角度求解、關系探索問題專項訓練1．（2020秋?瑞安市期末）如圖1，已知∠ABC＝50°，有一個三角板BDE與∠ABC共用一個頂點B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度數；（2）如圖2，將三角板繞著點B順時針旋轉α度（0°＜α＜90°），當AB⊥BD時，求∠EBC的度數．2．（2020秋?溫江區校級期末）已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如圖1，OC為∠AOB內部任意一條射線，求∠MON＝；（2）如圖2，當OC旋轉到∠AOB的外部時，∠MON的度數會發生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當OC旋轉到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分∠AOC，射線ON在∠BOC內部，∠NOC=14∠BOC，求∠COM?23．（2020秋?江北區期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數量關系？請說明理由．4．（2020秋?鎮海區期末）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．5．（2020秋?江岸區期末）已知如圖1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC＝（2）如圖2，∠AOC＝20°，OM為∠AOB內部的一條直線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC＝20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉一周至OB結束，在旋轉過程中，設運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，當t在某個范圍內4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．6．（2020秋?渝中區校級期末）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記為OC′，OD旋轉后的對應射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設運動時間為t秒．①當OC′平分∠BON′時，求出對應的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由．7．（2021春?香坊區校級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數；（2）將圖1中的∠MON繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠MON所運動的時間t值；（3）在（2）的條件下，當∠AOC與∠NOC互余時，求出∠BOC與∠MOC之間的數量關系．8．（2020秋?涪城區校級期末）如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）試說明：∠DPC＝90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉旋轉一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③，在圖①基礎上，若三角板PAC開始繞點P逆時針旋轉，轉速為5°/秒，同時三角板PBD繞點P逆時針旋轉，轉速為1°/秒，（當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，PC、PB、PD三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉的時間．9．（2020秋?金華期末）已知∠AOB，過頂點O作射線OP，若∠BOP=12∠AOP，則稱射線OP為∠AOB的“好線”，因此∠AOB的“好線”有兩條，如圖1，射線OP1，OP2都是∠（1）已知射線OP是∠AOB的“好線”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度數．（2）如圖2，O是直線MN上的一點，OB，OA分別是∠MOP和∠PON的平分線，已知∠MOB＝30°，請通過計算說明射線OP是∠AOB的一條“好線”．（3）如圖3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射線OP和OA分別從OM和OB同時出發，繞點O按順時針方向旋轉，OP的速度為每秒12°，OA的速度為每秒4°，當射線OP旋轉到ON上時，兩條射線同時停止．在旋轉過程中，射線OP能否成為∠AOB的“好線”．若不能，請說明理由；若能，請求出符合條件的所有的旋轉時間．10．（2020秋?十堰期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分別是∠AOB和∠COD的平分線．（1）如圖1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的內部，求∠MON的度數；（2）如圖2，固定∠AOB，將圖1中的∠COD繞點O順時針旋轉n°（0＜n≤90）．①∠MON與旋轉度數n°有怎樣的數量關系？說明理由；②當n為多少時，∠MON為直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不變，∠COD的邊OD的位置不變，改變∠COD的大小；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉m°（0＜m≤100），如圖③，請直接寫出∠MON與旋轉度數m°之間的數量關系：．11．（2021春?西鄉縣期末）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角三角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝；（3）將直角三角板DOE繞點O順時針轉動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此時∠12．（2021春?香坊區期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點O順時針旋轉，旋轉過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉過程中，當∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數；（3）如圖3，在旋轉過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數13．（2020秋?歷下區期末）點O為直線l上一點，射線OA、OB均與直線l重合，如圖1所示，過點O作射線OC和射線OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分線OM．（1）求∠AOC與∠MOD的度數；（2）作射線OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，請在圖2中畫出圖形，并求出∠COP的度數；（3）如圖3，將射線OB從圖1位置開始，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉一周，作∠COD的平分線ON，當∠MON＝20°時，求旋轉的時間．14．（2020秋?