期中各名校真題-壓軸必刷題（50題）

范圍：第一章~第四章

一、單選題

1.已知二次函數y=a/+cQ。0）的圖象如圖所示，有下列結論：@abc>0；②a+b+c=2；

③口>a@b<l.其中正確的結論是（）

A,①②B.②③

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數圖象和系數的關系，熟練掌握二次函數圖象與a,b,c的關系是解決本題的關

鍵.

①圖像可知一卷<0,且c<0,故①錯誤；②把尤=1代入即可，故②正確；③根據對稱的關系和c

的大小即可，得到答案，故③正確；④把x=1和久=—1分別代入函數式，得到結果即可，故④錯誤.

【詳解】解：?v-￡<0,

.-.ab>0

vc<0,

.?.abcCO故①錯誤；

②由圖象可知：％=1時，y=2；

即a+b+c=2,故②正確；

③由圖象可知一1<—親

又a+b+c=2,

；.b=2—a—c<2a,

1

即a>式2—c),

vc<0,

故③正確；

④由圖象可知：％=—1時，y=a—b+c<0,

又(a+b+c)—(a—b+c)>2,

即2b>2,

.,力>1,

.??故④錯誤.

2.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點。點。又是正方形力道道1。的一個頂點，而且這兩個正方形的

邊長相等.給出如下四個結論：

①NOEF=45°；

②正方形&B1C1。繞點。旋轉時，四邊形OEBF的面積始終等于正方形4BCD的;；

③當正方形4BCD的邊長為2時，△BEF周長的最小值為2+岳

@AE2+CF2=2OB2.

正確的結論序號有()

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】①根據正方形的性質及各角之間的數量關系得出NBOE=乙COF,利用全等三角形的判定和性

質得出OE=OF,BE=CF,再由勾股定理即可得出；②由全等的性質及圖中面積的關系即可得出；@

由①可知，BE+BF=BF+CF=BC=或。4EF=&0E,確定當。EJ.48時，0E最小，△BEF

的周長最小，代入計算即可；④利用勾股定理進行變換判斷即可.

【詳解】解：①???四邊形ZBCD為正方形，

；.0B=OC,/-OBE=AOCF=45°,乙BOC=9。。,

：.Z-BOF+Z.COF=90°,

-/.EOF=90°,

:.乙BOF+乙COE=90°,

..Z-BOE=Z.COF,

(乙BOE=Z-COF

在aBOE與△C。尸中，［OB=OC,

JOBE=z.OCF

：.△BOE=△COF(ASA),

：.OE=OF,BE=CF,

：.^OEF=45°,EF=y/2OE,故①正確；

②由①得△BOE三△COF,

S四邊形0E8F—S^BOF+S^BOE

=S&BOF+SACOF

=S&BOC

="$正方形4BCD，故②正確；

③由①可知，

BE+BF=BF+CF=BC=&OA,EF=魚。E,

△8￡1尸的周長=8￡'+89+￡77=y!2OA+42OE,

為定值，貝UOE最小時aBEF的周長最小，

.?.當OE1AB時，OE最小，ABEF的周長最小，

此時。E=孝。4,

△BEF的周長最小值=V2OX+V2OF

V2OX+V2X—OX

=(1+煙。力，

?.?正方形48CD的邊長為2,

.".OA=V2,

則(1+際義或=2+夜，

故③正確；

?.?在△BEFdp,EF2=BE2+BF2,

：.EF2=AE2+CF2,

-2OB2^AB2=(AE+CF)2,

■■.AE2+CF2￥2OB2,故④錯誤；

故選：C.

【點睛】題目主要考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等，理解題意,

綜合運用這些知識點是解題關鍵.

3.如圖，邊長為8a的等邊三角形ABC中，”是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點B

逆時針旋轉60。得到8N,連接HN.則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是()

1

A.4aB.2aC.aD.-a

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質,

作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

取的中點G,連接MG,根據等邊三角形的性質和旋轉可以證明aMEG三△NBH,可得MG=NH,根

據垂線段最短，當MG1CH時，MG最短,即HN最短，由直角三角形的性質可求得線段HN長度的最小值.

【詳解】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,則BG=；BC=4a,

???線段BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,

+乙HBN=60°,

又???△ABC是等邊三角形，

，乙ABC=60°,

BPzMBW+ZMBC=60°,

；/HBN=乙GBM,

?.￡H是等邊三角形的高，

；.BH=^AB=4a,

：.BH=BG=4a,

又旋轉到BN,

；.BM=BN,

在△M8G和△NBH中，

(BM=BN

乙GBM=乙HBN,

IBG=BH

：.AMBG=ANBH(SAS),

.'.MG=NH,

根據垂線段最短，當MGJ.CH時，MG最短，即”N最短,

止匕時48cH=gx60。=30°,

.,.MG=^CG=x4a=2a,

：.HN=2a.

