專題03解一元二次方程的八種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復合型 2類型二、用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程 3類型三、配方法的應用 7類型四、用公式法求解一元二次方程 11類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13類型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15類型七、與新定義型有關的求解一元二次方程 18類型八、換元法解一元二次方程 21壓軸能力測評（12題） 25解題知識必備知識點一、直接開方法解一元二次方程直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.要點：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負數的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.知識點二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.要點：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.（3）配方法的理論依據是完全平方公式．知識點三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點四.用因式分解法解一元二次方程（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.壓軸題型講練類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復合型例1.（23-24九年級上·江西萍鄉·期末）解方程：【變式訓練1】（23-24九年級上·吉林白山·期末）用適當的方法解方程：【變式訓練2】（23-24九年級上·江蘇常州·期中）解方程：．【變式訓練3】（23-24九年級上·安徽蕪湖·期中）用適當的方法解方程：類型二、用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程例2.（23-24八年級下·山東煙臺·期中）配方法解一元二次方程：．【變式訓練1】（23-24八年級下·安徽安慶·期末）解方程：（配方法解）．【變式訓練2】（23-24八年級上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程：．【變式訓練3】（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【變式訓練4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的過程如下，請你仔細閱讀，并回答問題：解：原方程可變形為，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答過程是從第______步開始出錯的．(2)請寫出此題正確的解答過程．類型三、配方法的應用例3.（23-24九年級上·甘肅蘭州·階段練習）閱讀理解：一位同學將代數式變形為，得到后分析發現，那么當時，此代數式有最小值是4．請同學們思考以下問題：(1)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數式的最值情況，寫出詳細過程及結論．【變式訓練1】（23-24九年級上·河北石家莊·階段練習）閱讀并解答問題：用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為，所以就有最小值1，即，只有當時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為，所以有最大值1，即，只有當時，才能得到這個式子的最大值1．(1)當_______時，代數式有最_______（填寫“大”或“小”）值，為______．(2)代數式有最大值或最小值嗎？若有，請求出這個最大值或最小值．【變式訓練2】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）（1）當__________時，多項式的最小值為__________．（2）當__________時，多項式的最大值為__________．（3）當、為何值時，多項式取最小值？并求出這個最小值．【變式訓練3】（2024·河北石家莊·一模）（1）發現，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當時，；當時，；當時，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關系?試說明理由；（3）拓展，試通過計算比較．與的大?。咀兪接柧?】（23-24八年級下·山東濟南·期末）求代數式的最小值時，我們通常運用“”這個結論對代數式進行配方來解決．比如，，，的最小值是，試利用“配方法”解決下列問題：

(1)填空：（______）______；(2)如圖1所示的是一組鄰邊長分別為，的長方形，其面積為；如圖2所示的是邊長為的正方形，其面積為，，請比較與的大小，并說明理由．(3)如圖3，一個地塊一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用長的籬笆圍成一個矩形場地，并且與墻平行的邊加建寬的門（用其他材料）．設，矩形的面積為．當為何值時，矩形場地的面積最大?最大值為多少平方米?類型四、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年級下·吉林長春·期中）解方程：．【變式訓練1】（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）用公式法解方程：．【變式訓練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式訓練3】（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年級·江蘇·假期作業）解關于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【變式訓練1】（2023八年級下·浙江·專題練習）用因式分解解方程：．【變式訓練2】（2024·陜西西安·模擬預測）解方程：．【變式訓練3】（23-24八年級下·廣西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．類型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年級上·四川眉山·階段練習）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項與常數項：②交叉相乘，驗中項：

③橫向寫出兩因式：（2）根據乘法原理，若，則或，則方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得或試用上述這種十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓練1】（2024·廣東廣州·二模）解方程：．【變式訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期中）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項與常數項：，②交叉相乘，驗中項：③橫向寫出兩因式：（2）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓練3】（23-24九年級上·全國·課后作業）（1）將進行因式分解，我們可以按下面的方法解答：解：①堅分二次項與常數項：．②交叉相乘，驗中項（交叉相乘后的結果相加，其結果須等于多項式中的一次項）：

