挑戰2023年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題33圓與新定義綜合問題

【例1】（2022?石景山區一模）在平面直角坐標系xOy中，點P不在坐標軸上，點P關于x軸的對稱點為P1，

點P關于y軸的對稱點為P2，稱△P1PP2為點P的“關聯三角形”．

（1）已知點A（1，2），求點A的“關聯三角形”的面積；

（2）如圖，已知點B（m，m），T的圓心為T（2，2），半徑為2．若點B的“關聯三角形”與T有公共

點，直接寫出m的取值范圍；⊙⊙

（3）已知O的半徑為r，OP＝2r，若點P的“關聯三角形”與O有四個公共點，直接寫出∠PP1P2的取

值范圍．⊙⊙

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【例2】2022?朝陽區二模）在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為1，AB＝1，且A，B兩點中至少有一點在

O外．給出如下定義：平移線段AB，得到線段A′⊙B′（A′，B′分別為點A，B的對應點），若線段A′

⊙B′上所有的點都在O的內部或O上，則線段AA′長度的最小值稱為線段AB到O的“平移距離”．

（1）如圖1，點A1，⊙B1的坐標分⊙別為（﹣3，0），（﹣2，0），線段A1B1到O的“平⊙移距離”為，

點A2，B2的坐標分別為（﹣，），（，），線段A2B2到O的“平⊙移距離”為；

⊙

（2）若點A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到O的“平移距離”為d，求d的最小值；

（3）如圖2，若點A坐標為（1，），線段AB到O的⊙“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點

B形成的圖形（不需證明）．⊙

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【例3】（2022?開福區校級一模）我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業三角形”．

（1）下列各三角形中，一定是“勤業三角形”的是；（填序號）

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．

（2）如圖1，△ABC是O的內接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線

段OA于點F，交O于⊙點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業三角形”？如果

是，請給出證明，⊙并求出的值；如果不是，請說明理由；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．

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【例4】（2022?清苑區二模）【問題提出】

如圖1，O與直線a相離，過圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交O于P、Q兩點（Q在P、H之間）．我

們把點P⊙稱為O關于直線a的“遠點”，把PQ?PH的值稱為O關于⊙直線a的“遠望數”．

（1）如圖2，⊙在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為（0，4）⊙，過點E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1

的O關于直線m的“遠點”坐標是，直線m向下平移個單位長度后與O相切．

（⊙2）在（1）的條件下求O關于直線m的“遠望數”．⊙

【拓展應用】⊙

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點M（6，0），與y軸交于點N，點F坐標為（1，2），

以F為圓心，OF為半徑作F．若F與直線l相離，O是F關于直線l的“遠點”．且F關于直線l的“遠

望數”是12，求直線l⊙的函數表⊙達式．⊙⊙

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一．解答題（共20題）

1．（2022?長沙縣校級三模）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三

角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“優美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中

線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關于邊BC的“優美三角形”．

（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關于邊BC的“優美三角形”；

（2）如圖3，已知△ABC為關于邊BC的“優美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點，以BD為直徑的O

恰好經過點A．⊙

①求證：直線CA與O相切；

②若O的直徑為2⊙，求線段AB的長；

（3）⊙已知三角形ABC為關于邊BC的“優美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．

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2．（2022?西城區校級模擬）點P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標系中不同的兩個點，且x1≠x2．若存在

一個正數k，使點P，Q的坐標滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對“限斜點”，k叫做點P，Q的“限

斜系數”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．

例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以點P，Q為一對“限斜點”，且“限斜系數”為．

已知點A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．

（1）在點A，B，C，D中，找出一對“限斜點”：，它們的“限斜系數”為；

（2）若存在點E，使得點E，A是一對“限斜點”，點E，B也是一對“限斜點”，且它們的“限斜系數”均

為1．求點E的坐標；

（3）O半徑為3，點M為O上一點，滿足MT＝1的所有點T，都與點C是一對“限斜點”，且都滿足k

（T，⊙C）≥1，直接寫出點M⊙的橫坐標xM的取值范圍．

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3．（2022?常州一模）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為

圖形N上任意一點，如果P、Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M、N間的“圖距離“，

記作d（M，N）．已知點A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．

（1）d（點O，△ABC）；

（2）線段L是直線y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的長度最長時，求線段L

兩個端點的橫坐標；

（3）T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值范圍．

⊙⊙

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4．（2022?秦淮區二模）【概念認識】

與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點

都不是頂點）且經過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．

【初步理解】

（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，O1和O2都與邊AD相切，O2與邊AB相切，O1和O3