???線段HN長度的最小值是2a.

故選：B.

4.如圖，拋物線y=a/+bx+c與%軸交于點火—i,o),頂點坐標(i,n),與y軸的交點在(0,2),(0,3)之間

(包含端點)，則下列結論：①3a+b<0；@-l<a<-|；③對于任意實數a(m2-l)+b(m-l)

W0總成立；④關于x的方程32+族+。=幾+1有兩個相等的實數根.其中結論正確的個數為()

【答案】C

【分析】本次主要考查了二次函數圖像與性質，準確的找出隱含的等量關系和利用數形結合的思想是解

題關鍵.根據拋物線圖像的性質得到a的范圍，根據對稱軸和“軸上的點可得到兩個等量關系，變形替換

從而可以判斷①②，根據頂點最高可得到③符合題意，由數形結合可得到④不符合題意.

【詳解】解：???拋物線的開口向下，

/.a<0,

???拋物線頂點坐標為(1,幾)，

???拋物線對稱軸為直線x=—*=1,

2a

?,力=—2a,

?e.3a+Z)=a<0,故①符合題意；

??力(—1,0)在拋物線上,

/.a—b+c=0,

??.3a+c=0,

.,.c=-3a,

???與軸的交點在(0,2),(0,3),之間包含端點,

.-.2<c<3,

.-.2<—3a<3,

-l<a<-|,故②符合題意；

?頂點坐標(1,幾)，拋物線開口向下,

.??當％=1時，y有最大值，最大值為九，

???對于任意實數m,a+b+c>am2+bm+c,

.,.a+b>am2+bzn,

???a(m2—1)+b(m—1)<0,故③符合題意；

??,頂點坐標(1刀)，且開口向下，

???直線y=九+1與拋物線y=ax2+bx+c沒有交點，

???關于式的方程a/+b%+。=幾+1沒有實數根，故④不符合題意.

故選：C.

5.已知一次函數y=kr+3(kW0),當/c〈工〈7n時，a<y<b,若a+b的最小值為2,則加的值為

()

A.±2B.2C.±4D.4

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數性質是解答本題的關鍵.先分析k>0和kVO

時導出a+b=Mn+々2+6,根據最小值可得Mn+N最小值為一4,通過配方得到y=/cm+/=

12]

(/c+-m)--m2,再根據々%<m確定根的取值.

【詳解】解：當k>。時，x=k,y=fcx+3=fc2+3=a,當％=m,y=km+3=b,

?,?a+b=km+k2+6,

當k<0時，x=k,y=kx+3=fc2+3=h,當％=m,y=km+3=a,

???a+b=km+k2+6,

,??a+b的最小值為2,

???km+/最小值為一4,

]2]

???y=km+fc2=(fc+-m)--m2,

當々=—如時，y取得最小值一4,即一刎2=一4,

???m=±4,

由題意知所以々式血，

當zn=-4時，k=2,fc>m,不符合題意舍去，

當771=4時，k=—2,滿足題意，

故選：D

6.如圖，在△力BC中，AB=AC,ABAC=120°,。為BC的中點，將△ABC繞點。順時針旋轉得到

△DEF,D、￡分別在邊4C和C4的延長線上，連接CF,若4。=3,則△。尸C的面積是（）

A.1V3B.C.|V3D.我

【答案】D

【分析】根據等腰三角形的性質可得=90。,40"=30。.根據旋轉的性質可得。4=OD,OC=OF,

則可得△40D和△COF都是等邊三角形，則4。=。。=力。=3,則可得CD=3,由此得OF垂直平分

0C,

,在Rtaaoc中求出0C的長，則可知CF、的長，進而可得”尸的長，從而可求得ACOF的面積.

