高二年級——人教A版——數學選擇性必修第二冊第五章

導數法研究含參函數的單調性學習目標

1.了解函數單調性與導函數的關系，能利用導函數研究函數的單調性；

2.能利用導函數的圖象特征對參數進行分類討論，掌握分類標準，體會數形結合的思想方法.

問題1:函數

的單調性與導函數

的正負之間具有什么關系？環節一復習鞏固，引入新知

在某個區間

上,如果,那么函數

在區間

上單調遞增；

在某個區間

上,如果

,那么函數

在區間

上單調遞減.

問題2：判斷函數

的單調性的步驟是什么？第1步,確定函數

的定義域；第2步,求出導函數

的零點；

第3步,用

的零點將

的定義域劃分為若干個區間,列表給出

在各個區間上的正負,由此得到函數

在定義域內的單調性.思考：求下列函數的單調性單調性怎么研究？環節二

主動思考，探究新知

例1已知函數,討論

的單調性.分析:令得分類討論方程無實數根環節三

數形結合，例題講解

例1已知函數

，討論

的單調性.解：函數的定義域為

，綜上所述，當

時，

在

上單調遞增；

當

時，

在

上單調遞減；

在

上單調遞增.②當

時，令

，解得

當

時，

；當

時，.所以

在

上單調遞減，在

上單調遞增.①當

時，

恒成立，所以

在

上單調遞增;

例2已知函數

，討論

的單調性.

分析：令

得方程有兩個實數根方程有兩個相等實數根方程無實數根

例2已知函數

，討論

的單調性.

當

變化時，

，

的變化情況如下表所示.②當

，即

，令

，解得解：函數的定義域為

，令

，得

，其中.①當

，即

，此時

，

則

在

上單調遞增；

例2已知函數

，討論

的單調性.

所以

在

上單調遞增；在

單調遞減.

綜上所述，當

時，

在

上單調遞增;

當

時，

在

上單調遞增；

在

上單調遞減.

例3已知函數

,討論

的單調性.分析:

定義域

令得

例3已知函數

，討論

的單調性.解：函數的定義域為

，令

，得

，其中.①當

時，即

，此

時

，所以

在

上單調遞減.②當

時，即

或

，令

，解得.

例3已知函數

，討論

的單調性.綜上所述，當

時，

在

上單調遞減；

當

時，

在

和

上單調遞減;

在

上單調遞增.(ⅰ)若

，當

時，

，所以

在

上單調遞減.

(ⅱ)若

，當

或

時，

；當

時，.所以

在

和

上單調遞減；在

上單調遞增.

例4已知函數

，討論

的單調性.

分析：

令得因式分解：方程有兩個實數根例4已知函數,討論

的單調性.

解：函數的定義域為

，

①若

，

，

令

，則

，即.當

時，

，故

在

上單調遞增；當

時，

，故

在

上單調遞減.②若

時，令

，則

（ⅰ）當

時，

，

當

或

時，

；當

時，

所以

在

和

上單調遞增；在

上單調遞減.例4已知函數

，討論

的單調性.

綜上所述，當

時，

在

上單調遞增；在

上單調遞減.

當

時，

在

和

上單調遞增；

在

上單調遞減.

當

時，

在

上單調遞增；

當

時，

在

和

上單調遞增；

在

上單調遞減.（ⅲ）當

時，

，

當

或

時，.當

時，.所以

在

和

上單調遞增；在

上單調遞減.（ⅱ）當

時，

，

，所以

在

上單調遞增.1.知識小結：

環節四

回顧總結，方法提煉2.思想方法：

在學習過程中逐步提升的數形結合、分類討論和化歸轉化等思想方法,從而提升數學運算和邏輯推理等數學核心素養.利用導數法判斷含參函數單調性的步驟是（1）確定的定義域；（2）求出的零點；（3）利用因式分解或判別式等方法討論函數是否有零點以及零點的分布情況（注意定義域）；（4）判斷導函數在各個區間的正負并下結論.課后作業：課后配套練習謝謝觀看高二年級—人教A版—數學選擇性必修第二冊第五章

導數法研究含參函數的單調性

答疑

例1已知函數,討論

的單調性.

分析：方程（1）有實數根

定義域令,得方程（1）無實數根

例1已知函數

，討論

的單調性.

解：函數的定義域為

，②當

時，令

，解得①當

時，令

，解得.當

時，

，當

時，

所以

在

上單調遞減，在

上單調遞增.(ⅰ)若

，即

時，

當

時，

，所以

在

上單調遞減.

例1已知函數,討論

的單調性.

（ⅲ）若

，即

時，

當

和

時，

；當

時，.

所以

在

和

上單調遞減；在

上遞增.（ⅱ）若

，即

時，

當

和

時，

；當

時，

所以

在

，

上單調遞減；在

上單調遞增.

例1已知函數,討論

的單調性.

綜上所述，當

時，

在

上單調遞增；在