2025屆湖南省寧鄉一中高三第六次模擬考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．《九章算術》是我國古代數學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內切圓的直徑為多少步？”現從該三角形內隨機取一點，則此點取自內切圓的概率是（）A． B． C． D．4．設等差數列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．295．設正項等比數列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．26．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．7．已知函數，其中表示不超過的最大正整數，則下列結論正確的是（）A．的值域是 B．是奇函數C．是周期函數 D．是增函數8．（）A． B． C． D．9．已知實數滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知與分別為函數與函數的圖象上一點，則線段的最小值為()A． B． C． D．611．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．12．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.14．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．15．集合，，則_____.16．已知向量，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數，滿足？并說明理由.18．（12分）已知，均為正項數列，其前項和分別為，，且，，，當，時，，.（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前項和.19．（12分）已知，.（1）求函數的單調遞增區間；（2）的三個內角、、所對邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）討論的零點個數；（2）證明：當時，.21．（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數的取值范圍.22．（10分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網絡知識問卷調查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分服從正態分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表）.（1）請利用正態分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據以上數據估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.2、D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.3、C【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內切圓的面積，根據幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內切圓的半徑為，所以向次三角形內投擲豆子，則落在其內切圓內的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.5、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數列的性質的應用，屬于基礎題．6、D【解析】

構造函數，，利用導數分析出這兩個函數在區間上均為減函數，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結合函數的單調性推導出或，再利用余弦函數的單調性可得出結論.【詳解】構造函數，，則，，所以，函數、在區間上均為減函數，當時，則，；當時，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時，，由于函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，則，；③若，則，則，此時，由于函數在區間上單調遞減，函數在區間上單調遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查函數單調性的應用，構造新函數是解本題的關鍵，解題時要注意對的取值范圍進行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.7、C【解析】

根據表示不超過的最大正整數，可構建函數圖象，即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調性，進而下結論.【詳解】由表示不超過的最大正整數，其函數圖象為選項A，函數，故錯誤；選項B，函數為非奇非偶函數，故錯誤；選項C，函數是以1為周期的周期函數，故正確；選項D，函數在區間上是增函數，但在整個定義域范圍上不具備單調性，故錯誤.故選：C【點睛】本題考查對題干的理解，屬于函數新定義問題，可作出圖象分析性質，屬于較難題.8、D【解析】

利用，根據誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.9、A【解析】

所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形;(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.10、C【解析】

利用導數法和兩直線平行性質，將線段的最小值轉化成切點到直線距離.【詳解】已知與分別為函數與函數的圖象上一點，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設拋物線的切點為，則由可得，，所以切點為，則切點到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，以及點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想和計算能力.11、C【解析】

利用代入計算即可.【詳解】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.12、A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結果.【詳解】將三棱錐補成長方體，設，，，設三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據三棱錐對棱長相等將三棱錐補成長方體是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.14、【解析】

根據題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進而由雙曲線的幾何性質可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是分析a、b之間的關系，屬于基礎題．15、【解析】

分析出集合A為奇數構成的集合，即可求得交集.【詳解】因為表示為奇數，故.故答案為：【點睛】此題考查求集合的交集，根據已知集合求解，屬于簡單題.16、1【解析】

根據向量加法和減法的坐標運算,先分別求得與,再結合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因為即,化簡可得解得故答案為:【點睛】本題考查了向量坐標加法和減法的運算,向量模長的求法,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】

（1）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，，聯立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數的關系得，，，代入，，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，，即存在常數滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18、（1），（2）【解析】

（1），所，兩式相減，即可得到數列遞推關系求解通項公式，由，整理得，得到，即可求解通項公式；（2）由（1）可知，，即可求得數列的前項和.【詳解】（1）因為，所，兩式相減，整理得，當時，，解得，所以數列是首項和公比均為的等比數列，即，因為，整理得，又因為，所以，所以，即，因為，所以數列是以首項和公差均為1的等差數列，所以；（2）由（1）可知，，，即.【點睛】此題考查求數列的通項公式，以及數列求和，關鍵在于對題中所給關系合理變形，發現其中的關系，裂項求和作為一類常用的求和方法，需要在平常的學習中多做積累常見的裂項方式.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，然后解不等式，可求得函數的單調遞增區間；（2）由求得，利用余弦定理結合基本不等式求出的取值范圍，再結合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數的單調遞增區間為；（2）由題意，則，，，，解得.由余弦定理得，又，，當且僅當時取等號，所以，的面積.【點睛】本題考查正弦型函數單調區間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計算，涉及余弦定理和基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）求出，分別以當，，時，結合函數的單調性和最值判斷零點的個數.（2）令，結合導數求出；同理可求出滿足，從而可得，進而證明.【詳解】解析：（1），，當時，，單調遞減，，，此時有1個零點；當時，無零點；當時，由得，由得，∴在單調遞減，在單調遞增，∴在處取得最小值，若，則，此時沒有零點；若，則，此時有1個零點；若，則，，求導易得，此時在，上各有1個零點.綜上可得時，沒有零點，或時，有1個零點，時，有2個零點.（2）令，則，當時，；當時，，∴.令，則，當時，，當時，，∴，∴，，∴，即.【點睛】本題考查了導數判斷函數零點問題，考查了運用導數證明不等式問題，考查了分類的數學思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中，合理設出函數，通過比較最值證明.21、（1）；（2）【解析】

（1）將代入可得集合B，解對數不等式可得集合A，由并集運算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得的取值范圍.【詳解】（1）若，則，依題意，故；（2）因為，故；若，即時，，符合題意；若，即時，，解得；綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了集合的并集運算，由集合的包含關系求參數的取值范圍，注意討論集合是否為空集的情況，屬于基礎題.22、（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據正態分布的性質可求的值.（2）設某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數額.【詳解】（1）根據題中所給的統計表，結合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20