③橫向寫出兩因式：．我們把這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根據乘法原理：若，則或．試用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．類型七、與新定義型有關的求解一元二次方程例題：（23-24八年級下·山東泰安·期末）定義新運算：規定，例如，若，則x的值為．【變式訓練1】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為．【變式訓練2】（2024·山東聊城·二模）對于實數，，先定義一種新運算“”如下：，若，則實數的值為．【變式訓練3】（23-24九年級上·廣東珠海·階段練習）對于實數、，定義運算“※”：，如果，則x的值為．類型八、換元法解一元二次方程例8.（23-24九年級上·河南信陽·開學考試）閱讀下列例題的解答過程：解方程：．解：設，則原方程可以化為．∴，，，∴，∴，∴y1=?1，當時，，∴；當時，，∴．∴原方程的解為，．請仿照上面的例題解方程：．【變式訓練1】（23-24九年級上·廣西南寧·開學考試）閱讀下面的材料，解答后面的問題．材料：解方程．解：設，原方程變為，解得或．當時，即，解得；當時，即，解得．綜上所述，原方程的解為，，，．問題：(1)上述解答過程采用的數學思想方法是__________．A．加減消元法

B．代入消元法

C．換元法

D．待定系數法(2)采用類似的方法解方程：．【變式訓練2】（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設，將原方程化為，解得，．當時，，．當時，，，．原方程的解為，，，．由原方程得到的過程，利用換元法達到了簡化方程的目的，體現了整體轉化的數學思想．閱讀后解答問題：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請說明理由．【變式訓練3】（23-24九年級上·廣東汕頭·期中）綜合實踐：“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數學學習中解決問題的基本思維方式．方程是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變為，解這個方程得：，，當時，，；當時，，，所以原方程有四個根：，，．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想．請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：(1)解方程：．(2)若，求的值．壓軸能力測評（12題）一、單選題1．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24九年級上·廣東東莞·階段練習）在實數范圍內定義一種運算“”，使，則方程的解為（）A． B．，C． D．二、填空題3．（2024·山東泰安·二模）關于y的方程的解是．4．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）已知代數式，則A的最小值為．三、解答題5．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）解下列方程：6．（23-24九年級上·陜西西安·期中）解方程：．7．（23-24九年級上·山東泰安·開學考試）解方程：(1)；(2)．8．（24-25九年級上·全國·課后作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．9．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）選用適當方法解下列方程：(1)(2)(3)(4)10．（23-24九年級上·吉林長春·期末）閱讀材料，并回答問題．小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：．．①．②．③．④．⑤．⑥問題：(1)上述過程中，從步開始出現了錯誤（填序號）；(2)發生錯誤的原因是：；(3)寫出這個方程的解：．11．（23-24九年級上·安徽蕪湖·階段練習）閱讀材料，并解答問題：數學運算中有一種非常重要的思想—“換元法”．它的本質是將一個冗長的、前后具有相同形式的式子用一個字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式．例如：為解方程，我們將看成一個整體，然后設，則原方程化為，∴，解得，．當時，，∴；當時，，∴．綜上所述：，，，．請利用以上方法解下面方程：(1)；(2)；(3)．12．（23-24八年級下·山東濟寧·期末）學習的本質是提高自學能力．周末，小睿同學在復習配方法后，他對代數式進行了配方，發現，小睿發現是一個非負數，即，他繼續探索，利用不等式的基本性質得到，即，所以，他得出結論是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同學又進行了嘗試，發現求一個二次三項式的最值可以用配方法，他自己設計了兩個題，請你解答．解決問題：（1）求代數式的最小值．（2）求代數式的最值．探究問題：關于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，根據你的觀察，探究下面的問題：代數式的最值是多少？

