2024-2025學年河北省承德市承德縣高二上學期期中考試數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．若直線與平行，則（

）A． B． C． D．22．已知直線l經過點，，則直線l的斜率為（

）A． B． C．3 D．3．若橢圓焦點在軸上且橢圓經過點0,2，，則該橢圓的標準方程為（

）A．B．C．D．4．正四棱柱中，，E，F，G分別是，，的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．在直角坐標系中，已知直線與圓相交于兩點，則的面積的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．6．已知直線與相交于點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．8．設雙曲線的右焦點為F，雙曲線C上的兩點A、B關于原點對稱，且滿足，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9．已知直線：與圓：相交于，兩點，則（

）A．圓心的坐標為B．圓的半徑為C．圓心到直線的距離為2D．10．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為11．已知正方體棱長為1，下列結論正確的是（

）A．直線與所成角為B．直線到平面的距離是C．點到直線的距離為D．平面與平面所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．若M，N是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，P是該雙曲線上任意一點．當直線PM，PN的斜率都存在時，記為，，則．13．希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為．14．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列四個結論：①當點是中點時，直線平面；②直線到平面的距離是；③存在點，使得；④面積的最小值是.其中所有正確結論的序號是.四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本題13分)已知圓.(1)若直線與圓相交，求實數的取值范圍；(2)若點為軸上一點，過點作圓的切線，切點分別為和.①求四邊形面積的最小值；②當點橫坐標為4時，求直線的方程.16．(本題15分)在平面直角坐標系中，已知兩點的坐標分別為，，直線相交于點，且它們的斜率之積是.(1)求動點的軌跡方程；(2)若點的軌跡與直線相交于兩個不同的點，線段的中點為.若直線的斜率為，求線段的長.17．(本題15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．(1)求證：平面；(2)求直線平面夾角的正弦值；(3)求點到平面的距離．18．(本題17分)如圖，在三棱錐中，分別為的中點，.(1)證明：：(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請說明理由.19．(本題17分)已知圓和定點為圓上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點，設點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若是曲線上的一點，過的直線與直線分別交于S，T兩點，且為線段ST的中點．①求證：直線l與曲線有且只有一個公共點；②求的最小值（為坐標原點）．答案：題號12345678910答案ACBDDAAAACDBCD題號11答案BCD1．A【分析】根據直線平行列式求解，并代入檢驗即可.【詳解】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述.故選：A.2．C【分析】利用斜率坐標公式計算得解.【詳解】由直線l經過點，，得直線l的斜率.故選：C3．B【分析】根據已知條件求得，從而求得橢圓的標準方程.【詳解】由題意得橢圓焦點在x軸上且經過點0,2，所以，，，橢圓的標準方程為．故選：B．4．D【分析】建立空間直角坐標系，設，寫出點的坐標，利用異面直線夾角余弦公式求出答案.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，故，故直線與所成角的余弦值為.故選：D5．D【分析】根據點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，利用勾股定理可表示出弦長，代入面積公式，結合二次函數求最值即可求解.【詳解】圓心到直線的距離，，又，所以，即.故選：D.6．A【分析】解方程組求得交點坐標，由點到直線距離公式計算出距離．【詳解】由得，即，所以點到直線的距離為，故選：A．7．A【分析】根據題意，得證為等腰三角形，于是建立如圖所示空間直角坐標系，，根據與直線AC與BD所成角為建立方程，求得，然后找出外接球球心，根據相關數量關系，建立外接球半徑的等式關系，求出半徑，應用球的表面積公式即可得解【詳解】由題意可得，因為為等邊三角形，所以，又，且所以，所以,取的中點，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，D0,1,0，令，所以，因為，所以，所以，所以，因為直線AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設點A在平面內的投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；2.若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體求解；3.正方體的內切球的直徑為正方體的棱長．4.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．5.利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解．8．A【分析】設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性結合，得到四邊形為矩形，設，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據，得到的范圍，從而利用對勾函數的值域得到的范圍，進而由即可得解.