廣安期末）已知，O是直線AB上一點，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOC＝40°，則∠DOE的度數為；若∠AOC＝α，則∠DOE的度數為（用含有α的式子表示）．（2）將圖1中的∠DOC繞頂點O按順時針方向旋轉至圖2的位置，試探究∠DOE與∠AOC的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．（3）將圖1中的∠DOC繞頂點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α，則∠DOE的度數為（用含有α的式子表示），并說明理由．15．（2020秋?南充期末）如圖，把直角三角尺COD的直角頂點O放在直線AB上，作射線OE平分∠AOD．（1）若∠BOD＝42°，求∠AOE的度數；（2）設∠BOD＝x，請用x表示∠COE的大小；（3）如果直角三角尺COD繞點O轉動，當頂點C轉動到直線AB下方時，探索∠BOD與∠COE的數量關系．16．（2020秋?臨河區期末）點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC=14∠AOM，求∠17．（2021春?濟陽區期中）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉動到某個位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝；②若OD在∠BOC內部，請直接寫出∠BOD與∠COE有怎樣的數量關系；（3）將直角三角板DOE繞點O順時針轉動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此時∠18．（2021?碑林區校級開學）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結論：直線ON（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．（直接寫出結果）（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉，請探究，當ON始終在∠AOC的內部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．19．（2020秋?天心區期末）已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點，點I在射線BC上、連接EF，FI，將∠A沿EF所在的直線對折，點A落在點H處，∠B沿FI所在的直線對折，點B落在點G處．（1）如圖1，當HF與GF重合時，則∠EFI＝°；（2）如圖2，當重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數；（3）如圖3，當∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點F進行逆時針旋轉，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉過程中求出∠PFQ的度數（用含α，β的式子表示）．20．（2020秋?洪山區期末）將一副直角三角板ABC，ADE，按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如圖1，點F在直線AC上，且位于點A的左側，求∠FAD的度數；（2）將三角板ADE從圖1位置開始繞A點順時針旋轉，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①當三角板ADE旋轉至如圖2的位置時，求∠MAN的度數．②若三角板ADE的旋轉速度為每秒5°，且轉動到∠DAC＝180°時停止，運動時間記為t（單位：秒），試根據不同的t的值，求∠MAN的大小（直接寫出結論）．角度求解、關系探索問題專項訓練答案解析1．（2020秋?瑞安市期末）如圖1，已知∠ABC＝50°，有一個三角板BDE與∠ABC共用一個頂點B，其中∠EBD＝45°．（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度數；（2）如圖2，將三角板繞著點B順時針旋轉α度（0°＜α＜90°），當AB⊥BD時，求∠EBC的度數．【解題思路】（1）根據角平分線的定義可得∠CBD=1（2）根據∠ABD和∠ABC可得∠CBD＝40°，再利用∠EBC＝∠EBD﹣∠CBD可得答案．【解答過程】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠CBD=1∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．（2）∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，∵∠EBD＝45°，∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．2．（2020秋?溫江區校級期末）已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：（1）如圖1，OC為∠AOB內部任意一條射線，求∠MON＝30°；（2）如圖2，當OC旋轉到∠AOB的外部時，∠MON的度數會發生變化嗎？請說明原因；（3）如圖3，當OC旋轉到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，OM平分∠AOC，射線ON在∠BOC內部，∠NOC=14∠BOC，求∠COM?2【解題思路】（1）先利用角平分線的性質得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠（2）根據角平分線的性質并結合∠MON＝∠COM﹣∠CON解答即可；（3）根據題意得到∠COM=12∠AOC，∠BON=34∠BOC，再利用∠COM【解答過程】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC=12∠∴∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠BOC+12∠AOC=故答案為：30°；（2）不變，當OC旋轉到∠AOB的外部時，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC=12∠∴∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12∠BOC?12∠AOC=∴∠MON的度數不會發生變化；（3）當OC旋轉到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射線OC在OB的下方時，∵OM平分∠AOC，∠NOC=14∠∴∠COM=12∠AOC，∠BON=3∴∠COM?23∠BON=12∠AOC?23×34∠BOC=3．（2020秋?江北區期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數．（2）若三角板AOB保持不動，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點O旋轉．試猜想在旋轉過程中，∠AOC與∠BOD有何數量關系？請說明理由．【解題思路】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據∠AOD的度數可得∠BOD，再根據∠DOC＝90°可得∠BOC；（2）當分兩種情況：∠AOB與∠DOC有重疊部分時和當∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時．