2025高考數學二輪復習

概率與數列概率統計與數列的交匯涉及的知識廣泛,內涵豐富,是近年來高考命題的熱點,主要有以下類型:(1)求數列的通項公式;(2)證明數列是等比數列或等差數列;(3)與數列求和相結合;(4)利用等差數列、等比數列的性質,研究單調性、最值等.角度一概率與數列的證明、通項公式問題例1甲、乙兩口袋中各裝有1個黑球和2個白球,現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復進行n(n∈N*)次這樣的操作,記第n次操作后,口袋甲中黑球的個數為Xn,恰有1個黑球的概率為pn.(1)求p1,p2的值;(2)證明:是等比數列,并求pn的值(用n表示);(3)證明:Xn的數學期望E(Xn)為定值.(1)解

設第n次操作后,口袋甲中恰有2個黑球的概率為qn,則恰有0個黑球的概率為1-pn-qn.所以Xn的分布列為

[對點訓練1](2024山東聊城一模)如圖,一個正三角形被分成9個全等的三角形區域,分別記作A,B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q,C3.一個機器人從區域P出發,每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域(有公共邊的區域),且到不同相鄰區域的概率相等.(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域;(2)求經過2秒機器人位于區域Q的概率;(3)求經過n秒機器人位于區域Q的概率.解

(1)經過2秒機器人可能位于的區域為P,Q1,Q,經過3秒機器人可能位于的區域為A,B1,B2,C1,C2,C3.(2)若經過2秒機器人位于區域Q,則經過1秒時,機器人必定位于區域B2,(3)機器人的運動路徑為P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…,設經過n秒機器人位于區域Q的概率為Pn,則當n為奇數時,Pn=0.當n為偶數時,由對稱性可知,經過n秒機器人位于區域Q的概率與位于區域Q1的概率相等,均為Pn,故經過n秒機器人位于區域P的概率為1-2Pn.角度二概率與數列的求和問題例2為調查某地景區的客流量情況,現對某一時間段A景區的部分游客作問卷調查,經統計,其中75%的游客計劃只游覽A景區,另外25%的游客計劃既游覽A景區又游覽B景區.為提高游客的旅游熱情,景區將為游客發放文旅紀念品,每位游客若只游覽A景區,則得到1份文旅紀念品;若既游覽A景區又游覽B景區,則獲得2份文旅紀念品.假設每位游客游覽A景區與是否游覽B景區是相互獨立的,用頻率估計概率.(1)從A景區的游客中隨機抽取3人,記這3人獲得文旅紀念品的總個數為X,求X的分布列及數學期望;(2)從A景區的游客中隨機抽取n人,記這n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為n+1個的概率為an,求{an}的前n項和Sn;(3)從A景區的游客中隨機抽取100人,這些游客得到紀念品的總個數恰為m個的概率為bm,當bm取最大值時,求m的值.所以X的分布列為

[對點訓練2]某公司開發了一款學習類的闖關益智游戲,每一關的難度分別有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三級,并且下一關的難度與上一關的難度有關,若上一關的難度是Ⅰ或者Ⅱ,則下一關的難度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為,若上一關的難度是Ⅲ,則下一關的難度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為,已知第1關的難度為Ⅰ.(1)求第3關的難度為Ⅲ的概率;(2)用Pn表示第n關的難度為Ⅲ的概率,求Pn;(3)設