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文檔簡介

設某物體作變速直線運動,位移函數為s(t),運動速度為物體在時間段內的位移

微積分基本定理則有而所以定積分記為稱為積分上限函數.是

x的函數,設函數

在區間[a,b]上連續,上的一點,并設

x為[a,b]注意:證定理6.2(微積分第一基本定理)

在[a,b]上可導,且其導數為即是

f(x)的一個原函數.如果f(x)在[a,b]上連續,則積分上限函數有由積分中值定理即解例6.10

設在

內連續，求令則練習

解這是型未定式,應用洛必達法則及等價無窮小代換來計算.例6.11計算極限

解例6.12證明所以令得原命題得證.證令練習設

在[0,1]上連續,且

證明方程在[0,1]上只有一個實根.由零點定理和單調性，原方程在[0,1]只有一個實根.在[0,1]上為單調增加函數.定理6.3(微積分第二基本定理,牛頓—萊布尼茨公式)證的一個原函數,如果是連續函數在區間[a,b]上因已知

是

的一個原函數，而

也是

的一個原函數,令則令牛頓—萊布尼茨公式解解例6.13

計算定積分

例6.14

計算定積分

解例6.15

設

,求解例6.16

計算原式例6.17

計算解解因定積分是數值,于是例6.18設

則等式兩邊在[0,1]上積分,得練習計算練習

計算解練習

設連續，求解原式=而故練習求極限

解由定積分的定義,有練習設

,求

在[0,2]上的表達式

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