【解答過程】解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∠AOC與∠BOD互補．當∠AOB與∠DOC有重疊部分時，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，當∠AOB與∠DOC沒有重疊部分時，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．4．（2020秋?鎮海區期末）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線是這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為15°或22.5°或30°；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．【解題思路】（1）根據幸運線定義即可求解；（2）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據幸運線定義得到方程求解即可．【解答過程】解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運線”；故答案為：是；（2）①設∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設∠AOC＝x，則∠BOC=12由題意得，x+12x＝45°，解得故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當0＜t≤4時，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射線OM與ON的幸運線，則∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t當4＜t＜9時，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射線OM與OA的幸運線，則∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12115．（2020秋?江岸區期末）已知如圖1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC＝（2）如圖2，∠AOC＝20°，OM為∠AOB內部的一條直線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC＝20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉一周至OB結束，在旋轉過程中，設運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，當t在某個范圍內4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．【解題思路】（1）分兩種情況討論：①OC在∠AOB內部時，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部時，由∠AOC=13∠BOC（2）設∠CON＝x°，根據題意用x表示有關角的度數，最終得4∠AON+∠COM的值；（3）按OM和ON的不同位置分五種情況分別討論，記OM轉過的角度為α，第一種情況：當0＜α≤60°，即0＜t≤12時；第二種情況：當60°＜α≤180°時，即12＜t≤36時；第三種情況：當180°＜α≤240°時，即36＜t≤48時；第四種情況：當240°＜α≤340°，即48＜t≤68時；第五種情況：當340°＜α≤360°，即68＜t≤72時．用t表示出有關角的度數，再求4∠AON+∠BOM的最后結果．【解答過程】解：（1）①C在∠AOB內部時，如下圖，∵∠AOC=13∠∴∠BOC=34∠AOB②OC在∠AOB外部時，如下圖，∠AOC=13∠∴∠BOC=32∠AOB綜上所述：∠BOC＝30°或60°；故答案為：30°或60°．（2）解：設∠CON＝x，∵ON是∠MOC的四等分點，且3∠CON＝∠NOM，∴∠NOM＝3x，∠COM＝4x，又∵∠AOC＝20°，∴∠AOM＝4x﹣20°，∴∠AON＝∠NOM﹣∠AOM＝3x﹣（4x﹣20°）＝20°﹣x，∴4∠AON+∠COM＝4（20°﹣x）+4x＝80°，∴4∠AON+∠COM＝80°．（3）記OM的旋轉角度為α，分五種情況討論：第一種，當0°＜α≤60°，即0＜t≤12時，如下圖，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉得∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠COA+∠AOB﹣∠MOB＝60°﹣5t°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，∴∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA?14∠COM＝20°?14（60°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝20°+10∴0≤t≤12時，4∠AON+∠BOM＝20°+10t°，不是定值．第二種情況：當60°＜α＜180°，即12＜t＜36時，如下圖，∵∠MOB＝5t°，∴∠COM＝∠MOB﹣∠BOC＝5t°﹣60°，∵∠CON=14∠∴∠AON＝∠COA+∠CON＝∠COA+14∠COM＝20°+14（5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+5t°＝10∴12＜t＜36時，4∠AON+∠BOM不是定值．第三種情況：當180°≤α≤240°，即36≤t≤48時，如下圖，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝5t°﹣60°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，∴∠AON＝∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t∴4∠AON+∠BOM＝4（5°+54t°）+360°﹣5∴當36≤t≤48時，4∠AON+∠COM為定值380°；第四種情況：當240°＜α＜340°時，即48＜t＜68，如下圖，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠CON﹣∠COA=14∠COM﹣∠COA=14（420°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（85°?54t°）+360°﹣5t°＝700°﹣10∴48＜t＜68時，4∠AON+∠COM不是定值；第五種情況：當340°≤α≤360°，即68≤t≤72時，如下圖，由∠MOB＝360°﹣5t°得，∠COM＝∠MOB+∠BOC＝360°﹣5t°+60°＝420°﹣5t°，∴∠AON＝∠COA﹣∠CON＝∠COA?14∠COM＝20°?14（420°﹣5t∴4∠AON+∠BOM＝4（54t°﹣85°）+360°﹣5t∴68≤t≤72時，4∠AON+∠COM為定值20°．綜上所述：當36≤t≤48時，4∠AON+∠COM為定值380°；當68≤t≤72時，4∠AON+∠COM＝20°，為定值20°．6．（2020秋?