【詳解】連接。4,OD,

???AB=AC,乙BAC=120°,

:/B=乙ACB=30°,

■■-O為BC的中點，

1

/-AOC=90°,Z.OAC=^BAC=60°,

AO=|XC,

?.?將△力BC繞點。順時針旋轉得到△DEF,

OA=OD,OC=OF,

.?.△NOD是等邊三角形，

AO=OD=AD=3,

AC—2AO—6,

CD=3,

???OD—CD,

??.D點在。c的垂直平分線上，

?.?△20。是等邊三角形，

???Z-AOD=60°,

即旋轉角為60。,

"OF=60°,

??.△COF是等邊三角形，

-,OF=CF,

??/點在OC的垂直平分線上，

DF垂直平分OC,

設垂足為H,

???。。=7AC2-2。2=462—32=3V3,

???CF=OF=3V3,HC=1OC=竽，

HF=MF2—HC2=J(3V3)2-(竽：=I，

SA0FC=|0C-HF=1x3V3x1=竽

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質、等邊三角形的判定和性質、旋轉的性質、線段垂直平分線的判定和

性質以及勾股定理.熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

7.如圖，在口/lBCD中，AB=4,ZB=6O°,BC=3,E為4B上一點，且BE=1,F為BC邊上的一個動點,

連接EF,將其繞點E逆時針旋轉30。至直線EG,使得NEGF=120°,連接4G,貝|4G的最小值為（）

A.竽B.2

【答案】B

【分析】根據N&8C=60。，NEGF=12。°得至此EGF+48=180°,從而得到E、B、F、G四點共圓，結合

￡.EGF=120°,^GEF=30°,得至iJ4GFE=30。，繼而得到GF=GE,得至U/EBG=4F8G=30。，故BG

平分乙4BC,作AM1BG于點M,根據垂線段最短原理，得到當G與河重合時，最短，結合力8=4,根

據AM=/Bsin30。=2,解答即可.

【詳解】??2ZBC=60。，^EGF=120°,

??ZEGF+/B=18O。，

.?方、B、F、G四點共圓,

-Z.EGF=120°,Z.GEF=30°,

：.Z.GFE=30°,

..Z.GFE=Z.GEF,

：.GF=GE,

:ZEBG=乙FBG=30°,

.?.BG平分乙4BC,

作/MlBG于點M,根據垂線段最短原理，得到當G與〃重合時，最短，

'：AB—4,

.-.AM=^AB=2,

故選B.

【點睛】本題考查旋轉的性質，對角互補的四邊形內接于圓，垂線段最短，直角三角形的有關計算等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，判定四點共圓是解決問題的關鍵.

8.已知二次函數y=a/-2。X+4（其中x是自變量），當0V%<3時對應的函數值歹均為正數，則Q的

取值范圍為（）

A.0<a<4B.

、4、

C.—4<a<0或0Va<4D.—-<a<0或0<a<4

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數的性質，拋物線與X軸的交點，熟練掌握二

次函數的性質是解題的關鍵.

首先根據題意求出對稱軸，然后分兩種情況：&>0和。<0,分別根據二次函數的性質求解即可.

【詳解】?.,二次函數y=ax?—2<2比+4,

對稱軸x=—?=1,

當a>0時

???當0<%<3時對應的函數值均為正數，

??.此時拋物線與x軸沒有交點，

.??△=(—2a)2—4ax4<0,

解得。<a<4；

當a<0時，y—ax2—2ax+4=a(x—I)2—a+4

???當0<%V3時對應的函數值均為正數，

???當久=0時，y=4>0,

當％=1時，y=—a+4>0,

當％=3時，y=3a+4>0,

解得a>-p

-^<a<0；

綜上所述：a的取值范圍為一gWa<0或0Va<4.

故選：D.

9.已知拋物線y=a/+8%與丫=+"的交點為力，與x軸的交點分別為5,。，點B,。的橫坐標

分別為％1，久2，%3，且％1%2%3W。-若a+bvo,a+2b>0,則下列說法正確的是()

XX

A.%2<%3V1B.%3V%2V1c.x2<<%3D.%3<<X2

【答案】C

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，以及不等式性質，根據題意得到b>0,a<0,再聯立函數

解析式表示出不，％2,%3,利用不等式性質，比較其大小，即可解題.

【詳解】解：a+Z)<0,a+2b>0,

b>0,a<0,

拋物線y=ax2+2?%與y=bx2+a%的交點為4,

???ax2+bxy=bx2+ax,

整理得(a_/7)%?(%-1)=0,

解得久i=1或%i=0,

%I%2%3H0,

?，?=1，

拋物線y=ax2+bx與y=bx2+ax,與x軸的交點分別為B,C,

???ax2+bx=0,可得%2=-—'bx2+ax=0,可得%3=一今

a+h<0,

?

??—a-<b1,-T>L

?,?gV%1V%3，

故選：c.

