專題16妙解離心率問題目錄01頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 202焦點三角形頂角范圍與離心率 603共焦點的橢圓與雙曲線問題 804橢圓與雙曲線的4a通徑體 1105橢圓與雙曲線的4a直角體 1406橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 1907雙曲線的4a底邊等腰三角形 2108焦點到漸近線距離為b 2509焦點到漸近線垂線構造的直角三角形 2910以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 3211漸近線平行線與面積問題 3612數形結合轉化長度角度 3801頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題1．（2024·安徽宣城·高三統考期末）已知橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0關于原點的對稱點為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其右焦點，若SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意設橢圓的左焦點為N，連接AN，BN，因為AF⊥BF，所以四邊形AFBN為長方形，再根據橢圓的定義化簡得SKIPIF1<0，得到離心率關于SKIPIF1<0的函數表達式，再利用輔助角公式和三角函數的單調性求得離心率的范圍.由題意橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，設左焦點為N，連接AN，BN，因為AF⊥BF，所以四邊形AFBN為長方形．根據橢圓的定義：SKIPIF1<0，由題∠ABF＝α，則∠ANF＝α，所以SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即橢圓離心率SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選B.2．（2024·河北唐山·高三統考期末）已知橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0關于原點的對稱點為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其右焦點，若SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設橢圓SKIPIF1<0的左焦點為：SKIPIF1<0,根據SKIPIF1<0，得到四邊形為SKIPIF1<0為矩形，再由SKIPIF1<0，結合橢圓的定義得到SKIPIF1<0，然后由SKIPIF1<0求解.設橢圓SKIPIF1<0的左焦點為：SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以四邊形為SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由橢圓的定義得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0關于原點的對稱點為SKIPIF1<0點，SKIPIF1<0為其右焦點，若SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0關于原點對稱，SKIPIF1<0SKIPIF1<0也在橢圓上，設左焦點為SKIPIF1<0，根據橢圓的定義：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0

（1）又原點是SKIPIF1<0的斜邊中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0

（3）將（2）（3）代入（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：A4．（2024·黑龍江大慶·高三鐵人中學校考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）右支上非頂點的一點SKIPIF1<0關于原點SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其右焦點，若SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示，設雙曲線的左焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形．所以SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故雙曲線離心率的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：D．02焦點三角形頂角范圍與離心率5．（2024·河南南陽·高三鄭州一中階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左右兩個焦點，P為橢圓上的一點，且SKIPIF1<0，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D6．（2024·黑龍江·校聯考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，若點Р為橢圓SKIPIF1<0上的動點，當P為橢圓的短軸端點時，SKIPIF1<0取最小值，則橢圓SKIPIF1<0離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】假設點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考慮對勾函數SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為橢圓的短軸端點時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值，SKIPIF1<0也取最小值，此時SKIPIF1<0，∵函數在SKIPIF1<0上單調遞減，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即橢圓SKIPIF1<0離心率的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.7．（2024·貴州·高三凱里一中校考期末）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左右焦點，若橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選D8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）使得SKIPIF1<0，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據題意作圖如下：由圖可得：當點P在橢圓的上（下）頂點處時，SKIPIF1<0最大，要滿足橢圓C上存在點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴得到：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓離心率的取值范圍為SKIPIF1<0，故選:B．03共焦點的橢圓與雙曲線問題9．（2024·安徽·校聯考）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且兩條曲線在第一象限的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形，若SKIPIF1<0，橢圓與雙曲線的離心率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足的關系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由橢圓與雙曲線定義得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選B.10．（多選題）（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）有公共焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且兩條曲線在第一象限的交點為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共焦點知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；△SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在第一象限知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0錯；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確．故選：SKIPIF1<0．11．（2024·湖北孝感·高三統考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是它們的一個交點，且SKIPIF1<0，記橢圓和雙曲線的離心率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】不妨設SKIPIF1<0為第一象限的點，SKIPIF1<0為左焦點，設橢圓的長半軸長為SKIPIF1<0，雙曲線的實半軸長為SKIPIF1<0，則根據橢圓及雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立．故答案為：SKIPIF1<012．（2024·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州第十中學校校考階段練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點SKIPIF1<0分別是它們在第一象限和第三象限的交點，且SKIPIF1<0，記橢圓和雙曲線的離心率分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于．【答案】SKIPIF1<0【解析】設橢圓長半軸長為SKIPIF1<0，雙曲線實半軸長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩曲線在第一象限的交點，SKIPIF1<0為兩曲線在第三象限的交點.由橢圓和雙曲線定義知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓和雙曲線對稱性可知：四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.13．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是它們的一個交點，SKIPIF1<0，記橢圓和雙曲線的離心率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設兩曲線的焦距為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，取等號，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.04橢圓與雙曲線的4a通徑體14．（2024·河南·高三統考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，橢圓的焦距為SKIPIF1<0，由題意得出SKIPIF1<0，橢圓的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選D.15．（2024·全國·高三校聯考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(如圖)，過SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程知SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又點SKIPIF1<0在橢圓上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：D16．