【詳解】如圖所示：設雙曲線的左焦點，由雙曲線的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，則，所以平行四邊形為矩形，故，設，，則，在中，，，所以，則，所以，令，得，又由，得，因為對勾函數在上單調遞增，所以，所以，即，則，故，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：A.關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用橢圓的對稱性證得四邊形為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，結合條件得到關于的齊次不等式，從而得解.9．ACD【分析】化圓的方程為標準形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長公式計算判斷D.【詳解】對于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯誤；對于C，點到直線：的距離，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD10．BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據離心率的公式可判斷A，根據橢圓的定義可判斷B，根據勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當且僅當時取等號，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11．BCD【分析】由線面垂直得證線線垂直，判斷A，由直角三角形求點線距判斷C，建立空間直角坐標系，由空間向量法求線面距判斷B，結合正方體的性質得平面的法向量，由法向量夾角求二面角判斷D．【詳解】平面，平面，所以，A錯；以為原點，分別以為軸建立直角坐標系，如圖，則，，，，，，設平面的一個法向量是，則，取，得，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離，即為，B正確；是直角三角形，，因此到直線的距離等于，C正確；由正方體的性質，可得平面，平面，，，，，所以平面與平面所成角的余弦值為，D正確．故選：BCD．12．【分析】直接由斜率公式結合雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意設，當直線PM，PN的斜率都存在時，記為，，則.故答案為.13．【分析】首先設出點的坐標，然后列出等式，最后化簡所得的等式可得軌跡方程.【詳解】由題意可設點，由，，，得，化簡得，即.故答案為.14．①②③【分析】對①：由線面平行的判定定理進行判斷即可；對②：把直線到平面的距離轉化為點到平面的距離，利用等體積法求解即可；對③和④：都屬動點問題，把幾何問題轉化為空間向量的問題，對于③，只需證明有解即可；對于④，只需求出點到直線距離的最小值即可.【詳解】對①，如圖所示:因為是中點，，所以點是的中點，連接，顯然也是的交點，連接，所以，而平面，平面，所以直線平面，故①正確；以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，對②，，分別是棱，的中點，所以，平面，平，故平面，故直線到平面的距離等于點到平面的距離，設為，，，，，，由得，故②正確；對③，設，，，則，，由，得，得，由，故存在點，使得，故③正確；對④，由③得到的投影為，故到的距離，面積為，，由二次函數性質，當時，取得最小值為，④錯．故①②③15．(1)(2)①；②【分析】（1）利用距離公式即可得到答案.（2）①利用面積的公式即可求出最小值；②利用切點弦方程的公式即可得到答案.【詳解】（1）命題等價于到直線的距離小于，即，解得的取值范圍是.（2）①易知，所以，等號對成立，故最小值是；②因為，所以四點共圓，圓心為的中點，因為，所以圓的半徑為，方程為，即，直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.16．(1)(2)【分析】（1）設，根據題意建立等式求解即可；（2）先利用點差法求得，然后聯立方程組求弦長即可.【詳解】（1）設得（2）設Ax1,所以有得由題可知兩式求差化簡得即因為所以所以直線的方程為聯立解得或所以17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，由線面角的夾角向量公式求出直線平面夾角的正弦值；（3）在（2）基礎上，由點到平面距離向量公式求出答案.【詳解】（1）因為底面為正方形，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，設平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，則，

直線平面夾角的正弦值為；（3）由（2）知，平面的法向量為，點到平面的距離為.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）根據題設中的邊的關系可證明，再結合線面垂直的判定和性質可得；（2）結合（1）中結果可建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面法向量后可求夾角的正弦值；（2）設，利用點到平面的距離公式可求的值.【詳解】（1）因為為中點，故，而，故，而，平面，故平面，而平面，故.（2）因為，結合（1）中可得，而，故，故，結合（1）中及可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，故平面的法向量為，設平面的法向量為m=x,y,z，而，則即，取，則，故，而，故.（3）設，其中，由（2）可得平面的法向量為，故到平面的距離為，由題設有，故，故.19．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據垂直平分線的性質得到，即可得到，結合雙曲線的定義計算可得；（2）（i）設，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由（i）求出，，再計算可得為定值，即可結合基本不等式求解.【詳解】（1）為PA的垂直平分線上一點，則，則，點的軌跡為以A，C為焦點的雙曲線，且，故點的軌跡方程為；（2）（i）設，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：則：①．②，①+②得，