10.已知拋物線y=a尤2-2尤一3a的圖象上有三點4(尤1,月)，B(x2,y2),C(0,-3),其中打<一1<冷<3,

則下列說法錯誤的是()

A.拋物線的頂點坐標為(1,一4)

B.yi>y2

C.關于x的一元二次方程a/—2%—3a—zn=。(m>0)的兩解為X3,x4,則均<—1<3<肛

1Q

D.方程|a%2-2%-3可=-%+b有3個根，貝必=一彳

【答案】D

【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，二次函數的平移，函數與坐標軸的交點.

把點。的坐標代入y=a/—2%—3a中，求出拋物線解析式即可得到拋物線的頂點坐標，判斷A選

項.根據拋物線y=CLX2-2%-3Q與X軸的交點坐標即可判斷B選項.方程a為2—2x—3a-m=0的解，

是拋物線y=a/—2%—3a先下平移冽個單位長度后，與x軸的交點的橫坐標，根據拋物線平移的性質

即可判斷C選項.畫出函數y=—2%—3|的圖象，根據數形結合的思想即可判斷D選項.

【詳解】??,拋物線y=ax2—2%—3a過點C(0,—3),

-3a=-3,解得a=1,

???拋物線為y=x2—2x—3,即y=(x—l)2—4,

???拋物線的頂點坐標為(1,一4).故A選項正確；

把y=0代入函數y=x2—2x—3中，得%2—2%—3=0,

解得汽=—1或％=3,

??.拋物線y=%2_2x-3與X軸的交點為(TO),(3,0),

,??拋物線y=%2一2%-3的開口向上，

且拋物線上的兩點/(巧)1),8(理,及)中，%i<-1<%2<3

???yi>72-故B選項正確；

將拋物線y=%2—2%—3向下平移m個單位長度，得到y=%2—2x—3—m,

該拋物線與x軸的一個交點在點(一1,0)的左側，另一交點在店(3,0)的右側，

?,?關于工的一元二次方程—2%—3a—771=。(m>0)的兩解為％3，%4，滿足久3<—1V3<仙，故

C選項正確.

?方程|口%2—2x—3al=—x+，有3個根，

?,?函數y=I%2-2%—3|的圖象與直線y=—％+b有3個交點，

?函數y=|%2一2%—3|的圖象與X軸的交點為(一1,0),(3,0),

如圖，當直線y=—％+b經過點(3,0)時，直線y=—%+b與函數y=1/一2%一3|的圖象有3個交點，

即

此時把點(3,0)代入函數y=—％+b中，得到0=-3+h,

解得b=3,

當一1<%<3時，y=|%2一2%一3|=一(%2_2%-3)=-%2+2%+3

如圖，當直線y=—%+b與函數y=—x2+2%+3只有一個交點時,直線y=—%+b與函數y=

—2%—3|的圖象有3個交點

??.對于方程|a%2—2x—3a\=—x+b可化為一x2+2%+3=—x+b,即一x2+3%+3—b=0,

...△=32—4x(—1)x(3—b)=0,

解得b=

綜上所述，6=3或6=2.故D選項錯誤.

故選：D

-1

11.如圖，在正方形4BCD中，點A,C的坐標分別是（1,2）,（—1,一2）,點B在拋物線丫=一^必+以+^:的

圖象上，貝M+c的值是（）

【答案】D

【分析】本題考查了正方形的性質，余角性質，全等三角形的判定和性質，二次函數的圖象和性質，

作MNlx軸，力用1“可于“，BN1.MN于N,證明△AMB三△BNC（AAS）得到CN=BM,BN=AM,

設B（7n,n）,可得方程組｛七（工）鼠匚,解方程組得到B（2,—1）,代入二次函數解析式得

2b+c=l,又由拋物線經過原點得c=0,即可得到b再代入6+c計算即可求解，證明

△AMB=△BNC得到CN=BM,BN=4M是解題的關鍵.

【詳解】解：作MNlx軸，4"1時即于用，BNLMN于N,乙AMB=4BNC=9。°,

?.?四邊形48CD為正方形，

；/ABC=90°,AB=BC,

+乙CBN=90°,

■：^ABM+乙BAM=90°,

■,ABAM=乙CBN,

-/-AMB=(BNC=90°,

△AMB=△BNC(AAS),

，CN=BM,BN=AM,

設B(772,71),

???點4C的坐標分別是(1,2),(-1,-2),

Cm—(—1)=2—n

■*tn—(—2)=m—1"

2

解得｛憶r

??,8(2,—1),

???點B在拋物線y=—1x2+bx+c的圖象上,

|x22+2b+c=—1,

???2b+c=1,

???拋物線經過原點(0,0),

???c=0,

.?.2b+0=1,

■-b+c=1+0=I，

故選：D.

