PAGE1-第一章常用邏輯用語世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：唐·吉訶德的仆人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王．他頒布了一條驚奇的法律：每一個到達這個島的人都必需回答一個問題：“你到這里來做什么？”假如回答對了，就允許他在島上游玩，而假如答錯了，就要把他絞死．對于每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架．有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他按例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這里來是要被絞死的．”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？假如應當讓他在島上游玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話．既然他說錯了，就應當被處絞刑．但假如桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應當讓他在島上玩．小島的國王發覺，他的法律無法執行，因為不管怎么執行，都使法律受到破壞．他思索一再，最終讓衛兵把他放了，并且宣布這條法律作廢.1.1命題及其關系1.1.1命題自主預習·探新知情景引入聞名的“理發師悖論”是伯特納德·羅素提出的：一個理發師的招牌上寫著：“城里全部不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉．”日常生活中也常常出現類似的邏輯錯誤，因此邏輯用語的學習是很有必要的．我們接下來就從命題起先學習.新知導學1．一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以__推斷真假__的陳述句叫做命題．2．推斷為真的語句叫__真命題__，推斷為假的語句叫__假命題__.3．數學中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不肯定都是定理，因為命題有__真假__之分，而定理是__真__命題．4．命題常寫成“__若p，則q__”的形式，其中命題中的p叫做命題的__條件__，q叫做命題的__結論__.預習自測1．下列語句不是命題的是(A)A．今日的天真藍呀！B．100101是整數C．方程9x2－1＝0的解是x＝eq\f(1,3)D．2024年10月1日是中華人民共和國成立70周年的日子[解析]依據命題的定義知，選項A不是命題．2．語句“若a>b，則a＋c>b＋c”是(B)A．不是命題 B．真命題C．假命題 D．不能推斷真假[解析]a>b?a＋c>b＋c成立，故選B．3．由命題“能被6整除的整數，肯定能被3整除”改寫的等價命題是(B)A．若一個數不能被6整除，則這個數不肯定能被3整除B．若一個數能被6整除，則這個數肯定能能被3整除C．若一個數能被6整除，則這個數不肯定能被3整除D．若一個數不能被6整除，則這個數肯定能被3整除[解析]由命題“能被6整除的整數，肯定能被3整除”改寫為“若p，則q”的形式為：若一個數能被6整除，則這個數肯定能被3整除，故選B．4．命題“其次象限角的余弦值小于0”的條件是(C)A．余弦值 B．其次象限C．一個角是其次象限角 D．沒有條件[解析]命題可改寫為：若一個角是其次象限角，則它的余弦值小于0，故選C．5．下列語句中是命題的有__①④__.(填序號)①一個數不是正數就是負數；②0是自然數嗎？③22020是一個很大的數；④若兩個平面平行，則這兩個平面無公共點．[解析]②是疑問句，不是命題；③是陳述句，但“很大”無法說明究竟多大，不能推斷真假，不是命題．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?命題概念的理解典例1推斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)求證：eq\r(3)是無理數；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的學生嗎？(4)并非全部的人都喜愛蘋果．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給定一個語句，②判定其是否為命題并說明理由．解答本題要嚴格驗證該語句是否符合命題的概念．[解析](1)是祈使句，不是命題．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，對于x∈R，可以推斷為真，它是命題．(3)是疑問句，不涉及真假，不是命題．(4)是命題，可以推斷為真．人群中有的人喜愛蘋果，也存在著不喜愛蘋果的人．『規律方法』判定一個語句是否為命題，主要把握以下兩點：1．必需是陳述語句．祈使句、疑問句、感嘆句都不是命題．2．其結論可以判定真或假．含義模糊不清，不能辨其真假的語句，不是命題．另外，并非全部的陳述語句都是命題，凡是在陳述語句中含有比方、形容等詞的詞義模糊不清的，都不是命題．┃┃跟蹤練習1__■推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)函數f(x)＝3x(x∈R)是指數函數；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函數y＝cosx是周期函數嗎？(4)集合{a，b，c}有3個子集．[解析](1)是命題，滿意指數函數的定義．(2)不是命題，不能推斷真假．(3)不是命題，是疑問句．(4)是命題．