渝中區校級期末）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝40°°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記為OC′，OD旋轉后的對應射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設運動時間為t秒．①當OC′平分∠BON′時，求出對應的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據角平分線的定義結合圖形根據已知條件求角的大小；（2）①分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，列出等量關系式求出t；②分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，當C′在B下方時，當C′在B上方時，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，求在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，求出這個定值及其對應的t的取值范圍．【解答過程】解：（1）∵OM為∠AOB的角平分線、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON為∠BOD的角平分線，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案為：40°．（2）如圖①：①逆時針旋轉時：當C′在B上方時，根據題意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=1∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON′，即40°﹣4t=解得：t＝5（s）．當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．順時針旋轉時：如圖②，同理當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．當C′在B上方時，即OC′與OB重合，由題意可求OC′與OB重合用的時間＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（∴OC′與OB重合之后，∠BOC′＝6（t?803）（∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t?803）+60°＝6∴∠BON′=12∠BOD′=12∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=1∴6（t?803）=1解得：t＝30（s）綜上所述t的值為5或30．②逆時針旋轉時：當C′在B上方時，如圖③根據①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD′=∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段時間0≤t≤10s；如圖④當C′在B下方時，設經過OB后運動時間為t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON′=1∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=1∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此時：10＜t≤20；順時針旋轉時：當C′在B下方時，如圖⑤，設經過OB后運動時間為t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON′=1∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此時：20＜t≤80當C′在B上方時，如圖⑥，設經過OB后運動時間為t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON′=50°+3∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此時：803＜綜上所述：存在且定值為40°，0≤t≤50．7．（2021春?香坊區校級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數；（2）將圖1中的∠MON繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠MON所運動的時間t值；（3）在（2）的條件下，當∠AOC與∠NOC互余時，求出∠BOC與∠MOC之間的數量關系．【解題思路】（1）由角的比值，求每一個角的度數，再加∠MON＝90°這個條件，最后求∠CON的度數；（2）若直線ON恰好平分銳角∠AOC，分兩種情況：①ON沿逆時針旋轉的度數為90°+150°＝240°，②ON沿逆時針旋轉的度數為60°，最后求出時間；（3）由∠AOC與∠NOC互余，結合圖形推∠BOC與∠MOC之間的數量關系．【解答過程】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC=1∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150（2）由圖2題意可知，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，①如圖（1）所示：ON沿逆時針旋轉的度數為60°，∴∠MON所運動的時間t=606=②如圖（2）所示：∵直線ON恰好平分銳角∠AOC，∴ON沿逆時針旋轉的度數為90°+150°＝240°，∴∠MON所運動的時間t=240°6°=②綜上所述：∠MON所運動的時間t＝40（s）或10（s）．（3）如圖②所示：∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM與OA重合∴∠BOC與∠MOC互補．如圖③所示：當ON平分∠AOC時，∠AOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°∴∠BOC＝∠MOC綜上所述：∠BOC與∠MOC互補或相等．8．（2020秋?涪城區校級期末）如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）試說明：∠DPC＝90°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉旋轉一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖③，在圖①基礎上，若三角板PAC開始繞點P逆時針旋轉，轉速為5°/秒，同時三角板PBD繞點P逆時針旋轉，轉速為1°/秒，（當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，PC、PB、PD三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉的時間．【解題思路】（1）利用直角三角形的兩個銳角互余可證∠DPC＝90°；（2）結合角平分線的定義，利用各角之間的關系可求解；（3）分三種情況討論，建立與時間t有關的方程求解即可．【解答過程】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．（2）∵PE平分∠CPD，∴設∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．