都經過點B，O3經過點D，3個圓都經過點⊙C．在⊙這3個圓中，是矩形A⊙BCD的第Ⅰ類圓的是⊙⊙，

是矩形ABCD⊙的第Ⅱ類圓的是．

【計算求解】

（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）

①作它的1個第Ⅰ類圓；

②作它的1個第Ⅱ類圓．

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5．（2022?豐臺區二模）在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為1，A為任意一點，B為O上任意一點．給出

如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（⊙規定：點A在O上時，p＝0），最大⊙值為q，那么把的

⊙

值稱為點A與O的“關聯距離”，記作d（A，O）．

（1）如圖，點⊙D，E，F的橫、縱坐標都是整數．⊙

①d（D，O）＝；

②若點M⊙在線段EF上，求d（M，O）的取值范圍；

（2）若點N在直線y＝上⊙，直接寫出d（N，O）的取值范圍；

（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時⊙，滿足d（P，O）的最小值為1，最大值為，

直接寫出m的最小值和最大值．⊙

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6．（2022?大興區一模）在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A

和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A⊙順時針旋轉，直線MN與O有兩個交點時，則稱MN是

O的“雙關聯直線”，與O有一個交點P時，則稱MN是O的“單關聯⊙直線”，AP是O的“單關聯線

⊙段”．⊙⊙⊙

（1）如圖1，A（0，4），當MN與y軸重合時，設MN與O交于C，D兩點．則MN是O的“關

聯直線”（填“雙”或“單”）；的值為；⊙⊙

（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是O的“單關聯線段”．

①求OA的最小值；⊙

②直接寫出△APO面積的最小值．

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7．（2022?寧波模擬）定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角

形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．

（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以OC為半徑的O恰好經過點B，求證：

O是△ABC的切圓．⊙

⊙（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是O的切邊，求O

的半徑．⊙⊙⊙

（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的O恰好是△ABC的切圓，AC是O的切邊，O與BC交于點F，

取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E⊙，過點E作EH⊥AB于點H，若⊙CF＝8，BF＝⊙10，求AC和EH的

長．

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8．（2022?朝陽區一模）在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相

交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．

（1）如圖1，O的半徑為1，當k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關于O的“圓截距”；

（2）點M的坐⊙標為（1，0），⊙

①如圖2，若M的半徑為1，當b＝1時，直線l關于M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；

⊙⊙

②如圖3，若M的半徑為2，當k的取值在實數范圍內變化時，直線l關于M的“圓截距”的最小值2，

直接寫出b的值⊙．⊙

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9．（2022?鄞州區校級一模）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和負數的

運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類對角線互相

垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形”．

（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是（填序號）；

①矩形②菱形③正方形

（2）如圖，四邊形ABCD內接于圓，P為圓內一點，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求證：四

邊形ABCD為“婆氏四邊形”；

（3）在（2）的條件下，BD＝4，且AB＝DC．

①當DC＝2時，求AC的長度；

②當DC的長度最小時，請直接寫出tan∠ADP的值．

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10．（2022?城關區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．

（1）對于坐標平面內的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．

①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是，C的半徑是；

②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點⊙”的坐標；如果沒有，請說明理由；

（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當∠APB的度數最大時，點P的坐標為．

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11．（2021?常州一模）在平面直角坐標系xOy中，O的半徑是，A，B為O外兩點，AB＝2．給出如

下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′⊙成為O的弦（點A′，B′⊙分別為點A，B的對應點），線段

AA′長度的最小值成為線段AB到O的“優距離”．⊙

⊙

（1）如圖1，O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關系是；在點P1，P2，

P3，P4中，連⊙接點A與點的線段長度等于線段AB到O的“優距離”；

（2）若點A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優距離”，則點A′的坐標為；

（3）如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個動點，記線段AB到⊙O的“優距離”為d，則d的最小值是；

請你在圖2中畫出d取得最小值時的示意圖，并標記相應的字⊙母．

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12．（2022秋?姜堰區期中）如圖1，在平面內，過T外一點P畫它的兩條切線，切點分別為M、N，若∠MPN