二、填空題

12.如圖，。是△ABC內的點，AB=AC,ABAC=90°,^BOC=130°,將△AOB繞點/按逆時針方向旋

轉90。，得到△力DC,連接0D.設立4。8為a,當△COD為等腰三角形時，a為.

【答案】85°或115°或145°

【分析】此題重點考查旋轉的性質、等腰三角形的性質，由AB=4C,ABAC=90°,得

^ABC+/-ACB=90°,由48。。=130。，^AOB=a,求得N08C+Z_OCB=50。，a=230°-zXOC,

則NAB。+AACO=40°,由旋轉得NACD=AABO,AD=AO,AOAD=90°,則NOCD=40°,zXOD=45°,

再分三種情況討論，一是當OC=。。時，可求得NC。。=100。，則乙4。。=145°,求得a=85。；二是

當。C=DC時，貝lUCOD=NCD。=70。，AAOC=115°,求得a=115。；三是當。。=DC時，貝IJ

ZCOD=AOCD=40°,則乙4。。=85。，求得a=145。，于是得到問題的答案，利用數形結合與分類討

論數學思想的運用等知識與方法，正確地求得NOCD=40。是解題的關鍵.

【詳解】解：AB=AC,LBAC=90°,

.-.AABC+AACB=90°,

"BO+/.OBC+/.OCB+/.ACO=90°,

Z.BOC=130°,Z.AOB=a,

.-./.OBC+/.OCB=180°-ZBOC=50°,a=360°-乙BOC-/.AOC=230°-/.AOC,

.?ZB。+^ACO=90°-QLOBC+乙OCB)=40°,

由旋轉得乙4CD=4ABO,AD=AO,/.OAD=90°,

???^OCD=^ACD+〃C。=^ABO+^ACO=40°,^AOD=NAD。=45°,

當△C。。為等腰三角形，且0c=。口時，貝IJNODC=ZOCD=40°,

ZCOO=180°-乙ODC-乙OCD=100°,

/-AOC=/.AOD+乙COD=145°,

.-.a=230°-145°=85°；

-1

當△COD為等腰三角形，且OC=DC時，則NC。。=△。。。=5x(180。-40。)=70。，

???Z-AOC=/-AOD+(COD=115°,

???a=230。-115。=115。；

當△COD為等腰三角形，且DO=DC時，則乙。。。=4。。。=40。，

???AAOC=Z.AOD+乙COD=85°,

???a=230°-85°=145°,

綜上所述，a=85。或a=115。或a=145°,

故答案為：85。或115。或145。.

13.圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖,碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬CD=12cm,此時

面湯最大深度EG=8cm.

FB

圖1

（1）當面湯的深度ET為4cm時,湯面的直徑PQ長為

（2）如圖3,把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當N2BM=45。時停止，此時碗中液面寬度=

【答案】6V2-yV2

【分析】（1）設點E的坐標為（0,c）,則拋物線的表達式為y=aX2+c則點c的坐標為：（6,8+c）,點

QQ,4+c）再用待定系數法即可求解;

（2）確定直線的表達式為y=x—6+8+c=x+2+c,求出/+K2=：，打冷=—9進而求解;

本題考查了二次函數，一次函數以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待

定系數法求解析式是解題的關鍵.

【詳解】（1）以F為原點，直線為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標系，如圖:

設點E的坐標為：（0,c）,則拋物線的表達式為y=。必+以

則點C的坐標為（6,8+c）,點QQ,4+c）,

{_2

X—DV乙

即拋物線的表達式為：y=設2+c①，

.'.PQ=2XQ=6V2,

故答案為：6VL

（2）將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當N&BK=45。時停止,

???所以旋轉前CH與水平方向的夾角為45。，

設直線CH的解析式為y-x+b,

將點C的坐標代入上式的：直線CH的表達式為：y=x-6+8+c=x+2+c@,

聯立①②并整理得：2/—9x—18=0,

9

則+X2=-,%1%2=-9,

2

則01-%2)=(久1+%2)2-4%IX2=等,

貝!)|無1-久21=V'

由C”的表達式知，其和X軸的夾角為45。，貝1］。//=四|打一冷|=會反，

故答案為：^V2.

14.在一副三角尺中NBP4=45°,乙CPD=60°,NB=NC=90°,將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD

與量角器的0°刻度線重合，邊4P與量角器的180。刻度線重合.將三角尺PCD繞點尸以每秒3。速度逆時

針旋轉，同時三角尺4BP繞點尸以每秒2。的速度順時針旋轉，當三角尺PCD的PC邊與180。刻度線重合

時兩塊三角尺都停止運動，則當運動時間t=秒時，CD與三角尺4BP的一邊平行.

