第3章正弦交流電路3.1正弦交流電路的基本概念

3.2R、L、C元件的交流電路

3.3相量形式的基爾霍夫定律

3.4RLC串聯(lián)電路分析

3.5提高功率因數(shù)

3.6電路的諧振

本章小結(jié)習(xí)題與思考題

交流電路是電工學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)電機(jī)、電器和電子技術(shù)的理論基礎(chǔ)。現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防以及人們?nèi)粘Ｉ钪袕V泛使用的是交流電。交流電是指大小和方向隨時間作周期性交替變化的電動勢、電壓和電流。按正弦規(guī)律變化的交流電稱為正弦交流電。在正弦交流電作用下的電路稱為正弦交流電路。本章首先討論正弦交流電路的基本概念及表示法；然后介紹單一參數(shù)的伏安特性和能量關(guān)系，以及由這些單一參數(shù)組成的電路電壓與電流之間的關(guān)系及功率；最后分析和研究提高功率因數(shù)的意義和方法。在學(xué)習(xí)中要注意掌握交流電路的特點(diǎn)和規(guī)律。3.1正弦交流電路的基本概念3.1.1正弦量

1.周期、頻率、角頻率在工程技術(shù)中常采用各種大小和方向隨時間作周期性變化的電流和電壓以傳遞電能和電信號，這種電流和電壓稱為周期性電流和電壓。常見的周期性信號有正弦交流信號、方波信號、三角波信號等。本章以正弦交流電為例來進(jìn)行說明，其波形如圖3-1所示。周期性變化的電流和電壓變化一周所需要的時間叫周期，用T表示，單位是秒(s)。

1秒內(nèi)周期性變化的電流和電壓變化的次數(shù)稱為交流電的頻率，用f表示，頻率的單位是Hz(赫［茲］)，1Hz=1s-1。圖3-1正弦交流電波形圖周期和頻率之間的關(guān)系為

正弦量的變化規(guī)律用角度描述也很方便。如圖3-2所示的正弦電動勢，每一時刻的值都可與一個角度相對應(yīng)。如橫軸用角度刻度，當(dāng)角度變到π/2時，電動勢達(dá)到最大值；當(dāng)角度變到π時，電動勢變?yōu)榱阒?圖3-2)。這個角度不表示任何空間角度，只是用來描述正弦交流電的變化規(guī)律，所以把這種角度叫電角度。每秒經(jīng)過的電角度叫角頻率，用ω表示。圖3-1中的ω即是角頻率。角頻率與頻率、周期之間有如下的關(guān)系：圖3-2用電角度表示正弦交流電

2.瞬時值、最大值、有效值

交流電在變化過程中，每一時刻的值都不相同，可稱為瞬時值。瞬時值是關(guān)于時間的函數(shù)，只有指出具體的時刻，才能求出確切的數(shù)值和方向。瞬時值規(guī)定用小寫字母表示。例如圖3-2中的電動勢，其瞬時值為

e=Emsin(ωt+φ)

正弦交流電波形圖上的最大幅值即為交流電的最大值(見圖3-2),它表示在一周內(nèi)數(shù)值最大的瞬時值。最大值規(guī)定用大寫字母加腳標(biāo)m表示，例如Im、Em、Um等。正弦交流電的瞬時值是隨時間變化的，計(jì)量時用正弦交流電的有效值來表示。交流電表的指示值和交流電器上標(biāo)示的電流、電壓數(shù)值一般都是有效值。交變電流的有效值是指在熱效應(yīng)方面和它相當(dāng)?shù)闹绷麟姷臄?shù)值。即在相同的電阻中，分別通入直流電和交流電，在經(jīng)過一個交流周期的時間內(nèi)，如果它們在電阻上產(chǎn)生的熱量相等，即可用此直流電的數(shù)值表示交流電的有效值(見圖3-3)。有效值規(guī)定用大寫字母表示，例如I、E、U。按上述定義，應(yīng)有圖3-3交流電的有效值對于正弦交流電

i=Imsinωt

A或可見，正弦交流電的有效值是最大值的倍。對正弦交流電動勢和電壓亦有同樣的關(guān)系：

3.相位、初相和相位差

正弦交變電動勢e=Emsin(ωt+φ)V，它的瞬時值隨著電角度ωt+φ而變化。電角度ωt+φ叫做正弦交流電的相位，用來描述正弦交流電在不同瞬間的變化狀態(tài)，如增大、減小、零或者最大值等。例如圖3-4(a)所示的發(fā)電機(jī)，若在電機(jī)鐵芯上放置兩個夾角為φ、匝數(shù)相同的線圈AX和BY，當(dāng)轉(zhuǎn)子如圖示方向轉(zhuǎn)動時，這兩個線圈中的感應(yīng)電動勢分別是：