專題03解一元二次方程的八種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復合型 2類型二、用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程 3類型三、配方法的應用 7類型四、用公式法求解一元二次方程 11類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13類型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15類型七、與新定義型有關的求解一元二次方程 18類型八、換元法解一元二次方程 21壓軸能力測評（12題） 25解題知識必備知識點一、直接開方法解一元二次方程直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.要點：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊是非負數的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.知識點二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.要點：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.（3）配方法的理論依據是完全平方公式．知識點三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點四.用因式分解法解一元二次方程（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.壓軸題型講練類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復合型例1.（23-24九年級上·江西萍鄉·期末）解方程：【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程－直接開平方法．開平方求出的值，然后求出x的值即可．【詳解】解：，∴，則或，解得．【變式訓練1】（23-24九年級上·吉林白山·期末）用適當的方法解方程：【答案】，.【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟知方程特點選擇適當的解法是正確解決本題的關鍵，用直接開平方法或因式分解法都可以．【詳解】解：開方得，或解得，．【變式訓練2】（23-24九年級上·江蘇常州·期中）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握直接開平方法解一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∴或，解得，．【變式訓練3】（23-24九年級上·安徽蕪湖·期中）用適當的方法解方程：【答案】，【分析】本題考查一元二次方程的解法，根據方程的特點選擇恰當解法是解題的關鍵．直接用開平方法求解即可．【詳解】解：原式直接開方得，，或，∴原方程的解為：，．類型二、用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程例2.（23-24八年級下·山東煙臺·期中）配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：兩邊同除以，得，移項，得，配方，得，即，開平方，得，∴，或，∴，．【變式訓練1】（23-24八年級下·安徽安慶·期末）解方程：（配方法解）．【答案】，【分析】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．先變形為，然后利用配方法解方程．【詳解】解：，，，，解得，．【變式訓練2】（23-24八年級上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程：．【答案】【分析】本題主要考查了運用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解題的關鍵．先移項，然后再按照配方法即可解答．【詳解】解：，，，，，，，∴．【變式訓練3】（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】本題考查解一元二次方程，正確計算是解題的關鍵：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，；（3）解：，，，；（4）解：，，，．【變式訓練4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的過程如下，請你仔細閱讀，并回答問題：解：原方程可變形為，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答過程是從第______步開始出錯的．(2)請寫出此題正確的解答過程．