【答案】6或15或33

【分析】本題考查了平行線的性質，旋轉的知識，解題關鍵把所有的情況都分析出來，注意結果是否

符合題意，這也是學生很容易忽略的地方.

①當2PIICD時，②當2B||CD時，③當BP||CD時，分三種情況分別討論.

【詳解】①I當4PIICD時，AAPD+ZD=180°,

???ZD=30°,

.-?^LAPD=150°,

.-,180°-5t=150°,

At=6.

n當/Pile。時，Z,C+/.APC=180°,

???乙4PC=90°,

A^APD=30°=5t-180°,

??.t=42>40（舍去）

②當AB||CD時，

???t=15.

③當BP||CD時,

???ZC+乙BPC=180。,4c=90。,44PB=45°,

??.Z.APC=45°,

???41=2t—45°Z1=180°-60°-33

180°-60°-3t=21—45。，

解得t=33；

綜上所述，當運動時間t=6或15或33秒時，CD與三角尺的一邊平行.

15.如圖，菱形ABC。中，48=9,乙4BC=60。，點E在48邊上，且BE=24E,動點P在BC邊上，連接

PE,將線段PE繞點P順時針旋轉60。至線段PF,連接四，則線段/廠長的最小值為.

【答案】3V3

【分析】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質等知識，在上取一點

G,使得=連接EG,EF,作直線FG交4）于T,過點/作J.GF于從證明NBGF=120。，推

出點F在射線GF上運動，根據垂線段最短可知，當點F與H重合時，4尸的值最小，求出AH即可.

【詳解】在BC上取一點G,使得=連接EG,EF,作直線FG交/。于T,過點A作/”1GF于H.

??.△BEG是等邊三角形，

??.EB=EG,乙BEG=乙BGE=60°,

???PE=PF,AEPF=60°,

??.△EPF是等邊三角形，

/.A.PEF=60°,EF=EP,

Z.BEG=Z.PEF,

."BEP=乙GEF,

??.△BEP=△GEF,

:.乙EGF=CB=60°,

???Z-BGF=120°,

???點F在射線GF上運動，

根據垂線段最短可知，當點尸與“重合時，ZF的值最小,

vAB=9,BE=2AE,

BE=6,AE—3,

???乙BEG=乙EGF=60°,

???GTWAB,

???BGWAT,

???四邊形4BGT是平行四邊形，

.?.AT=BG=BE=6,/LATH=AB=60°,

：.TH=^AT=3,

???AH=yjAT2-TH2=3V3,

??.ZF的最小值為3g,

故答案為：3V3.

22

16.如果m、九是兩個不相等的實數，m—m=3,n—n=3,那么代數式2層—)7m+2Tn+2021.

【答案】2032

【分析】此題考查一元二次方程根與系數的關系，代數式求值.熟練運用一元二次方程根的定義和根

與系數的關系，把代數式化成已知式子形式及兩根和、積的形式，是解此題的關鍵.

由題意得冽，〃是%2—%—3=0的兩個不相等的實數根，則根據根的定義和根與系數的關系可知：2層

—2n—6,m+n=1,mn——3,變形2幾2—77m+2m+2021,為2層一2幾一nm+2m+2九+2021,

代入求解即可.

【詳解】丁旭九是兩個不相等的實數，且滿足血2一根=3,n2-n=3,

???nm是方程式2—%—3=0的兩根，

???2n2—2n=6,m+n=1,mn=—3,

???2n2—mn+2m+2021

=2n2—2n—mn+2m+2n+2021

=6+3+2+2021

=2032.

故答案為：2032.

17.如圖，點O是矩形ZBCD的對稱中心，點P,。分別在邊/D,上，且PQ經過點。，AB=6,AP=3

,BC=8,點E是邊上一動點.則△EPQ周長的最小值為.

【答案】10+2國

【分析】本題主要考查了線段和最小值中典型的''將軍飲馬型〃，矩形的性質，勾股定理等，找到取得最

小值的條件，掌握典型問題的解法是解題的關鍵.

作尸關于4B的對稱點P,連接PQ,交AB于E,連接PE,貝iJPE+QE的最小值為PQ,證明出周

長的最小值為PQ+PQ,作P/1BC于RPH1.BC于H,利用勾股定理求出PQ和PQ即可.