eA=Emsin(ωt)V

eB=Emsin(ωt+φ)V

這兩個正弦交變電動勢的最大值相同，頻率相同，但相位不同：eA的相位是ωt，eB的相位是ωt+φ，見圖3-4(b)。圖3-4不同相的兩電動勢當(dāng)t=0時的相位簡稱初相，它反映正弦交流電起始時刻的狀態(tài)。以上述eA、eB為例，eA的初相是0，eB的初相是φ。初相通常用不大于180°的角來表示。兩個同頻率的正弦交流電的相位之差稱為相位差。相位差表示兩正弦量到達(dá)最大值的先后差距。例如：已知i1=I1msin(ωt+φ1)，i2=I2msin(ωt+φ2)，則i1和i2的相位差φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2，這表明兩個同頻率的正弦交流電的相位差等于初相之差。若兩個同頻率的正弦交流電的相位差φ1-φ2>0，則稱“i1超前于i2”；若φ1-φ2<0，則稱“i1滯后于i2”；若φ1-φ2=0，則稱“i1和i2同相位”；若相位差φ1-φ2=±180°，則稱“i1和i2反相位”。必須指出，在比較兩個正弦交流電之間的相位時，兩正弦量一定要同頻率才有意義;否則,隨時間變化，兩正弦量之間的相位差是一個變量，這就沒有意義了。綜上所述，正弦交流電的最大值、頻率和初相叫做正弦交流電的三要素。三要素描述了正弦交流電的大小、變化快慢和起始狀態(tài)。當(dāng)三要素決定后，就可以唯一地確定一個正弦交流電了。例3-1如圖3-5所示的正弦交流電，寫出它們的瞬時值表達(dá)式。圖3-5例3-1圖

解

i1、i2、i3的瞬時值為

i1=5sinωt

A

例3-2

已知正弦交流電：i1=5sinωtA，i2=10sin(ωt+45°)A，i3=50sin(3ωt-60°)A。求：i1和i2的相位差，i2和i3的相位差。

解

i2、i3頻率不同，相位差無意義。i1和i2的相位差為

φ1-φ2=ωt-(ωt+45°)=-45°表明i1滯后于i245°3.1.2同頻率正弦量的相加和相減

同頻率正弦量相加、減，可以用解析式的方法來實(shí)現(xiàn)，即用三角函數(shù)表示正弦量；還可以用波形圖表示法來實(shí)現(xiàn)，即用與解析式相對應(yīng)的正弦曲線表示正弦量。但這兩種方法在表示正弦量的加減時都不簡便。所以，通常用旋轉(zhuǎn)矢量的方法計(jì)算幾個同頻率正弦量的相加、相減。用旋轉(zhuǎn)矢量表示正弦交流電的方法是：在直角坐標(biāo)系中畫一個旋轉(zhuǎn)矢量，規(guī)定用該矢量的長度表示正弦交流電的最大值，該矢量與橫軸的正向夾角表示正弦交流電的初相，矢量以角速度ω按逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角速度也就表示正弦交流電的角頻率。

例3-3已知i1=7.5sin(ωt+30°)A，i2=5sin(ωt+90°)A，i3=5sinωtA，i4=10sin(ωt-120°)A，畫出表示以上正弦交流電的旋轉(zhuǎn)矢量。

解如圖3-6所示，用旋轉(zhuǎn)矢量I1m、I2m、Ｉ3m和I4m分別表示正弦交流電i1、i2、i3和i4，其中：I1m=7.5A,I2m=5A,I3m=5A,I4m=10A。

注意：只有當(dāng)正弦交流電的頻率相同時，表示這些正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量才能畫在同一坐標(biāo)系中。圖3-6例3-3圖

1.同頻率正弦量加、減的一般步驟

幾個同頻率正弦量加、減的一般步驟如下：

(1)在直角坐標(biāo)系中畫出代表這些正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量。

(2)分別求出這幾個旋轉(zhuǎn)矢量在橫軸上的投影之和及在縱軸上的投影之和。

(3)求合成矢量。

(4)根據(jù)合成矢量寫出計(jì)算結(jié)果。例3-4已知i1=2sin(ωt+30°)A，i2=4sin(ωt+45°)A,求i=i1+i2。

解畫i1、i2的旋轉(zhuǎn)矢量圖I1m、I2m(見圖3-7)，求得

Ox=Ox1+Ox2=2cos30°+4cos45°≈4.66

Oy=Oy1-Oy2=2sin30°-4sin45°≈-1.828圖3-7例3-4圖

2.正弦量加、減的簡便方法可以證明，幾個同頻率的正弦量相加、相減，其結(jié)果還是一個相同頻率的正弦量。所以，在畫旋轉(zhuǎn)矢量圖時，可以略去直角坐標(biāo)系及旋轉(zhuǎn)角速度ω，只要選其中一個正弦量為參考量，將其矢量圖畫在任意方向上(一般畫在水平位置上)，其它正弦量僅按它們和參考量的相位關(guān)系畫出，便可直接按矢量計(jì)算法進(jìn)行。另外，由于交流電路中通常只計(jì)算有效值，而不計(jì)算瞬時值，因而計(jì)算過程更簡單。