【答案】(1)配方；三(2)，【分析】（1）根據配方法解答即可．（2）根據配方法的基本步驟規范解答即可．本題考查了配方法解方程，熟練掌握配方法解方程是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意，這種解方程的方法是配方法，配方時，在第三步時出現錯誤，故答案為：配方法，第三步．（2）原方程可變形為，∴，∴，∴，∴，∴，．類型三、配方法的應用例3.（23-24九年級上·甘肅蘭州·階段練習）閱讀理解：一位同學將代數式變形為，得到后分析發現，那么當時，此代數式有最小值是4．請同學們思考以下問題：(1)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數式，此代數式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數式的最值情況，寫出詳細過程及結論．【答案】(1)小，(2)大，13(3)當時，此代數式有最小值【分析】本題考查了配方法的應用，平方的非負性，解題的關鍵是掌握完全平方公式．（1）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答；（2）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答；（3）先將該式化為，再根據完全平方公式進行配方即可解答．【詳解】（1）解∶，∵，∴當時，此代數式有最小值，故答案為：小，；（2）解：，∵，∴，∴當時，此代數式有最大值13，故答案為：大，13；（3）解：，∵，∴，∴當時，此代數式有最小值．【變式訓練1】（23-24九年級上·河北石家莊·階段練習）閱讀并解答問題：用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因為，所以就有最小值1，即，只有當時，才能得到這個式子的最小值1．同樣，因為，所以有最大值1，即，只有當時，才能得到這個式子的最大值1．(1)當_______時，代數式有最_______（填寫“大”或“小”）值，為______．(2)代數式有最大值或最小值嗎？若有，請求出這個最大值或最小值．【答案】(1)1，大，3(2)有最大值，最大值為5【分析】（1）利用完全平方式大于等于0得到代數式有最大值，求出最大值以及此時的值即可；（2）根據已知將代數式變形得出，判斷出有最大值并解答．【詳解】（1），∴當時，代數式有最大值為3，故答案為：1，大，3；（2）代數式有最大值，理由如下：，∵，∴，∴當時，代數式有最大值為5．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質：偶次方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【變式訓練2】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）（1）當__________時，多項式的最小值為__________．（2）當__________時，多項式的最大值為__________．（3）當、為何值時，多項式取最小值？并求出這個最小值．【答案】（1）3，3（2）1，（3），，最小值是10【分析】本題考查了配方法的應用，非負數的性質應用，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）由配方可知，然后根據非負數的性質，判斷出的值，然后進行計算即可；（2）由配方可知，然后根據非負數的性質，判斷出的值，然后進行計算即可；（3）由配方可知，然后根據非負數的性質，判斷出和的取值，然后進行計算即可．【詳解】（1）當時，多項式取最小值，且最小值為3；故答案為：3，3（2）當時，多項式取最大值，且最大值為；故答案為：1，；（3），當且，即時，多項式取最小值，并且最小值為．，，最小值是10．【變式訓練3】（2024·河北石家莊·一模）（1）發現，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當時，；當時，；當時，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關系?試說明理由；（3）拓展，試通過計算比較．與的大小．【答案】（1），，；（2）總有，理由見解析；（3）【分析】此題考查了配方法的應用，不等式的性質，用到的知識點是不等式的性質、完全平方公式、非負數的性質，關鍵是根據兩個式子的差比較出數的大小．（1）當時，當時，當時，分別代入計算，再進行比較得出結論填空即可；（2）根據，即可得出無論取什么值，判斷與有；（3）拓展：先求出，再判斷的正負，即可做出判斷．【詳解】解：（1）①當時，，，則，②當時，，，則，③當時，，，則．故答案為：；；；（2）無論取什么值，判斷與有，理由如下：，無論取什么值，總有；（3）拓展：，故．【變式訓練4】（23-24八年級下·山東濟南·期末）求代數式的最小值時，我們通常運用“”這個結論對代數式進行配方來解決．比如，，，的最小值是，試利用“配方法”解決下列問題：