則∠APF＝60°﹣y，∠DPF＝2x+y，∵∠CPA＝60°，∴y+2x＝60°﹣y，∴x+y＝30°，∴∠EPF＝x+y＝30°．（3）設t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角．∵當PA與PM重合時，兩三角板都停止轉動，∴t≤180分三種情況討論：①當PC平分∠BPD時，根據題意列得方程5t﹣t＝90+1解得t=105②當PB平分∠CPD時，根據題意列得方程5t﹣t＝90+2×30，解得t=75當PD平分∠BPC時，根據題意列得方程5t﹣t＝90﹣30，解得t＝15＜36，符合題意．綜上：當旋轉時間為15或10549．（2020秋?金華期末）已知∠AOB，過頂點O作射線OP，若∠BOP=12∠AOP，則稱射線OP為∠AOB的“好線”，因此∠AOB的“好線”有兩條，如圖1，射線OP1，OP2都是∠（1）已知射線OP是∠AOB的“好線”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度數．（2）如圖2，O是直線MN上的一點，OB，OA分別是∠MOP和∠PON的平分線，已知∠MOB＝30°，請通過計算說明射線OP是∠AOB的一條“好線”．（3）如圖3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射線OP和OA分別從OM和OB同時出發，繞點O按順時針方向旋轉，OP的速度為每秒12°，OA的速度為每秒4°，當射線OP旋轉到ON上時，兩條射線同時停止．在旋轉過程中，射線OP能否成為∠AOB的“好線”．若不能，請說明理由；若能，請求出符合條件的所有的旋轉時間．【解題思路】（1）根據“好線”的定義可得∠AOP的度數，然后分①當OP在∠AOB的外部時，②當OP在∠AOB的內部時兩種情況可得答案；（2）直接根據角平分線的定義可得問題的答案；（3）設旋轉的時間為t秒，根據題意列出方程，求解可得答案．【解答過程】解：（1）∵OP是∠AOB的“好線”，且∠BOP＝30°，∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，①當OP在∠AOB的外部時，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，②當OP在∠AOB的內部時，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．（2）∵OB是∠MOP的平分線，且∠MOB＝30°，∴∠BOP＝∠MOB＝30°，∠MOP＝2∠MOB＝60°，∴∠PON＝120°，∵OA是∠PON的平分線，∴∠AOP=12∠∴∠BOP=12∠∴OP是∠AOB的一條“好線”；（3）設旋轉的時間為t秒，①80﹣12t＝4t，∴t＝5，②3（12t﹣80）＝4t，∴t=15綜上所述，所有符合條件的旋轉時間為5秒或15210．（2020秋?十堰期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分別是∠AOB和∠COD的平分線．（1）如圖1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的內部，求∠MON的度數；（2）如圖2，固定∠AOB，將圖1中的∠COD繞點O順時針旋轉n°（0＜n≤90）．①∠MON與旋轉度數n°有怎樣的數量關系？說明理由；②當n為多少時，∠MON為直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不變，∠COD的邊OD的位置不變，改變∠COD的大小；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉m°（0＜m≤100），如圖③，請直接寫出∠MON與旋轉度數m°之間的數量關系：∠MON=12m【解題思路】（1）利用角平分線的定義可求得∠AOM，∠AON的度數，結論可得；（2）①利用（1）中的方法計算∠AOM，∠CON的度數，利用旋轉度數表示∠AON＝∠CON﹣∠AOC，則∠MON＝∠COM﹣∠NOC；②利用①的結論可得；（3）利用角平分線的定義可求得∠AOM，∠CON的度數，再利用角的和差得出結論．【解答過程】解：（1）如圖1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM=12∠AOB∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON=12∠COD∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）如圖2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；②當∠MON＝90°時，n+25＝90，∴n＝65．（3）如圖3中，當ON在∠AOB內部時∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°?12m°）=當ON在∠AOB外部時時，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=綜上所述，∠MON=12故答案為：∠MON=1211．（2021春?西鄉縣期末）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角三角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝50°；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉動到某個位置，若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝20°；（3）將直角三角板DOE繞點O順時針轉動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此時∠【解題思路】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解∠COE的度數，進而可求解；（3）可分兩種情況：①當∠COD在∠BOC的內部時，②當∠COD在∠BOC的外部時，根據角的和差可求解．【解答過程】解：（1）由題意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，故答案為50°；（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，故答案為20°；（3）①當∠COD在∠BOC的內部時，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴40°?∠BOD=1∴∠BOD＝15°；②當∠COD在∠BOC的外部時，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∵∠COD=1∴∠BOD?40°=1∴∠BOD＝52.5°，綜上所述：∠BOD的度數為15°或52.5°．12．（2021春?