≥90°，則稱點P為T的“限角點”．⊙

⊙

（1）在平面直角坐標系xOy中，當O半徑為1時，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），

⊙

④P4（2，﹣1）中，O的“限角點”是；（填寫序號）

（2）如圖2，A的半⊙徑為，圓心為（0，2），直線l：y＝﹣x+b交坐標軸于點B、C，若直線l上有且

⊙

只有一個O的“限角點”，求b的值．

（3）如圖⊙3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），D的半徑為，圓心D從原點O出發，以個單位/s

的速度沿直線l：y＝x向上運動，若△EFG三邊上存⊙在D的“限角點”，請直接寫出運動的時間t（s）的取

值范圍．⊙

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13．（2022秋?西城區校級期中）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N．對于點P給出如下定義：將

點P繞點M逆時針旋轉90°，得到點P'，點P'關于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應點”．

（1）如圖1，若點M在坐標原點，點N（1，1），①點P（﹣2，0）的“對應點”Q的坐標為；②

若點P的“對應點”Q的坐標為（﹣1，3），則點P的坐標為；

（2）如圖2，已知O的半徑為1，M是O上一點，點N（0，2），若P（m，0）（m＞1）為O外一點，

點Q為點P的“對⊙應點”，連接PQ．①當⊙點M（a，b）在第一象限時，求點Q的坐標（用含⊙a，b，m的式

子表示）；②當點M在O上運動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的積為.（用含m的式子表

示）⊙

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14．（2022秋?海淀區校級月考）在平面直角坐標系xOy中，已知O的半徑為2，對于點P，直線l和O，給

出如下定義：⊙⊙

若點P關于直線l對稱的點在O上或O的內部，則稱點P為O關于l的反射點．

⊙⊙⊙

（1）已知直線l為x＝3，

①在點P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是O關于l的反射點有；

②若點P為x軸上的動點，且點P為O關于l的反⊙射點，則點P的橫坐標的最大值為．

（2）已知直線l的解析式為y＝kx+2（⊙k≠0），

①當k＝﹣1時，若點P為直線x＝上的動點，且點P為O關于l的反射點，則點P的縱坐標t的取值范

圍是；⊙

②點B（2，2），C（，1），若線段BC的任意一點都為O關于l的反射點，則k的取值范圍是．

⊙

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15．（2022?鐘樓區校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），

C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意

一點，如果P，Q兩點間

的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．

已知點E（3，0）．

①直接寫出d（點E）的值；

②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；

③設T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作T．若d（T）滿足d（T）＞+，

⊙⊙⊙

直接寫出圓心T的橫坐標x的取值范圍．

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16．（2021秋?慈溪市期中）如圖1，在O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦

BA，CA，DA構成的圖形稱為圓中的⊙“爪形A”，弦BA，CA，DA稱為“爪形A”的爪．

（1）如圖2，四邊形ABCD內接于圓，AB＝BC．①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：

AD+CD＝BD．

（2）如圖3，四邊形ABCD內接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時“爪形D”的爪之間滿足

怎樣的數量關系，請直接寫出結果．

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17．（2021秋?潤州區校級月考）在平面直角坐標系xOy中，C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P

關于C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P⊙′，滿足CP+CP′＝2r，則稱P′為點P關于C

的反稱⊙點，如圖為點P及其關于C的反稱點P′的示意圖．⊙

（1）當O的半徑為1時，⊙

①分別判⊙斷點M（3，1），N（，0），T（﹣1，）關于O的反稱點是否存在？若存在，直接求其坐標；

⊙

②將O沿x軸水平向右平移1個單位為O′，點P在直線y＝﹣x+1上，若點P關于O′的反稱點P′

存在，⊙且點P′不在坐標軸上，則點P的橫⊙坐標的取值范圍；⊙

（2）C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣x+12與x軸，y軸分別交于點A、B，點E與點D分別在點

A與點⊙B的右側2個單位，線段AE、線段BD都是水平的，若四邊形ABDE四邊上存在點P，使得點P關于

C的反稱點P′在C的內部，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．

⊙⊙

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18．（2021?建鄴區二模）【概念學習】

在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為1，若O平移d個單位后，使某圖形上所有點在O內或O上，

則稱d的最小值為O對該圖⊙形的“最近覆蓋距⊙離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0⊙），則O⊙對線段

AB的“最近覆蓋距⊙離”為3．⊙

【概念理解】

（1）O對點（3，4）的“最近覆蓋距離”為．

（2）如⊙圖②，點P是函數y＝2x+4圖象上一點，且O對點P的“最近覆