例3-5

已知i1=2sin(ωt+30°)A，i2=4sin(ωt-45°)A，求i=i1+i2的最大值。解相位差φ1,2=φ1-φ2=30°-(-45°)=75°，且i1超前于i275°。以i1為參考量，畫矢量圖(圖3-8)。根據(jù)矢量圖求Im=I1m+I2m。用余弦定理得

I2m=4+16-16cos(90°+15°)=20+16sin15°≈24.14所以

Im=4.91A圖3-8正弦電流相加

例3-6已知u1=220sin(ωt+90°)V，u2=220sin(ωt-30°)V，求u=u1-u2的有效值。

解設(shè)參考量為u1=220sin(ωt+90°)V，矢量式為U=U1+(-U2)，畫有效值矢量圖(圖3-9)。根據(jù)余弦定理，從矢量圖得所以

U=381V

由矢量圖還可得出，U和U1的夾角為30°，表明U超前于U130°，考慮U1的初相是90°，故可得

u=381sin(ωt+120°)V圖3-9正弦電壓相減3.2R、L、C元件的交流電路

直流電流的大小與方向不隨時間變化，而交流電流的大小和方向則隨時間不斷變化。因此，在交流電路中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象，與直流電路中的現(xiàn)象不完全相同。電容器接入直流電路時，電容器被充電，充電結(jié)束后，電路處在斷路狀態(tài)。但在交流電路中，由于電壓是交變的，因而電容器時而充電時而放電，電路中出現(xiàn)了交變電流，使電路處在導(dǎo)通狀態(tài)。電感線圈在直流電路中相當(dāng)于導(dǎo)線,但在交流電路中由于電流是交變的，所以線圈中有自感電動勢產(chǎn)生。電阻在直流電路與交流電路中作用相同，起著限制電流的作用，并把取用的電能轉(zhuǎn)換成熱能。由于交流電路中電流、電壓、電動勢的大小和方向隨時間變化，因而分析和計(jì)算交流電路時，必須在電路中給電流、電壓、電動勢標(biāo)定一個正方向。同一電路中電壓和電流的正方向應(yīng)標(biāo)定一致(如圖3-10所示)。若在某一瞬時電流為正值，則表示此時電流的實(shí)際方向與標(biāo)定方向一致；反之，如果電流為負(fù)值，則表示此時電流的實(shí)際方向與標(biāo)定方向相反。圖3-10交流電方向的設(shè)定3.2.1純電阻電路

1.電阻電路中的電流

將電阻R接入如圖3-11(a)所示的交流電路，設(shè)交流電壓為u=UmsinωtV，則R中電流的瞬時值為這表明，在正弦電壓作用下，電阻中通過的電流是一個相同頻率的正弦電流，而且與電阻兩端電壓同相位。畫出矢量圖如圖3-11(b)所示。電流最大值和電流有效值分別為：圖3-11純電阻電路、矢量圖及波形圖

2.電阻電路的功率

1)瞬時功率電阻在任一瞬時取用的功率，稱為瞬時功率，它可按下式計(jì)算：

p=ui=UmImsin2ωt

p≥0，表明電阻任一時刻都在向電源取用功率，起負(fù)載作用。i、u、p的波形圖如圖3-11(c)所示。

2)平均功率(有功功率)由于瞬時功率是隨時間變化的，為便于計(jì)算，常用平均功率來計(jì)算交流電路中的功率。平均功率為這表明，平均功率等于電壓、電流有效值的乘積。平均功率的單位是W(瓦［特］)。通常，白熾燈、電爐等電器所組成的交流電路，可以認(rèn)為是純電阻電路。

例3-7已知電阻R=440Ω，將其接在電壓U=220V的交流電路上，試求電流I和功率P。解3.2.2純電容電路

交流電路中，如果負(fù)載只有電容器，且電容器的介質(zhì)損耗可以忽略，則這個交流電路稱為純電容電路，如圖3-12(a)所示。設(shè)電容器C兩端加上電壓u=Umsinωt，由于電壓的大小和方向隨時間變化，使電容器極板上的電荷量也隨之變化，電容器的充、放電過程也不斷進(jìn)行，因而形成了純電容電路中的電流。圖3-12純電容電路、矢量圖及波形圖

1.電路中的電流

1)瞬時值這表明，純電容電路中通過的正弦電流比加在它兩端的正弦電壓超前π/2電角度，如圖3-12(b)所示。純電容電路的電壓、電流波形圖如圖3-12(c)所示。

2)最大值

3)有效值

2．容抗

電容器在交流電路中對電流的阻礙作用稱為容抗，符號用XC表示，單位是Ω，即在一定的電壓下，電容器容量越大，儲存的電荷越多，電壓不變時，充放電的電荷也越多，相應(yīng)的電流就越大，容抗越??；另一方面，交流電頻率越高，電容器充放電就越快，單位時間移動的電荷就越多，電流就越大，容抗也相應(yīng)小。在直流電路中，因?yàn)轭l率f=0，XC為無窮大，相當(dāng)于開路，這就是電容的隔直作用。