香坊區期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點O順時針旋轉，旋轉過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉過程中，當∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數；（3）如圖3，在旋轉過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數【解題思路】（1）設∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，則∠AON＝90°+α，由補角的定義可求得∠MOB＝＝2∠NOB，即可證明結論；（2）分兩種情況：若射線OM在∠AOQ內時，若射線OM在∠BOQ內時，由角平分線的定義求解∠MOQ，結合∠CON＝2∠MOQ可得關于α的等式，計算可求解；（3）由（1）（2）結論可得∠MOP＝45°?12α，可分兩種情況：情況1：射線OM在∠AOQ內，情況2：射線OM在∠【解答過程】解：（1）設∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射線OM在∠AOQ內時，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ=12∠AON=1∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+12α﹣2α＝45°∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°?3∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，若射線OM在∠BOQ內時，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（32∴α＝45°，即∠CON＝45°，故∠CON的度數為22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+12α，∠MOQ＝45°?32α；∠∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=12∠MON=1情況1：射線OM在∠AOQ內，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°?12α﹣30°＝15°∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+12α）＝45°∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°?32α）：（15°?12α）＝3（15°n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°?12α）＝2（45°?1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°?3解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，情況2：射線OM在∠BOQ內，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°?12α）∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=3∴m＝∠MOQ：∠POD＝（32α﹣45°）：（12α﹣15°）＝3（12由情況1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°?1∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴32解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM的度數為40°或80°．13．（2020秋?歷下區期末）點O為直線l上一點，射線OA、OB均與直線l重合，如圖1所示，過點O作射線OC和射線OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分線OM．（1）求∠AOC與∠MOD的度數；（2）作射線OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，請在圖2中畫出圖形，并求出∠COP的度數；（3）如圖3，將射線OB從圖1位置開始，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉一周，作∠COD的平分線ON，當∠MON＝20°時，求旋轉的時間．【解題思路】（1）由平角的定義可得，∠AOB＝180°，所以∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，再由角平分線的性質可得∠MOD的度數；（2）由（1）可知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，再分當射線OP在∠BOC內部時，和當射線OP在∠BOC外部時兩種情況，根據圖中和差關系求∠COP的度數即可；（3）在射線OP旋轉的過程中，OM和ON的相對位置在不斷的變化，存在兩種情況滿足條件，畫出草圖，根據角度的和差關系求解即可．【解答過程】解：（1）由題意可知，∠AOB＝180°，∵∠BOC＝100°，∴∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝50°；（2）由（1）知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，①當射線OP在∠BOC內部時，如圖2（1），∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝50°；②當射線OP在∠BOC外部時，如圖2（2），∠COP＝∠BOC+∠BOP＝150°，綜上所述，∠COP的度數為50°或150°；（3）∵ON平分∠COD，∴∠CON=12∠①如圖3，∠COM＝∠CON﹣∠MON＝25°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC＝﹣∠BOC＝30°，∴旋轉的時間t＝30°÷5°＝6（秒）；②如圖3（1），此時，∠COM＝∠CON+∠MON＝65°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COM＝130°，∴∠COE＝180°﹣130°＝50°，∴∠BOE＝100°﹣50°＝50°，∴旋轉的時間＝（360°﹣50°）÷5°＝62（秒）；綜上所述，旋轉的時間為6秒或62秒．14．（2020秋?廣安期末）已知，O是直線AB上一點，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOC＝40°，則∠DOE的度數為20°；若∠AOC＝α，則∠DOE的度數為12α（2）將圖1中的∠DOC繞頂點O按順時針方向旋轉至圖2的位置，試探究∠DOE與∠AOC的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．（3）將圖1中的∠DOC繞頂點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α，則∠DOE的度數為180°?12【解題思路】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC，即可求出∠DOE的度數；由此方法可得出結論∠DOE=12∠AOC，從而用含α的代數式表示出∠（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，則得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），從而得出∠AOC和∠DOE的度數之間的關系；（3）根據角的和差關系，角平分線的定義解答即可，【解答過程】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝70°，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝90°?1又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣（90°?12α）故答案為：20°，12（2）結論：∠DOE=12∠∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，且OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝90°?1∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°?12∠AOC）=1（3）∵OE平分∠BOC，∠COE=12∠BOC∵∠COD是直角，∴∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+180°?