【詳解】解：如圖，作尸關于AB的對稱點P,連接PQ,交AB于E,連接PE,

：.P'E=PE,

.?.PE+QE的最小值為PQ,

??.△EPQ周長的最小值為PQ+PQ,

作PF1BC于RPH工BC于

-AP=3,

：.P'A=3=FB,

???點O是矩形ABC。的對稱中心，PQ經過點O,

：,AP=CQ=3,

：BC=8,

:.BQ—5,

：.FQ=8,

'：P'F=AB=6,

；PQ=10,

???PH=AB=6f”Q=5—3=2,

：PQ—2V1U,

△EPQ周長的最小值為10+2V10.

故答案為：10+2V10.

18.在△ABC中，ZXBC=90°,AB=BC.將△ABC繞點力順時針旋轉a（0。＜a＜180。）,直線CB與直

線DE交于點、F,點、B,尸間的距離記為BF,點E,F間的距離記為EF.給出下面四個結論：①BF的值一

直變大；②EF的值先變小再變大；③當0。＜戊＜90。時，BF—EF的值保持不變；④當

90°＜a＜180°,BF—EF的值保持不變；上述結論中，所有正確結論的序號是.

【答案】①②④

【分析】本題考查了圖形旋轉，全等三角形的判定和性質，當0。＜。＜180。時，BF的值由0會逐漸變

大，可判斷①；而當a=90。時，EF=0可知EF的值先變小再變大，可判斷②；當90。＜a＜180。時,

在FC上取點G,使FG=FE,連接AG,AF,證明Rt△力BF三Rt△力DF(HL),有BF=DF,知

BF-EFDF-EF=DE,可判斷③錯誤，④正確；掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：當0。＜。＜180。時，BF的值一直變大，故①正確；

當0。＜戊＜90。時，EF的值逐步變小；當a=90。時，EF=0；當90。＜a＜180。時，EF的值逐步變大,

故②正確；

當0。＜戊＜90。時，連接4F,如圖1,

由題意得，^ABF=^ADF=90°,AB=AD,DE=BC,

在Rt△48尸和Rt△4。尸中,

(AF=AF

IAB=AD'

.-.Rt△ABF三Rt△4DF(HL),

：.BF=DF,

：.BF+EF=DF+EF=DE,

；.BF+EF的值保持不變，故③錯誤；

當90。＜戊＜180。時，在FC上取點G,使FG=FE,連接4G,AF,如圖2,

由題意得，/-ABF=Z.ADF=90°,AB=AD,DE=BC,

在Rt△4BF和Rt△4DF中，

(AF=AF

\AB=AD'

.-.Rt△ABF=Rt△ADF(HL),

：.BF=DF,

：.BF—EF=DF-EF=DE,

???BF—EF的值保持不變，故④正確;

???正確的有①②④，

故答案為：①②④.

19.已知關于x,y的二元一次方程組｛jf：2彳三1,"為實數）

①當久與y互為相反數時，fc=2；

②6x-y的值與k無關；

③若8巴4>=32,則解為k=3；

④若優"=x,陵=%且a2m-ra=l（a力0）,貝ijx=2或久=4.

以上說法正確的是（填寫序號）.

【答案】②③④

【分析】①先根據相反數的定義得出尤=—乃代入二元一次方程組，解方程組即可判斷①不正確；②

根據方程組求出6x—y=8,即可判斷②正確；③根據同底數幕的乘法、幕的乘方與積的乘方得出

3x+2y=5,根據方程組求出3x+2y=3k—4,即可列出方程3k—4=5,解方程求出k的值，即可

判斷③正確；④根據同底數幕的除法與塞的乘方得出y=N,根據方程組求出k=5%—4,即可得出

方程/-6%+8=0,解方程求出x的值即可判斷④正確.

【詳解】解:①若x與y互為相反數時，則x=_y,

將其代入二元一次方程組｛：）：2；4得：匕氏北2\，

（k=—?

解得：_3,故①不正確；

X——

7

②由題可知：4%+y+5（x-y）=2fc+2（4-fc）,

可得：6x—y=8,

??.6%—y的值與左無關，故②正確；

③???8%.4y=32,

,瘠.26y=25.

.*.3%+2y=5,

由題可知：4x+y—x+y=2/c—4+fc,

即3%+2y=3fc—4,

可得；3fc-4=5,

解得：k=3,故③正確；

(4)vam=x,an=y,且十加一九=耳口工。),

.-.a2m-n=(am)2+屋=1,

x2-r-y=1,

即y=%2,

由題可知：4%+y+(x-y)=2fc+(4-fc),

即一=5%—4,

將y=%2,k=5%—4代入4%+y=2k得出方程：x2—6%+8=0,

解得：%=2或%=4,故④正確，

綜上，正確的有②③④，

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查了相反數的定義，同底數第的乘法，同底數累的除法，累的乘方，積的乘方，解二

元一次方程組，解一元二次方程，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵.