3.功率

1)瞬時功率這表明，純電容電路瞬時功率的波形以電路頻率的2倍按正弦規(guī)律變化。電容器也是儲能元件，當(dāng)電容器充電時，它從電源吸收能量；當(dāng)電容器放電時，它將能量送回電源(圖3-12(c))。

2)平均功率

P=0

3)無功功率

QC=UCI=I2XC

3.2.3純電感電路

交流電路中，如果負(fù)載只有一個線圈，且它的電阻和分布電容可以忽略不計(jì)，則該電路就可以看成是一個純電感電路。純電感電路如圖3-13(a)所示，L為線圈的電感。

1.電感的電壓設(shè)L中流過的電流i=Imsinωt,L上的自感電動勢由圖示標(biāo)定的方向，電壓瞬時值為這表明，純電感電路中通過正弦電流時，電感兩端的電壓也以同頻率的正弦規(guī)律變化，而且在相位上超前于電流π/2電角。純電感電路的矢量圖如圖3-13(b)所示。電壓最大值為

Um=ωLIm

電壓有效值為

U=ωLI

圖3-13純電感電路

2.電感的感抗

當(dāng)通過線圈的電流發(fā)生變化時，線圈會產(chǎn)生自感電動勢，阻礙電流的變化，這種阻礙作用稱為感抗，符號是XL，單位是Ω。其計(jì)算公式為電感的感抗由兩方面決定：一是電感量越大，線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢越大；另一方面，電源頻率越高，電路中電流變化越快，產(chǎn)生的自感電動勢也越大。感應(yīng)電動勢越大，對電流變化的阻礙越大，即感抗增大。在直流電路中，因?yàn)轭l率f=0，感抗XL=0，相當(dāng)于短路，即一條直導(dǎo)線，這就是電感的阻交通直作用。故感抗只對交流電有意義。

3.功率

1)瞬時功率p

純電感電路的瞬時功率p、電壓u、電流i的波形圖如圖3-13(c)所示。從波形圖可以看出：第1、3個T/4期間，p≥0，表示線圈從電源處吸收能量；在第2、4個T/4期間，p≤0，表示線圈向電路釋放能量。

2)平均功率(有功功率)P

瞬時功率表明，在電流的一個周期內(nèi)，電感與電源進(jìn)行兩次能量交換，交換功率的平均值為零，即純電感電路的平均功率為零，上式說明，純電感線圈在電路中不消耗有功功率，它是一種儲存電能的元件。

3)無功功率Q

純電感線圈和電源之間進(jìn)行能量交換的最大速率，稱為純電感電路的無功功率，用Q表示，

Q=ULI=I2XL

無功功率的單位是V·A(在電力系統(tǒng)中，慣用單位為乏(var))。

例3-8一個線圈電阻很小，可略去不計(jì)，電感L=35mH。求：該線圈在50Hz和1000Hz的交流電路中的感抗各為多少？若接在U=220V，f=50Hz的交流電路中，電流I、有功功率P、無功功率Q又是多少？

解

(1)f=50Hz時，

XL=2πfL=2π×50×35×10-3≈11Ω

f=1000Hz時，

XL=2πfL=2π×1000×35×10-3≈220Ω(2)當(dāng)U=220V，f=50Hz時，電流I=20A有功功率P=0W無功功率Q=UI=220×20=4400V·A3.3相量形式的基爾霍夫定律

同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦交流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示。如交流電路中的KCL為∑i(t)=0，可以用∑=0表示，這里的為矢量。而交流電路中的KVL為∑u(t)=0，可以用∑=0表示，這里的U為矢量。相量形式的基爾霍夫定律說明：在交流電路中，任一節(jié)點(diǎn)處各電流相量的代數(shù)和等于零；任一回路中各電壓相量的代數(shù)和等于零。這就是相量形式的基爾霍夫定律。需要注意的是，這是相量的代數(shù)和，而不是數(shù)值的代數(shù)和。一般情況下，∑I≠0,∑U≠0，因?yàn)楦髡伊恐g總存在一定的相位差，只有當(dāng)正弦量之間沒有相位差(同相)時，才能直接用模值相加。3.4RLC串聯(lián)電路分析3.4.1電阻、電感的串聯(lián)電路在圖3-14所示的R、L串聯(lián)電路中，設(shè)流過電流i=Imsinωt，則電阻R上的電壓瞬時值為

uR=ImRsinωt=uRmsinωt

由前文可知,電感L上的電壓瞬時值為總電壓u的瞬時值為u=uL+uR。畫出該電路電流和各段電壓的矢量圖如圖3-15所示。圖3-14R、L串聯(lián)電路圖3-15R、L串聯(lián)電路的電流和電壓矢量圖因?yàn)橥ㄟ^串聯(lián)電路各元件的電流是相等的，所以在畫矢量圖時通常把電流矢量畫在水平方向上，作為參考矢量。電阻上的電壓與電流同相位，故矢量UR與同方向；感抗兩端電壓超前于電流π/2電角，故矢量UL與垂直。R與L的合成矢量便是總電壓U的矢量。

