計算方法最佳一致逼近多項式切比雪夫多項式演示文稿第一頁，共四十七頁。內容函數逼近的基本概念切比雪夫多項式最佳一致逼近多項式切比雪夫多項式在函數逼近中的應用利用切比雪夫多項式的0點構造最佳逼近多項式的例子第二頁，共四十七頁。函數逼近的基本概念第三頁，共四十七頁。§1函數逼近的基本概念第3章函數逼近與曲線擬合一、函數逼近與函數空間實際應用需要使用簡單函數逼近已知復雜函數。BA第四頁，共四十七頁。第十九頁，共四十七頁。第十五頁，共四十七頁。第3章函數逼近與曲線擬合第十七頁，共四十七頁。第三十八頁，共四十七頁。f[x0,x1,x2]第三十九頁，共四十七頁。接近-1和1的地方越密。f[xi,xi+1,xi+2]第十四頁，共四十七頁。第十五頁，共四十七頁。第十五頁，共四十七頁。過這些0點作平行于y軸的直線，這些直線與上半單位元的交點形成了一個關于圓弧的等距的點的集合。三、切比雪夫多項式在函數逼近中的應用第三十四頁，共四十七頁。定理1具有重要的理論意義；Bernstan多項式收斂到f(x)較慢，不常用。第五頁，共四十七頁。xyy=L(x)一致逼近的幾何意義Home第六頁，共四十七頁。三、切比雪夫多項式在函數逼近中的應用第三十四頁，共四十七頁。f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]第三十三頁，共四十七頁。課堂練習：推出T4(x)第十一頁，共四十七頁。對某函數f(x)?C[a,b]，若存在P*(x)?Hn，使得||f-P*||∞<=||f-P||∞,P(x)?Hn，則稱P*(x)一致地最佳逼近f(x).利用切比雪夫多項式的0點構造最佳逼近多項式的例子第十五頁，共四十七頁。n次多項式這說明，在區間[0,1]上使用多項式L4(x)逼近ex的絕對值誤差非常小，避免了龍格現象。而上式成立的充分必要條件是x0,x1,…xn是切比雪夫多項式的0點。第十五頁，共四十七頁。第四十四頁，共四十七頁。最佳逼近拉格朗日插值多項式的構造步驟切比雪夫多項式第七頁，共四十七頁。由三角表達式定義的多項式切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。切比雪夫(Chebyshev)多項式切比雪夫多項式的0點可以用于構造具有最佳一致逼近性質的插值多項式。切比雪夫多項式的(簡單)定義：稱為切比雪夫多項式。(2.10)…第八頁，共四十七頁。課堂練習：推出T4(x)切比雪夫多項式的前幾項：切比雪夫多項式的表達式第九頁，共四十七頁。切比雪夫多項式的性質（1）基本遞推關系第十頁，共四十七頁。（2）正交性第十一頁，共四十七頁。當m≠n:當m=n≠0當m=n=0根據積化和差公式：第十二頁，共四十七頁。利用數學歸納法證明：（3）奇偶性第十三頁，共四十七頁。第十四頁，共四十七頁。（4）切比雪夫多項式的零點………第十五頁，共四十七頁。接近-1和1的地方越密。過這些0點作平行于y軸的直線，這些直線與上半單位元的交點形成了一個關于圓弧的等距的點的集合。圖為T11(x)的零點，一共有11個…第十六頁，共四十七頁。（5）切比雪夫多項式的極值點……第十七頁，共四十七頁。T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3個0值點，4個極值點1-11-1第十八頁，共四十七頁。總結：Tn(x)具有很好的性質。Tn(x)是n階多項式，具有n個0點，n+1個極值點；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次項，是奇函數，T2(x),T4(x),…只含x的偶次項，是偶函數。xyHome第十九頁，共四十七頁。最佳一致逼近多項式第二十頁，共四十七頁。§3最佳一致逼近多項式一、基本概念及其理論目的：求一個能夠按照絕對值逼近f(x)的最佳n次多項式不超過n次的實系數多項式的全體HnC[a,b]第二十一頁，共四十七頁。偏差的定義確定的Pn(x)對所有的Pn(x)?Hn第二十二頁，共四十七頁。第二十三頁，共四十七頁。最佳一致逼近多項式的存在性定理p(x)的系數{an}…………Home第二十四頁，共四十七頁。切比雪夫多項式在函數逼近中的應用第二十五頁，共四十七頁。三、切比雪夫多項式在函數逼近中的應用希望構造最高次冪xn系數為1的多項式：…第二十六頁，共四十七頁。三、切比雪夫多項式在函數逼近中的應用證明比較復雜，省略。這個定理的結論非常重要第二十七頁，共四十七頁。怎樣才能使得拉格朗日插值多項式成為最佳逼近？偏差估計…第二十八頁，共四十七頁。最佳一致逼近0的多項式而上式成立的充分必要條件是x0,x1,…xn是切比雪夫多項式的0點。………第二十九頁，共四十七頁。證明：…已知|Tn(x)|<=1第三十頁，共四十七頁。第三十一頁，共四十七頁。對任意區間[a,b]，不能直接使用定理7。例如：為將[0,1][-1,1]，可以令：則針對g(t)使用定理7第三十二頁，共四十七頁。最佳逼近拉格朗日插值多項式的構造步驟Home第三十三頁，共四十七頁。利用切比雪夫多項式的0點構造最佳逼近多項式的例子第三十四頁，共四十七頁。解：利用定理7，構造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多項式L4(x),并且估計誤差。第三十五頁，共四十七頁。01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477第三十六頁，共四十七頁。Lagrange插值多項式為經過比較復雜的計算，得：第三十七頁，共四十七頁。誤差估計：注意到變換x=?(t+1)這說明，在區間[0,1]上使用多項式L4(x)逼近ex

的絕對值誤差非常小，避免了龍格現象。T5(t)最高次冪系數為24第三十八頁，共四十七頁。01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477現在試圖用Newton插值多項式逼近第三十九頁，共四十七頁。xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]第四十頁，共四十七頁。xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696第四十一頁，共四十七頁。第四十二頁，共四十七頁。這個結果和使用拉格朗日插值法所得到的結果稍有誤差，由具體計算的小數點后位數引起。第四十三頁，共四十七頁。例5.求f(x)=1/(1+x2)

在[-5,5]上的10次最佳

一致逼近多項式L10(x),并且估計誤差。解：在[-1,1]上的切比雪夫多項式T11(x)的0點

為做變換x=5t,當t?[-1,1]的時候，x?[-5,5]第四十四頁，共四十七頁。xyy=L10(x)-55第四十五頁，共四十七頁。總結最佳逼近：設有函數類A，若存在函數類B?A。對函數f(x)?A，若存在函數φ*(x)?B，使得在某種范數下||f-φ*||<=||f-φ||,φ?B成立。HnC[a,b]特別地，取A=C[a,b]，B=