（2024·云南·校聯考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖），過SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設橢圓SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考階段練習）已知橢圓E:SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖），過SKIPIF1<0的直線交E于P，Q兩點，且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】依題意設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故選：A05橢圓與雙曲線的4a直角體18．（2024·全國·高三校聯考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】運用特殊值法進行求解.不妨設SKIPIF1<0，利用勾股定理、余弦定理，結合橢圓的定義和離心率公式進行求解即可.不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C19．（2024·重慶·校聯考）已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由雙曲線定義知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A.20．（2024·廣西桂林·高三統考期末）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，過點SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓的離心率SKIPIF1<0.故選：D.21．（2024·湖南·校聯考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的三個點，直線SKIPIF1<0經過原點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經過右焦SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以得離心率SKIPIF1<0，選擇A22．（2024·湖北·高三開學考試）已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的三個點，SKIPIF1<0經過原點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經過右焦點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設左焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，連接SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0經過原點SKIPIF1<0所以四邊形SKIPIF1<0為矩形在Rt△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0所以在Rt△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以選B23．（2024·山東聊城·統考）已知A，B，C是雙曲線SKIPIF1<0上的三點，直線AB經過原點O，AC經過右焦點F，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設雙曲線的左焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0由題意知SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，令SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0帶入可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0故選：D06橢圓與雙曲線的等腰三角形問題24．（2024·江西上饒·高三階段練習）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,由雙曲線定義可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.25．（2024·北京海淀·校考模擬預測）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線C的右支在第一象限的交點為A，與y軸的交點為B，且△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B26．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）如圖，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦點，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線SKIPIF1<0的左支交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等腰三角形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．07雙曲線的4a底邊等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中學校考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左，右焦點，過點SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線的左，右兩支分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，以SKIPIF1<0為圓心的圓過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取MN中點A，連AF2，由已知令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，如圖：因點M，N為雙曲線左右兩支上的點，由雙曲線定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令雙曲線半焦距為c，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0.故選：B28．（2024·江西九江·統考）設雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2的直線分別交雙曲線左、右兩支于點P，Q，點M為線段PQ的中點，若P，Q，F1都在以M為圓心的圓上，且SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】C【解析】以PQ為直徑的圓經過點F1，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可知PQ⊥MF1，則|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，設|PF1|＝t，則|PQ|SKIPIF1<0t，由雙曲線的定義可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，則SKIPIF1<0t＝4a，即t＝2SKIPIF1<0a，則：|PF2|SKIPIF1<0，在Rt△MF1F2中，|MF1|SKIPIF1<02a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2SKIPIF1<0a，由勾股定理可知|F1F2|＝2SKIPIF1<0a＝2c，則雙曲線C的離心率為：eSKIPIF1<0．故選：C．29．（2024·安徽合肥·校聯考模擬預測）設雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線左右兩支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，以SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，有余弦定理可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因為以MN為直徑的圓經過右焦點F2，所以SKIPIF1<0，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2為等腰直角三角形，設|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|SKIPIF1<0m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2SKIPIF1<0a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2SKIPIF1<0a﹣2a）2，化為c2＝3a2，即eSKIPIF1<0．故選：B．30．（2024·河北石家莊·統考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0是橢圓上位于第一象限內的點，延長SKIPIF1<0交橢圓于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選A.31．（2024·山東煙臺·統考）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知：△SKIPIF1<0為等腰直角三角形且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B.08焦點到漸近線距離為b32．（2024·四川瀘州·高三統考期末）已知F1，F2為雙曲線C：SKIPIF1<0＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，且與C的右支交于點Q，若SKIPIF1<0（O為坐標原點），則C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【解析】根據對稱性不妨設P為第一象限的點，∵O為F1F2的中點，又SKIPIF1<0，∴Q為PF2的中點，又F2（c，0）到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又|F1F2|＝2c，∵PO的斜率為SKIPIF1<0，又QF2⊥PO，∴QF2的斜率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△QF2F1中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，化簡可得a＝b，∴雙曲線C的離心率為SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.故選：A.33．（2024·安徽滁州·高三統考期末）設F1，F2分別是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為H，若|HF1|=3|HF2|，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題設條件推導出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的坐標，由兩點間的距離公式得SKIPIF1<0，計算求出離心率SKIPIF1<0．由題設知雙曲線C：SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，∵右焦點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，平方化簡得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，故選：D.34．（2024·遼寧葫蘆島·統考）設F1，F2是雙曲線C：SKIPIF1<0（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，