1.電壓和電壓三角形

從電壓矢量圖可以看出，電阻上電壓矢量、電感上電壓矢量與總電壓的矢量，恰好組成一個直角三角形，此直角三角形叫做電壓三角形(圖3-16(a))。從電壓三角形可求出總電壓的有效值為圖3-16電壓、阻抗、功率三角形

2.阻抗和阻抗三角形

和歐姆定律對比，上式可寫成式中我們把Z稱為電路的阻抗，它表示R、L串聯(lián)電路對電流的總阻力。阻抗的單位是Ω。電阻、感抗、阻抗三者之間也符合一個直角三角形三邊之間的關(guān)系，如圖3-16(b)所示，該三角形稱為阻抗三角形。注意，這個三角形不能用矢量表示。電流與總電壓之間的相位差可從下式求得：上式說明，φ角的大小取決于電路的電阻R和感抗XL的大小，而與電流電壓的量值無關(guān)。

3.功率和功率三角形

1)有功功率P

在交流電路中，電阻消耗的功率叫有功功率，

P=I2R=URI=UIcosφ式中，cosφ稱為電路功率因數(shù)，它是交流電路運(yùn)行狀態(tài)的重要數(shù)據(jù)之一。電路功率因數(shù)的大小由負(fù)載性質(zhì)決定。

2)無功功率Q

Q=I2XL=ULI=UIsinφ

3)視在功率S總電壓U和電流I的乘積叫電路的視在功率,

S=UI=I2Z

視在功率的單位是V·A(伏安)或kV·A(千伏安),它表示電器設(shè)備(發(fā)電機(jī)、變壓器等)的容量。根據(jù)視在功率的表示式，有功功率和無功功率的表達(dá)式也可用P=UIcosφ=Scosφ和Q=UIsinφ=Ssinφ表示。可見，S、P、Q之間的關(guān)系也符合一個直角三角形三邊的關(guān)系，即由S、P、Q組成的這個三角形叫功率三角形(圖3-16(c))，該三角形可看成是電壓三角形各邊同乘以電流I得到。與阻抗三角形一樣，功率三角形也不應(yīng)畫成矢量，因S、P、Q都不是正弦量。3.4.2電阻、電容的串聯(lián)電路

在圖3-17所示的R、C串聯(lián)電路中，設(shè)流過電流i=Imsinωt，則電阻R上的電壓瞬時值為

uR=ImRsinωt=uRmsinωt

由前文可知,電容C上的電壓瞬時值為總電壓u的瞬時值為u=uC+uR。畫出該電路電流和各段電壓的矢量圖如圖3-18所示。圖3-17R、C串聯(lián)電路圖3-18R、C串聯(lián)電路的矢量圖因?yàn)橥ㄟ^串聯(lián)電路各元件的電流是相等的，所以在畫矢量圖時通常把電流矢量畫在水平方向上，作為參考矢量。電阻上的電壓與電流同相位，故矢量UR與I同方向；容抗兩端的電壓滯后于電流π/2電角，故矢量UC與垂直。R與C的合成矢量便是總電壓U的矢量。電壓有效值、電壓三角形從電壓矢量圖可以看出，電阻、容抗和總阻抗也可以形成一個矢量三角形，功率三角形也和電壓矢量圖相似。由圖3-18(a)可以得出：

1.阻抗和阻抗三角形

根據(jù)正弦交流電路的歐姆定律，電流I的有效值可表示為式中。我們把Z稱為電路的阻抗，它表示R、C串聯(lián)電路對電流的總阻力。阻抗的單位是Ω。電阻、容抗、阻抗三者之間也符合一個直角三角形三邊之間的關(guān)系，如圖3-18(b)所示，該三角形稱阻抗三角形。注意，這個三角形不能用矢量表示。電流與總電壓之間的相位差可從下式求得：上式說明，φ角的大小取決于電路的電阻R和容抗XC的大小，而與電流電壓的量值無關(guān)。

2.功率和功率三角形

1)有功功率P

P=I2R=URI=UIcosφ

式中，cosφ稱為電路功率因數(shù)，它是交流電路運(yùn)行狀態(tài)的重要數(shù)據(jù)之一。電路功率因數(shù)的大小由負(fù)載性質(zhì)決定。

2)無功功率Q

Q=I2XC=UCI=UIsinφ

3)視在功率S

總電壓U和電流I的乘積叫電路的視在功率，

S=UI=I2Z

功率三角形如圖3-18(c)所示。

例3-9把電阻R=60Ω，電感L=255mH的線圈，接入頻率f=50Hz，電壓U=220V的交流電路中，分別求出XL、I、UL、UR、cosφ、P、S。

解

感抗XL=2πfL=2π×50×255×10-3≈80Ω阻抗電流電阻兩端電壓UR=IR=2.2×60=132V電感兩端電壓UL=IXL=2.2×80=176V電路功率因數(shù)有功功率P=UIcosφ=220×2.2×0.6=290.4W視在功率S=UI=220×2.2=484W

