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《排列數》教學設計一、教材分析本節課是在排列基礎上學習排列數的概念和探究排列數公式,以便于更快捷的求出不同排列的個數。從個不同的元素中取出個元素,并按一定的順序排成一列,叫做從個不同的元素中取出個元素的一個排列,所有不同排列的個數稱為排列數,記為。在教師的引導下,學生借助特殊到一般的數學思想和分步乘法計數原理歸納、推導排列數公式,并在分析公式特點和應用公式的過程中加深對排列數的理解。教學目標1.能根據特殊到一般的數學思想猜想、歸納排列數公式,發展數學抽象素養;2.能利用分步乘法計數原理推導排列數公式,發展邏輯推理素養;3.能運用排列和排列數公式解決問題,發展數學運算素養。三、教學重點與難點重點:排列數公式;難點:排列數公式的探究及應用。四、教學過程設計(一)創設問題情境,鋪墊探究方法問題1要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,共有多少種不同的掛法?師生活動:學生獨立思考、作答。完成這件事情可以分為兩個步驟:第一步,從3幅不同的畫中選出1幅掛在左邊墻上的指定位置,有3種選法;第二步,從剩下的2幅不同的畫中選出1幅掛在右邊墻上的指定位置,有2種選法。根據分步乘法計數原理,共有3x2=6種不同的掛法。問題2從甲、乙、丙、丁4名同學中選出2名參加一項活動,分別安排參加上午和下午的活動,共有多少種不同的排法?師生活動:學生獨立思考、作答。完成這件事情可以分為兩個步驟:第一步,從4名同學中選出1名安排參加上午的活動,有4種選法;第二步,從剩下的3名同學中選出1名安排參加下午的活動,有3種選法。根據分步乘法計數原理,共有4x3=12種不同的排法。【設計意圖】通過兩個相似的情境問題引導學生回顧排列知識及分步計數原理,為從特殊到一般歸納出計數公式作鋪墊。(二)自主探究規律,發展核心素養問題3結合問題1和問題2,你能發現哪些規律?師生活動:學生獨立思考、合作交流、作答展示,教師可以在學生回答后進行適當引導。結論1從個不同的元素中取出2個元素按一定的順序排成一列,共有種排法。假定有排好順序的兩個空位,從個不同的元素中取出2個元素去填空,一個空位填上一個元素,一種填法就是一個排列,一個排列也對應一種填法,所以不同填法的總數就是不同排列的總數。從個不同的元素中取出2個元素填空,可以分為兩個步驟:第一步,從個不同的元素中取出1個元素填在第一個空位,有種取法;第二步,從剩下的個不同的元素中取出1個元素填在第二個空位,有種取法。根據分步乘法計數原理,共有種不同的填法。結論2從個不同的元素中取出個元素按一定的順序排成一列,共有種排法。假定有排好順序的個空位,從個不同的元素中取出個元素去填空,一個空位填上一個元素,一種填法就是一個排列,一個排列也對應一種填法,所以不同填法的總數就是不同排列的總數。從個不同的元素中取出個元素填空,可以分為個步驟:第一步,從個不同的元素中取出1個元素填在第一個空位,有種取法;第二步,從剩下的個不同的元素中取出1個元素填在第二個空位,有種取法。第三步,從剩下的個不同的元素中取出1個元素填在第三個空位,有種取法。第步,從剩下的個不同的元素中取出1個元素填在第個空位,有種取法。根據分步乘法計數原理,共有種不同的排法。教師小結:從個不同的元素中取出個元素按一定的順序排成一列,所有不同排列的方法總數為,排列的方法總數也稱為排列數,可以用排列英文arrangement的首字母A和、組合并標記為,即有。【設計意圖】通過觀察問題1和問題2的探究過程,學生發現每一步操作是同構的,可程序化的,促使他們思考和理解公式的一般化表達,從而發展學生的數學抽象素養和邏輯推理素養。(三)分析應用公式,深度理解知識師生活動:學生獨立思考、合作交流、作答展示,教師可以在學生回答后進行適當引導。問題4通過探究,我們獲得了排列數公式,接下來還能研究什么?分析排列數公式:,個連續的正整數相乘,第一個因數是,后面每個因數都比前面的一個因數少1,最后一個因數是。應用排列數公式:將、分別特殊化有,,,,,,,,問題5用這10個數字,可以組成多少個沒有重復數字的三位數?解法1因為百位上的數字不能為0,十位或個位上的數字可以為0,所以可以先填百位上的數字,再分別填寫十位和個位上的數字。分為三個步驟:第一步,從中取出1個數字填在第一個空位(百位),有9種取法;第二步,從剩下的9個數字中個取出1個數字填在第二個空位(十位),有9種取法;第三步,從剩下的8個數字中個取出1個數字填在第三個空位(個位),有8種取法。根據分步乘法計數原理,共有種不同的填法,一種填法就是一個三位數,也就是可以組成648個沒有重復數字的三位數。解法2可以將解法1的第二步和第三步合并為一步:從剩下的9個數字中取出2個數字按一定的順序排成一列,從左到右填在第二、三個空位上,有種填法。根據分步乘法計數原理,共有種不同的填法。解法3正難則反。考慮百位上的數字為0的情況,從剩下的9個數字中取出2個數字按一定的順序排成一列,從左到右填在第二、三個空位上,有種填法。百位上的數字為0的情況與百位上的數字不為0的情況的填法數加起來就是總數(從中取出3個數字按一定的順序排成一列,從左到右分別填在三個空位上,有種填法),所以可以組成648個沒有重復數字的三位數。解法4因為三位數可能含0可能不含0,可以分為兩類情況:第一類,三位數不含0,從中取出3個數字按一定的順序排成一列,從左到右分別填在三個空位上,有種填法;第二類,三位數含0,如果0在個位上,從中取出2個數字按一定的順序排成一列,從左到右分別填在百位和十位上,有種填法;如果0在十位上,從中取出2個數字按一定的順序排成一列從左到右分別填在百位和個位上,有種填法。根據分類加法計數原理,共有種不同的填法,一種填法就是一個三位數,也就是可以組成648個沒有重復數字的三位數。【設計意圖】學習數學知識大致經歷三個過程:通過觀察發現新事物,通過分析認識新事物,通過應用理解新事物。學生的學習經驗引導他們自主探索排列數公式的分析與應用,并在獨立思考、合作交流和作答展示中完成知識的建構與理解。(四)回顧探究過程,提煉探究方法1.本節課我們學習了哪些內容?2.我們是怎樣探究排列數公式的?(1)從特殊到一般,歸納推導排列數公式;(2)從一般到特殊,應用排列數公式計數。3.應用排列數公式時有哪些注意事項?(1)分析問題中要完成的“一件事”是什么,判斷是否與排列要完成的“一件事情”一致;(2)分析限制條件,并以限制條件為標

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