符合命題的定義．命題方向?命題真假的推斷典例2推斷下列命題的真假：(1)形如a＋eq\r(2)b的數是無理數；(2)負項等差數列的公差小于零；(3)關于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．[思路分析]運用數學中的定義、定理、公理、公式等學問進行推斷．[解析](1)假命題．如當a＝1，b＝eq\r(2)時，a＋eq\r(2)b是有理數．(2)假命題．如數列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2.(3)假命題．關于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，當a＝1時，方程無解；當a≠1時，方程有惟一解，所以是假命題．『規律方法』1.命題真假的判定方法真命題的判定過程實際就是利用命題的條件，結合正確的邏輯推理方法進行正確邏輯推理的一個過程．可以依據已學過的定義、定理、公理，已知的正確結論和命題的條件進行正確的邏輯推理進行推斷．要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．2．一個命題的真假與命題所在環境有關．對其進行推斷時，要留意命題的前提條件，如“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”在平面幾何中是真命題，而在立體幾何中卻是假命題．3．從集合的觀點看，我們建立集合A、B與命題中的p、q之間的一種聯系：設集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是說，A是能使條件p成立的全體對象x所構成的集合，B是能使條件q成立的全體對象x所構成的集合，此時，命題“若p，則q”為真，當且僅當A?B時滿意．┃┃跟蹤練習2__■給出下列命題：①函數y＝sinx的最小正周期是π；②函數y＝2x3是指數函數；③一次函數y＝x＋1的圖象與x軸的交點坐標為(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是偶函數，也是增函數．其中假命題的個數為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函數y＝sinx的最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命題；易知②是假命題；令x＋1＝0，得x＝－1，所以一次函數y＝x＋1的圖象與x軸的交點坐標為(－1,0)，所以③是真命題；f(x)＝x2在R上是偶函數，但不是增函數，所以④是假命題．故假命題的個數為3，故選C．命題方向?命題結構分析典例3指出下列命題的條件與結論．(1)負數的平方是正數；(2)正方形的四條邊相等．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給出了命題的一般簡略形式．②找出命題的條件和結論．解答本題的關鍵是正確變更命題的表述形式．[解析](1)可表述為“若一個數是負數，則這個數的平方是正數”條件為：“一個數是負數”；結論為：“這個數的平方是正數”．(2)可表述為：“若一個四邊形是正方形，則這個四邊形的四條邊相等”．條件為：“一個四邊形是正方形”；結論為：“這個四邊形的四條邊相等”．『規律方法』1.數學中的命題大多是：“若p，則q”的形式，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結論．而數學中的有些命題從形式上看，不是“若p，則q”的形式，但是將它的表述作適當變更，也可以寫成“若p，則q”的形式，因此，在探討命題時，不要受其形式的影響．2．“若p，則q”形式的命題中，p和q本身也可為一個簡潔命題．3．并非全部的命題都可寫成“若p，則q”型，如“eq\f(1,3)是有理數”，“5>3”．┃┃跟蹤練習3__■把下列命題表示為“若p，則q”的形式，并推斷真假．(1)相像三角形的面積相等；(2)平行于同一個平面的兩平面平行；(3)正弦函數是周期函數．[解析](1)若兩個三角形相像，則它們的面積相等．假命題．(2)若兩個平面平行于同一個平面，則這兩個平面平行．真命題．(3)若一個函數為正弦函數，則它是周期函數．真命題．學科核心素養命題的真假與其他學問的綜合應用命題的概念中有兩個要點：①陳述句；②可以推斷真假．利用這兩點可借助于函數的奇偶性、單調性、對稱關系來解決一些開放性問題．典例4把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題．若函數f(x)＝3＋log2x(x>0)的圖象與g(x)的圖象關于__x軸__對稱，則函數g(x)＝__－3－log2x(x>0)__.(注：填上你認為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮全部可能的情形)[思路分析]本題答案不惟一．空中可以依次填入x軸，－3－log2x(x>0)．[解析]若函數f(x)與g(x)的圖象關于x軸對稱，則可將函數y＝f(x)＝3＋log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代換，得－y＝3＋logx(x>0)，所以g(x)＝－3－log2x(x>0)．『規律總結』解答此類題目，首先要審清題意，弄明白求什么，然后依據所學學問選擇合適的答案．┃┃跟蹤練習4__■已知p：5x－1>a，q：x>1，請選擇適當的實數a，若命題“若p，則q”為真命題，則a的取值范圍為__[4，＋∞)__.[解析]命題“若p，則q”為“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”，由命題