例3-10如圖3-19(a)所示電路，已知U=110V，I=1A，R1=50Ω，電路的有功功率P=100W，求R2、XL、U2、cosφBC、cosφ總，并繪出電路電流、電壓矢量圖。圖3-19例3-10圖

解因?yàn)镻=I2(R1+R2),所以電路總阻抗感抗電路總功率因數(shù)

BC段阻抗

BC段電壓U2=IZ2=1×67.8=67.8VBC段功率因數(shù)電流、電壓矢量圖如圖3-19(b)所示。3.4.3RLC串聯(lián)電路

R、L、C三種元件組成的串聯(lián)電路如圖3-20所示。若電路中流過正弦電流i=

Isinωt，此電流分別在R、L、C兩端產(chǎn)生壓降uR、uL、uC，則各元件上對應(yīng)的電壓有效值為

UR=IR，UL=IXL，UC=IXC

總電壓的有效值矢量應(yīng)為各段電壓有效值矢量之和：

U=UR+UL+UC且UR與電流同相，UL超前于90°，UC滯后于I90°，電壓、電流矢量圖如圖3-21所示。圖3-20R、L、C串聯(lián)電路圖3-21R、L、C串聯(lián)電路電流、電壓矢量圖從矢量圖可得總電壓有效值為上式中，Z稱為電路阻抗，X=XL-XC稱為電路的電抗。阻抗和電抗的單位都是Ω。電路中總電壓和電流的相位差為從上式可以看出：當(dāng)XL>XC時，φ>0，總電壓超前于電流(圖3-21(a))，電路屬感性電路；當(dāng)XL<XC時，φ<0，總電壓滯后于電流(圖3-21(b))，電路屬容性電路；當(dāng)XL=XC時，φ=0，總電壓和電流同相位(圖3-21(c))，電路屬阻性電路，這種現(xiàn)象稱為諧振。關(guān)于串聯(lián)時的諧振電路我們在后面的章節(jié)會分析。3.5提高功率因數(shù)功率因數(shù)是用電設(shè)備的一個重要技術(shù)指標(biāo)。電路的功率因數(shù)由負(fù)載中包含的電阻與電抗的相對大小決定:純電阻負(fù)載cosφ=1；純電抗負(fù)載cosφ=0；一般負(fù)載的cosφ在0～1之間，而且多為感性負(fù)載。例如常用的交流電動機(jī)便是一個感性負(fù)載，滿載時功率因數(shù)為0.7～0.9，而空載或輕載時功率因數(shù)則較低。提高用戶的功率因數(shù)，對于提高電網(wǎng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)效益以及節(jié)約電能都具有重要意義。3.5.1提高功率因數(shù)的意義

提高功率因數(shù)的意義如下：首先，能夠充分利用電源設(shè)備的容量，提高電源的利用率。提高用戶的功率因數(shù)，可以使同等容量的供電設(shè)備向用戶提供更多的有功功率，提高供電能力；或者說，在用戶所需有功功率一定的情況下，發(fā)電機(jī)、變壓器輸配電線等容量都可以相應(yīng)減小，從而降低電網(wǎng)設(shè)備的投資。其次，可以減小輸電線上的能量損失。在一定的電源電壓下，向用戶輸送一定的有功功率時，由I=P/(Ucosφ)可知，電流I和功率因數(shù)成反比，功率因數(shù)越低，流過輸電線路的電流就越大，供電設(shè)備的利用率越低，輸電線路上的功率損失與電壓損失越多。因此，為了減少電能損耗，改善供電質(zhì)量，就必須提高功率因數(shù)。

例3-11某供電變壓器額定電壓Ue=220V，額定電流Ie=100A，視在功率S=22kV·A?，F(xiàn)變壓器對一批功率P=4kW，cosφ=0.6的電動機(jī)供電，問變壓器能對幾臺電動機(jī)供電？若將cosφ提高到0.9，問變壓器又能對幾臺電動機(jī)供電？

解當(dāng)cosφ=0.6時，每臺電動機(jī)取用的電流為可供電動機(jī)的臺數(shù)為故可給3臺電動機(jī)供電。若cosφ=0.9，每臺電動機(jī)取用的電流為可供電動機(jī)的臺數(shù)為故可給5臺電動機(jī)供電。可見，當(dāng)功率因數(shù)提高后，每臺電動機(jī)取用的電流變小，變壓器可供電的電動機(jī)臺數(shù)增加，使變壓器的容量得到充分的利用。

例3-12某廠供電變壓器至發(fā)電廠之間輸電線的電阻是5Ω，發(fā)電廠以104V的電壓輸送500kW的功率。當(dāng)cosφ=0.6時，問輸電線上的功率損失是多大？若將功率因數(shù)提高到0.9，每年可節(jié)約多少電？