(1)填空：（______）______；(2)如圖1所示的是一組鄰邊長分別為，的長方形，其面積為；如圖2所示的是邊長為的正方形，其面積為，，請比較與的大小，并說明理由．(3)如圖3，一個地塊一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用長的籬笆圍成一個矩形場地，并且與墻平行的邊加建寬的門（用其他材料）．設，矩形的面積為．當為何值時，矩形場地的面積最大?最大值為多少平方米?【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)當為時，矩形場地的面積最大，最大值為平方米【分析】本題主要考查配方法的運用，幾何圖形的面積的計算，乘法公式與幾何圖形面積的綜合運用，理解題意，掌握乘法公式與幾何圖形的綜合知識的運用是解題的關鍵．（1）根據材料提示，運用配方法即可求解；（2）結合矩形和正方形面積公式，利用整式的乘法分別算出、，再運用的結果的正負來判斷大小，即可解題；（3）根據題意得到，利用矩形面積公式表示出，再結合題干求解方法即可解題．【詳解】（1）解：由題知，，故答案為：，．（2）解：由題知，，，，，．（3）解：，由題知，，矩形的面積；

，，，當為時，矩形場地的面積最大，最大值為平方米．類型四、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年級下·吉林長春·期中）解方程：．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解題關鍵．本題直接利用公式法求解即可．【詳解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【變式訓練1】（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查公式法解一元二次方程，根據公式法，按步驟求解即可得到答案，熟記公式法解一元二次方程是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，，．【變式訓練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：，【變式訓練3】（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程無解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關鍵；（1）由題意易得，然后根據公式法可進行求解；（2）由題意易得，然后根據公式法可進行求解；（3）由題意易得，然后根據公式法可進行求解．【詳解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程無解．類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年級·江蘇·假期作業）解關于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法進行因式分解，再解方程即可；（2）移項后，用提公因式法進行因式分解，再解方程即可．【詳解】（1）解：①②∴．（2）解：①②∴．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合適的公因式是解題的關鍵．【變式訓練1】（2023八年級下·浙江·專題練習）用因式分解解方程：．【答案】，【分析】采用因式分解法即可求解．【詳解】移項得，，提取公因式得，．故或，解得，．【點睛】本題重點是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解題的關鍵．【變式訓練2】（2024·陜西西安·模擬預測）解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．【變式訓練3】（23-24八年級下·廣西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，因式分解得，即或，解得，．（2）解：，移項得，因式分解得，即或，解得，．類型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年級上·四川眉山·階段練習）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項與常數項：②交叉相乘，驗中項：

③橫向寫出兩因式：（2）根據乘法原理，若，則或，則方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得或試用上述這種十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【詳解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，；（3）或∴，；（4）或∴，．【點睛】本題考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解題的關鍵．【變式訓練1】（2024·廣東廣州·二模）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解方程．【詳解】解：，，或，∴，．【變式訓練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期中）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項與常數項：，②交叉相乘，驗中項：③橫向寫出兩因式：（2）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，進一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，進一步求解可得答案．【詳解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．【變式訓練3】（23-24九年級上·全國·課后作業）（1）將進行因式分解，我們可以按下面的方法解答：解：①堅分二次項與常數項：．②交叉相乘，驗中項（交叉相乘后的結果相加，其結果須等于多項式中的一次項）：

③橫向寫出兩因式：．我們把這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根據乘法原理：若，則或．試用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．【答案】①，

②，

③，

④，【分析】根據題中十字相乘法的解法步驟求解即可．【詳解】解：①由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；②由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；③由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，；④由題知，，，∴原方程可化為，∴或，∴，．【點睛】本題考查十字相乘法解一元二次方程，理解題干中的十字相乘法的解法是解答的關鍵．類型七、與新定義型有關的求解一元二次方程例題：（23-24八年級下·山東泰安·期末）定義新運算：規定，例如，若，則x的值為．【答案】或【分析】本題主要考查了解一元二次方程，新定義，根據新定義可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，即，解得或，故答案為：或．【變式訓練1】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據新定義運算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵，而，∴①當時，則有，解得，；②當時，，解得，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．【變式訓練2】（2024·山東聊城·二模）對于實數，，先定義一種新運算“”如下：，若，則實數的值為．【答案】3【分析】根據新定義，分類計算即可．本題考查了新定義運算，正確理解運算是解題的關鍵．【詳解】當時，變形得，整理，得，解得（舍去）．當時，變形得，解得（舍去）．故答案為：3．【變式訓練3】（23-24九年級上·廣東珠海·階段練習）對于實數、，定義運算“※”：，如果，則x的值為．【答案】3或【分析】本題考查了解一元二次方程因式分解法，實數的運算，解題的關鍵是分兩種情況：當時；當時；然后根據定義的新運算分別進行計算，即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當時，※，，，，或，（舍去），；當時，※，，，，；綜上所述：的值為3或，故答案為：3或．類型八、換元法解一元二次方程例8.（23-24九年級上·河南信陽·開學考試）閱讀下列例題的解答過程：解方程：．解：設，則原方程可以化為．∴，，，∴，∴，∴y1=?1，當時，，∴；當時，，∴．∴原方程的解為，．請仿照上面的例題解方程：．【答案】，，，【分析】本題主要是考查利用換元法解一元二次方程的方法，仿照例題給出的方法進行解題，熟練掌握解方程的方法是本題解題的基礎．利用例題中給很出的方法，利用換元的方法進行解題，設，則原方程化為：，解方程得：，，將解帶入，求解方程即可．【詳解】解：設，則原方程可以化為，∵，，，∴，∴．解得，．當時，，∴，；當時，，∴，．∴原方程的解為，，，．【變式訓練1】（23-24九年級上·廣西南寧·開學考試）閱讀下面的材料，解答后面的問題．材料：解方程．解：設，原方程變為，解得或．當時，即，解得；當時，即，解得．綜上所述，原方程的解為，，，．問題：(1)上述解答過程采用的數學思想方法是__________．A．加減消元法

