}的第37項為(

)A．0B．37C．100D．－37C2.如果在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14B．12C．28D．36課堂檢測4.我國古代用日晷測量日影的長度，晷長即為所測量影子的長度．《周脾算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示．相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始．從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，若測得冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為25.5尺，則冬至日影的長為(

)A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5C解：設(shè)冬至的日影長為a1，公差為d，則a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,兩式相減得－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故選C.課堂檢測5．(多選)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則下列各式一定成立的有(

)A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100＝0C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝0解析：BCD∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0