解當(dāng)cosφ=0.6時，輸電線上的電流為因而輸電線上的功率損失為

P損失=I2r=832×5≈34.5kW當(dāng)cosφ=0.9時，輸電線上的電流為因而輸電線上的功率損失為

P′損失=I2r=55.62×5≈15.5kW

一年共365×24=8760小時，當(dāng)cosφ由0.6提高到0.9時，可節(jié)約的電能為

W=(34.5-15.5)×8760=166440kW·h即每年可節(jié)約用電16.6萬度。從以上兩例可見，提高功率因數(shù)后，可以充分利用供電設(shè)備的容量，而且可以減少輸電線路上的損失。下面介紹提高功率因數(shù)的方法。3.5.2提高功率因數(shù)的方法

提高功率因數(shù)的具體方法有以下兩種。第一，提高用電設(shè)備本身的功率因數(shù)：

(1)合理選用電動機(jī)，即不要用大容量的電動機(jī)來帶動小功率負(fù)載。

(2)盡量不讓電動機(jī)空轉(zhuǎn)。

(3)可以實(shí)行交流接觸器無聲運(yùn)行。

(4)對負(fù)載有變化但經(jīng)常處在輕載運(yùn)行狀態(tài)的電動機(jī)，采用△-Ｙ接線的自動切換等。這些措施都可以提高設(shè)備自身的自然功率因數(shù)，從而使電路功率因數(shù)提高。異步電動機(jī)和變壓器是電網(wǎng)中占用無功功率最多的電氣設(shè)備，當(dāng)電動機(jī)實(shí)際負(fù)荷比其額定容量低許多時，功率因數(shù)將急劇下降。這時電動機(jī)做功不大，耗用的無功功率和有功功率卻很多，造成電能的浪費(fèi)。要提高功率因數(shù)，就必須合理選擇電動機(jī)，使電動機(jī)的容量與被拖動的機(jī)械負(fù)載配套。電力變壓器的選擇也同樣要配套，容量過大而負(fù)荷較小的變壓器也會增大無功功率和鐵芯的損耗。第二，常在感性負(fù)載上并接電容器(如圖3-22所示)來提高線路的功率因數(shù)。采用這一方法時應(yīng)區(qū)分兩個概念：

(1)并聯(lián)電容器后，對原感性負(fù)載的工作情況沒有任何影響，即流過感性負(fù)載的電流和它的功率因數(shù)均未改變。這里所謂功率因數(shù)提高了，是指包括電容在內(nèi)的整個電路的功率因數(shù)比單獨(dú)的感性負(fù)載的功率因數(shù)提高了，因?yàn)檫@時感性負(fù)載和電容器之間就地進(jìn)行能量交換，感性負(fù)載所需要的無功功率一部分或大部分可以由并聯(lián)的電容器供給。能量的吸收與釋放，原來只在負(fù)載與電源之間，現(xiàn)在一部分或大部分改在感性負(fù)載與電容器之間進(jìn)行，從而減小因能量交換而在外部線路上流通的那部分電流，降低了線路損耗。

(2)線路電流的減小，是由于電流的無功分量減小的結(jié)果,而電流的有功分量并未改變，這從相量圖上可以清楚地看出。圖3-22感性負(fù)載和電容器的并聯(lián)電路圖3-23電流、電壓矢量圖由圖3-22可知，R、L支路電流為這里

i1滯后于總電壓u的電角，電容C支路的電流，電路總電流i=i1+iC。值得注意的是：由于相位不同，故總電流I的有效值應(yīng)從I1和IC的矢量和求得。根據(jù)電流矢量式畫出該電路電流、電壓矢量圖如圖3-23所示，并聯(lián)電路取總電壓為參考矢量。感性負(fù)載中的電流I1可以分解成兩個分量：與電壓同相的IR稱為有功分量，IR=I1cosφ；另一個滯后于電壓π/2電角的IL稱為無功分量，IL=I1sinφ。從矢量圖求出總電流的有效值為總電流與電壓的相位差為根據(jù)矢量圖，我們討論以下幾種情況：

(1)當(dāng)IL>IC時，電路的總電流滯后于電壓，此時電路呈感性。

(2)當(dāng)IL<IC時，電路的總電流超前于電壓，此時電路呈容性。

(3)當(dāng)IL=IC時，電路的總電流與電壓同相位，φ=0，此時電路呈電阻性。這種情況稱為并聯(lián)諧振(或電流諧振)。關(guān)于并聯(lián)諧振的其他內(nèi)容，我們在下一節(jié)做詳細(xì)說明。3.6電路的諧振

在含有電感和電容元件的交流電路中，由于感抗和容抗都是頻率的函數(shù)，一般情況下電路的電流和電壓的相位是不相同的，所以電路可能表現(xiàn)為感性，也可能表現(xiàn)為容性。在一定條件下，電路的電流和電壓的相位有可能相同，電路表現(xiàn)為電阻性，這種現(xiàn)象叫做電路的諧振。諧振電路具有的某些特征在無線電和電工技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用；另一方面，在電力系統(tǒng)中若發(fā)生諧振，則有可能破壞系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，應(yīng)盡量避免。所以對諧振現(xiàn)象的研究具有重要的意義。按發(fā)生諧振電路的連接方式不同，諧振可分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振。3.6.1串聯(lián)諧振