B．代入消元法

C．換元法

D．待定系數法(2)采用類似的方法解方程：．【答案】(1)C(2)，【分析】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應用．此題難度較大，不容易掌握．（1）利用換元法解方程；（2）設，原方程化為，求出y，把y的值代入，求出x即可．【詳解】（1）上述解答過程采用的數學思想方法是換元法．故答案是：C；（2）設，原方程化為，∴解得，當時，得，解得，；當時，得，，方程無解，綜上所述，原方程的解為，．【變式訓練2】（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設，將原方程化為，解得，．當時，，．當時，，，．原方程的解為，，，．由原方程得到的過程，利用換元法達到了簡化方程的目的，體現了整體轉化的數學思想．閱讀后解答問題：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請說明理由．【答案】(1)原方程的解為，，(2)方程的兩根分別是和，理由見詳解【分析】本題主要考查換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法和一元二次方程的解法是關鍵，體現了整體轉化的數學思想，（1）設，用m代替方程中的，然后解關于m的一元二次方程，然后再來求關于x的一元二次方程即可（2）根據已知方程的解，得出或，求出x的值即可．【詳解】（1）解：令，則，，或，解得或，當時，，即，解得，，當時，，即，解得，綜上，原方程的解為，，（2）一元二次方程的兩根分別為，，方程中或，解得：或，即方程的兩根分別是和．【變式訓練3】（23-24九年級上·廣東汕頭·期中）綜合實踐：“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數學學習中解決問題的基本思維方式．方程是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變為，解這個方程得：，，當時，，；當時，，，所以原方程有四個根：，，．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想．請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：(1)解方程：．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）設，代入原式，對一元二次方程求解即可；（2）設，代入原式，對一元二次方程整體求解即可；本題主要考查一元二次方程的解法，理解題目中換元法的解題思想是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設原方程可變為：解得：，當時，∴方程無解當時，解得：∴原方程有2個根：．（2）解：設原方程可變為：整理得：解得：（舍去），的值為1．壓軸能力測評（12題）一、單選題1．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）用配方法解方程，變形后的結果正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法，先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊除以2，接著方程兩邊加上1，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．【詳解】解：，，故選：B2．（23-24九年級上·廣東東莞·階段練習）在實數范圍內定義一種運算“”，使，則方程的解為（）A． B．，C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，新定義，根據新定義可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，解得，，故選：B．二、填空題3．（2024·山東泰安·二模）關于y的方程的解是．【答案】，，【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握求解一元二次方程的方法是解題的關鍵．根據因式分解法求解即可．【詳解】解：，，或，解得，．故答案為：，．4．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）已知代數式，則A的最小值為．【答案】【分析】本題考查了配方法的應用；先利用配方法把代數式配成完全平方式的形式，再根據偶次方的非負性解答即可．【詳解】解：，∵，∴，即A的最小值為，故答案為：．三、解答題5．（23-24九年級上·浙江臺州·期中）解下列方程：【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵．直接開平方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；【詳解】或解得：6．（23-24九年級上·陜西西安·期中）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．根據配方法求解一元二次方程即可．【詳解】解：，解得：，．7．（23-24九年級上·山東泰安·開學考試）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式和因式分解法是解題的關鍵．（1）先求出，再代入求根公式求解即可；（2）先移項提取公因式，再化簡為即可求解．【詳解】（1）解：，原方程的系數分別是，，，，，，；（2）解：或，解得：，．8．（24-25九年級上·全國·課后作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查公式解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握，．（1）根據一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；（2）根據一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案．【詳解】（1）解：將方程化為一般形式，得．∵，∴，∴方程有兩個不相