高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省部分重點高中2024屆高三上學期期末考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，由解得，所以.因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以.故選：A3.“是第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若是第二象限角，則，，可推出，充分性成立；必要性：若，即與異號，則為第二象限或第三象限角，必要性不成立；故選：A4.已知、是不重合的兩條直線，、是不重合的兩個平面，則下列結論正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，則【答案】A【解析】對于A，因為，，所以，又，，所以，A正確；對于B，在正方體中，記平面為，平面為，為，為，則，，，但與不平行，B錯誤；對于C，記平面為，平面為，為，為，由正方體性質可知，平面，平面，所以，則，，，但不垂直，C錯誤；對于D，記為，為，平面為，則，，但與不垂直，D錯誤.故選：A5.我們把形如：和：的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線.已知與互為共軛雙曲線，且的離心率，則的離心率（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由，得，，解得.故選：C.6.折紙既是一種玩具，也是一種藝術品，更是一種思維活動.如圖，有一張直徑為4的圓形紙片，圓心為，在圓內任取一點，折疊紙片，使得圓周上某一點剛好與點重合，記此時的折痕為，點在上，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】如圖，設關于對稱的點為，則在圓上，連接，，則有，故.故選：D7.在中，為邊上的高，且向量，，則向量（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，設，則，解得，則.故選：D.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，，當時，，當時，.在0,+∞上，，所以，在0,+∞上均單調遞增，由，即可得，因為冪函數在0,+∞上單調遞增，所以，指數函數在R上單調遞減，所以，綜上可知，.又因為對數函數在0,+∞上單調遞增，所以，即.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.函數圖象的對稱軸方程可能為（）A.0 B. C. D.【答案】AD【解析】，則圖象的對稱軸方程為，..故選:AD.10.一家公司為了解客戶對公司新產品的滿意度，隨機選取了名客戶進行評分調查，根據評分數進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出的頻率分布直方圖如圖所示，其中有8名客戶的評分數落在40,50內，則（）A.圖中的B.C.同組數據用該組區間的中點值作代表，則評分數的平均數為76.2D.該公司計劃邀請評分數低于第25百分位數的客戶參與產品改進會議，若客戶甲的評分數為71，則甲將會被邀請參與產品改進會議【答案】ABC【解析】由頻率分布直方圖可知：，解之得，A正確；評分落在40,50內的有8人，所以，B正確；評分的平均數為，C正確；，所以甲不會被邀請，D錯誤.故答案為：ABC11.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設表示以為圓心，且過，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱其為曲面等邊三角形，線段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設，，，則下列結論正確的是（）A.若平面是面積為的等邊三角形，則B.若，則C.若，則球面的體積D.若平面為直角三角形，且，則【答案】BC【解析】若平面是面積為的等邊三角形，則，則，.A不正確.若，則，則.B正確.若，則，，則平面的外接圓半徑為，則到平面的距離，則三棱錐的體積，則球面的體積.C正確.由余弦定理可知因為，所以，則.取，，則，，則.D不正確.故選：BC12.已知函數及其導函數的定義域均為，且，的圖象關于點對稱，則（）A.B.為偶函數C.的圖象關于點對稱D.【答案】ABD【解析】由，可得，則，令，得，A正確.令，則，故為偶函數，B正確.假設的圖象關于點1,0對稱，則，則，即關于直線x=1對稱，又fx不是常函數，這與f'x的圖象關于點1,0對稱矛盾，假設不成立，C因為f'x的圖象關于點1,0對稱，所以令，則，則（為常數），則，從而，即，由，得，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線的頂點到它準線的距離為_______.【答案】1【解析】拋物線即的準線方程為，頂點到它準線的距離為1.故答案為：1.14.已知函數的最小值為0，則_______.【答案】【解析】因為，所以.若，則在上單調遞減，無最小值.若，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得.故答案為：15.單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則_______.【答案】31【解析】數列為等比數列，所以，，因為an單調遞增，所以，，設公比為q,,則.故答案為：31.16.將1，2，3，…，9這9個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），記第1行中最大的數為，第2行中最大的數為，第3行中最大的數為，則的填法共有_______種.【答案】60480【解析】第3行，，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數，共有種情況.第2行，取剩下6個數中最大的數為，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數，共有種情況，第1行，剩下3個數任意排列，則有種情況，故共有種填法故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，所以，則.又，所以，則，即.（2）由（1）及已知有，則，則.，所以的面積.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，，.（1）證明：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.證明：（1）連接，因，，，所以，由，得，則則，從而又平面，平面，所以.因平面，平面,所以平面又平面，所以解：（2）以為坐標原點，，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P0,0,1，，，D0,1,0，，，PD=0,1,-1.設平面的法向量為m=x,y,z由得令，得.，故直線與平面所成角的正弦值為.19.在數列an中，，且.（1）求an（2）若，數列的前項和為，求解：（1）當時，，則.當時，由，得，則，則.因為，所以an從第2項起成等比數列，.（2），當為大于1的奇數時，，當為偶數時，..，則，則，，則，則.20.某學校組織知識競賽，題庫中試題分，兩種類型，每個學生選擇2題作答，第1題從，兩種試題中隨機選擇一題作答，學生若答對第1題，則第2題選擇同一種試題作答的概率為，若答錯第1題，則第2題選擇同一種試題作答的概率為.已知學生甲答對種試題的概率均為，答對種試題的概率均為，且每道試題答對與否相互獨立.（1）求學生甲2題均選擇種試題作答的概率；（2）若學生甲第1題選擇種試題作答，記學生甲答對的試題數為，求的分布列與期望.解：（1）若學生甲第1題選擇種試題作答并且答對，則第2題選擇種試題作答的概率，若學生甲第1題選擇種試題作答并且答錯，則第2題選擇種試題作答的概率，故學生甲2題均選擇種試題作答的概率.（2）由題可知，的取值可能為0，1，2，且，，，故的分布列為012則.21.已知，分別是橢圓：的左、右頂點，是橢圓的上頂點，且，的周長為.（1）求橢圓的方程.（2）為坐標原點，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，直線，的斜率分別為，.是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）因為，所以，則，又的周長為，所以，解得，則，故橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，Mx1,y1聯立方程組，整理得，，由韋達定理得，，又，所以，又，，所以，令，即，則為定值，故存在，使得為定值.22.已知函數.（1）當時，求曲線y=fx在處的切線方程；（2）當時，證明：恰有三個不同的極值點，，，且.參考數據