α2=故答案為：180°?115．（2020秋?南充期末）如圖，把直角三角尺COD的直角頂點O放在直線AB上，作射線OE平分∠AOD．（1）若∠BOD＝42°，求∠AOE的度數；（2）設∠BOD＝x，請用x表示∠COE的大小；（3）如果直角三角尺COD繞點O轉動，當頂點C轉動到直線AB下方時，探索∠BOD與∠COE的數量關系．【解題思路】（1）由平角的定義先求解∠AOD，再根據角平分線的定義可得∠AOE=12∠（2）由平角的定義先求解∠AOD，再根據角平分線的定義可得∠DOE=12∠AOD，再利用∠COE＝∠COD﹣∠（3）分兩種情況討論，即當OD在直線AB的上方時和當OD在直線AB的下方時，從而得到答案．【解答過程】解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝42°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝138°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠AOD（2）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝x，∴∠AOD＝180°﹣x，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD=12×（180°﹣∵∠COD＝90°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣（90°?12x）=（3）如圖，當OD在直線AB的上方時，設∠AOE＝α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α，∴2∠COE＝180°﹣2α，∴∠BOD＝2∠COE．如圖，當OD在直線AB的下方時，設∠AOE＝α，同理可得，∠AOE＝∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+α，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α，∴2∠COE＝180°+2α，∴∠BOD+2∠COE＝360°．16．（2020秋?臨河區期末）點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC=14∠AOM，求∠【解題思路】（1）根據∠MON和∠BOC的度數可以得到∠MON的度數．（2）根據OC是∠MOB的角平分線，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度數，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度數，從而可得∠CON的度數．（3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC=14∠AOM，從而可得∠NOC的度數，由∠BOC＝65°，從而得到∠【解答過程】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC=14∠∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．17．（2021春?濟陽區期中）以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個直角角板的直角頂點放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝50°；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點O順時針轉動到某個位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝20°；②若OD在∠BOC內部，請直接寫出∠BOD與∠COE有怎樣的數量關系；（3）將直角三角板DOE繞點O順時針轉動（OD與OB重合時為停止）的過程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此時∠【解題思路】（1）利用余角的定義可求解；（2）①由平角的定義及角平分線的定義求解∠COE的度數，進而可求解；②由∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，結合∠BOC的度數可求解；（3）可分兩種情況：①當∠COD在∠BOC的內部時，②當∠COD在∠BOC的外部時，根據角的和差可求解．【解答過程】解：（1）由題意得∠BOD＝90°，∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，故答案為50°；（2）①∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE＝90°，∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，故答案為20°；②∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，∠COD+∠COE＝90°，∴∠BOC﹣∠BOD+∠COE＝90°，∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣∠BOC，∵∠BOC＝40°，∴∠COE﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°，即∠BOD與∠COE數量關系為：∠COE﹣∠BOD＝50°．（3）①當∠COD在∠BOC的內部時，∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝40°﹣∠BOD，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴40°?∠BOD=1∴∠BOD＝15°；②當∠COD在∠BOC的外部時，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，∴∠COD＝∠BOD﹣40°，∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，又∵∠COD=1∴∠BOD?40°=1∴∠BOD＝52.5°，綜上所述：∠BOD的度數為15°或52.5°．18．（2021?碑林區校級開學）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結論：直線ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的