20.拋物線y=a/+bx+c(a40,c<0)經過(1,1)，(n,0)三點，且nN3.下列四個結論：

①b<0；

②4ac—b2<4a；

③關于x的一元二次方程。爐+以+c-%一定有解；

④當n=3時，若點(2,t)在該拋物線上，則t>1.

其中正確的是(填寫序號).

【答案】②③④

【分析】①根據圖象經過(1,1),c<0,且拋物線與與軸的一個交點一定在(3,0)或(3,0)的右側，判斷出

拋物線的開口向下，即a<0,再把(1,1)代=a久2+陵+。得q+。=1,即可判斷①錯誤；

②先得出拋物線的對稱軸在直線％=1.5的右側，得出拋物線的頂點在點(1,1)的右側，得出寫聲>1,

根據4a<0,利用不等式的性質即可得出4ac—扭<4a；即可判斷②正確；

③根據方程a/+以+c=久可得a/+(匕_i)x+c=0,得出△=(b—l)2—4ac=0,由

a+b+c=l,即b-i=-a-c,根據根與系數的關系得出77m=(=1,即。=c,即可判斷③正確.

④先得出拋物線對稱軸在直線X=1.5的右側，得出(1,1)到對稱軸的距離大于(2,t)到對稱軸的距離，根

據a<0,拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸拔近的函數值越大，即判斷④正確.

【詳解】解：①圖象經過(1,1),c<0,即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則

拋物線與x軸的交點都在(1,0)的左側，

??,(71,0)中九>3,

???拋物線與久軸的一個交點一定在(3,0)或(3,0)的右側，

???拋物線的開口一定向下，即QV0,

把(1,1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1,

即b=1—a—c=1—(a+c),

a<0,c<0,

???a+c<0,

.?.b>0,故①錯誤；

@a<0,b>0,c<0,

c

：?一>0

a

???方程a/+bx+c=。的兩個根的積大于0,即nm>0,

vn>3,

m>0,

m+ny-

>1.5,

即拋物線的對稱軸在直線x=1.5的右側，

???拋物線的頂點在(1,1)上方或右上方，

???吟聲>1,故②正確；

③由原方程可得：ax2+(/)-l)%+c=0,

.??A=(力一I)2—4ac,

???a+b+c=1,

b—1=-a—c,

A=(b—l)2—4ac=(—a—c)2—4ac=a2—2ac+c2=(a—c)2>0,

故關于x的一元二次方程a/+力％+c=%一定有解，故③正確；

(4)m>0,

m+n.1

當n=3時,—>1.5

場物線對稱軸在直線x=1.5的右側，

(1,1)到對稱軸的距離大于(2,t)到對稱軸的距離，

???a<0,拋物線開口向下，

距離拋物線越近的函數值越大，

???O1,故④正確；

故答案為：②③④.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數法，數形結合

法，拋物線與軸的交點，二次函數與一元二次方程的聯系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二

次函數的性質和二次函數與一元二次方程的聯系是解題的關鍵.

21.如圖，力B為。。的直徑，AD,8c分別與。。相切于點4B,CD經過O。上一點E,AD=DE,若

AB=12,BC=4,貝必。的長為.

【答案】9

【分析】連接OE,OD,過點C作CH14O,垂足為點H,根據題意可得乙。4。=90。，根據全等三角形

的判定和性質可得NOED=LOAD=90。，根據切線的判定定理即可證明CD是。。的切線，根據切線的

性質以及矩形的判定和性質可得CH=AB=12,4H=BC=4,得出=—4,根據切線長定理可

得CE=BC=4,AD=DE,

得出CD=4D+4,根據勾股定理即可求得2D的長.

【詳解】解：如圖：連接。￡OD,過點C作CH12D,垂足為點H,

,?,40是。。的切線,

■.OALAD,

'.^OAD=90°,

在△Z。。和△E。。中，

(AD=DE

\DO=DO,

WA=OE

三△EDO(SSS),

：.Z-OED=LOAD=90°,

??.OE1CD,

???OE是。。的半徑，

??.CD是。。的切線，

???8C是O。的切線，

.OB1BC,

■：CH1AD,OBIBC,OA1AD,

即NOBC=/.BAH="HA=90°,

四邊形/M8C是矩形，

.-.CH=AB=12,AH=