1.諧振條件

如圖3-24所示，在R、L、C串聯(lián)電路中，當(dāng)XL=XC時，電路中總電壓和電流同相位，這時電路中便產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。所以，XL=XC便是電路產(chǎn)生諧振的條件。因?yàn)閄L=XC，又知XL=2π·fL，，諧振的頻率用f0表示，諧振角頻率用ω0表示，故由得圖3-24串聯(lián)諧振電路

2.串聯(lián)諧振時的電路特點(diǎn)

(1)總電壓和電流同相位，電路呈電阻性。

(2)串聯(lián)諧振時電路阻抗最小，電路中電流最大。串聯(lián)諧振時的電路阻抗為串聯(lián)諧振時的電流為

(3)串聯(lián)諧振時，電感兩端電壓、電容兩端電壓可以比總電壓大許多倍。電感電壓為電容電壓為可見，諧振時電感(或電容)兩端的電壓是總電壓的Q倍，Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，在電子電路中經(jīng)常用到串聯(lián)諧振，例如某些收音機(jī)的接收回路便用到串聯(lián)諧振。在電力線路中應(yīng)盡量防止諧振發(fā)生，因?yàn)橹C振時電容、電感兩端出現(xiàn)的高壓會使電器損壞。3.6.2并聯(lián)諧振

在并聯(lián)電路中，當(dāng)輸入電壓與輸入電流相位相同時，稱并聯(lián)諧振。并聯(lián)諧振的結(jié)構(gòu)形式很多，可以是電感與電容并聯(lián)，再與信號源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路；也可以是電感、電容和電阻并聯(lián)，再與信號源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路；或者是具有電阻的電感與電容并聯(lián)，再與信號源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路。我們只選擇比較典型的具有電阻和電感的線圈與電容并聯(lián)的電路為例(如圖3-25所示)，對并聯(lián)諧振的條件、特點(diǎn)作簡要說明。圖3-25并聯(lián)諧振電路

1．諧振條件圖3-25為所討論的并聯(lián)電路。其中線圈電路阻抗Z1=R+jωL，電容電路阻抗。設(shè)電路中電壓u=UmsinωtV，在任一時刻總電流i的瞬時值i=i1+iC。電路的等效阻抗為在實(shí)際應(yīng)用中，通常線圈的電阻R很小，所以一般在諧振時，ωL>>R，則上式可寫成聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是使上式中的虛部為零，即將電源頻率f調(diào)到f=f0發(fā)生諧振，這時上式說明，并聯(lián)諧振電路與串聯(lián)諧振電路的諧振頻率具有相同的計(jì)算公式,即

2．并聯(lián)諧振的特點(diǎn)電路發(fā)生并聯(lián)諧振時，諧振電路有以下特點(diǎn)：

(1)諧振電路阻抗最大，此時

(2)諧振電路電流最小，此時，諧振電路的阻抗最大，因此電路總電流最小。若信號頻率偏離諧振頻率，則信號電流將會增大，偏離越遠(yuǎn)，增高越大。諧振時，電容支路與電感支路的信號電流大小相同，方向相反，其數(shù)值是信號電流值的Q倍，因此并聯(lián)諧振又被稱做電流諧振。

(3)諧振時電壓與電流同相位，電路呈現(xiàn)阻性。

(4)諧振時各并聯(lián)支路的電流為

IC=Uω0C

當(dāng)ω0L>>R時，，則可得IC≈I1>>I，即支路電流大于電路總電流。

例3-13如圖3-22所示，已知電壓U=220V，電路頻率f=50Hz，電動機(jī)取用功率P=4kW，其功率因數(shù)cosφ1=0.6，并入電容C=220μF后，求總電流I和電路功率因數(shù)cosφ總。解由IR=I1cosφ1，得

IR=30.3×0.6=18.18A由IL=I1sinφ1,得

IL=30.3×0.8=24.24A

IC=Uω0C=220×2×π×50×220×10-6≈13.8A

所以本章小結(jié)

(1)交流電的產(chǎn)生和變化規(guī)律:將矩形線圈置于均勻強(qiáng)磁場中勻速轉(zhuǎn)動，即可產(chǎn)生按正弦規(guī)律變化的交流電。

(2)表征交流電的物理量:最大值、頻率和初相為正弦交流電的三要素。

(3)交流電的表示法:解析式表示法、波形圖表示法和旋轉(zhuǎn)矢量表示法。

(4)阻抗的串聯(lián)與并聯(lián):兩個阻抗串聯(lián)，等效阻抗Z＝Z1+Z2;兩個阻抗并聯(lián)的等效阻抗

(5)電路的諧振。①RLC串聯(lián)電路的諧振。在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)感抗＝容抗時，電路端電壓和電流同相，電路呈電阻性，電路發(fā)生串聯(lián)諧振，此時電路中阻抗最小，電流最大。②并聯(lián)諧振的電路。并聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是電路中的感抗=容抗，此時電路中阻抗最大，電流最