PAGE12-第五節橢圓最新考綱考情分析1.駕馭橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)．2．了解橢圓的簡潔應用．3．理解數形結合的思想.1.橢圓的定義、標準方程、幾何性質以及橢圓與其他學問綜合應用是近幾年高考命題的熱點．2．常與直線、向量、三角等學問交匯考查，考查學生分析問題、解決問題的實力．3．三種題型都有可能出現，選擇、填空題一般為中低檔題，解答題為高檔題.學問點一橢圓的定義平面內到兩定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．兩定點F1，F2集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a(1)當2a>|F1F2|時，M(2)當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是線段F1(3)當2a<|F1F2|時，學問點二橢圓的標準方程和幾何性質離心率表示橢圓的扁平程度．當e越接近于1時，c越接近于a，從而b＝eq\r(a2－c2)越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b＝eq\r(a2－c2)越大，因此橢圓越接近圓；當e＝0時，c＝0，a＝b，兩焦點重合，圖形就是圓．1．思索辨析推斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數的點的軌跡是橢圓．(×)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(√)(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(√)(5)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓．(×)(6)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)2．小題熱身(1)已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)解析：由題意得橢圓的標準方程為eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，所以a2＝eq\f(m,2)，b2＝eq\f(m,3)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(m,6)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，e＝eq\f(\r(3),3).(2)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則橢圓C的方程是(D)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝3，))故橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(3)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2eq\r(2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(4)若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是(3,4)∪(4,5)．解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3.))解得3<k<5且k≠4.(5)已知點M(－2,0)，N(2,0)，點P是曲線C：eq\f(x2,4)＋y2＝1(y≠0)上的動點，直線PM與PN的斜率之積為－eq\f(1,4).解析：設P(x0，y0)，因為點P在曲線C上，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1(y0≠0)，yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),4)，直線PM與PN的斜率之積為eq\f(y0－0,x0＋2)×eq\f(y0－0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝eq\f(1－\f(x\o\al(2,0),4),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(1,4).第1課時橢圓及其幾何性質考點一橢圓的定義及應用【例1】(1)(2024·昆明市診斷測試)已知F1，F2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為C的短軸的一個端點，直線BF1與C的另一個交點為A，若△BAF2為等腰三角形，則eq\f(|AF1|,|AF2|)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．3(2)(2024·鄭州市質量預料)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點為F1，F2，P為橢圓上一點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是()A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C．16eq\r(3) D．32eq\r(3)【解析】(1)如圖，不妨設點B在y軸的正半軸上，依據橢圓的定義，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由題意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝eq\f(a,2)，|AF2|＝eq\f(3a,2.).所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,3).故選A.(2)由橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦點為F1，F2知，|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10，在△F1PF2中，由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得(2c)2＝m2＋n2－2m·ncos60°，即4c2＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，解得mn＝eq\f(64,3)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(16\r(3),3).故選A.【答案】(1)A(2)A方法技巧1橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是利用定義求橢圓的標準方程；二是利用定義求焦點三角形的周長和面積、弦長、最值、離心率等.通常定義和余弦定理結合運用，求解關于焦點三角形的周長和面積問題.2橢圓的定義式|PF1|＋|PF2|＝2a中必需強調2a>|F11．已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且eq\o(PF1,\s\up16(→))⊥eq\o(PF2,\s\up16(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝3.解析：設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，∴b＝3.2．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是肯定點，則|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).解析：橢圓方程化為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，設F1是橢圓的右焦點，則F1(2,0)，∴|AF1|＝eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P，A，F1共線時等號成立)，∴6－eq\r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2).考點二橢圓的標準方程命題方向1定義法【例2】(2024·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】方法1：由題意設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2(eq\f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.方法2：設|F2B|＝x(x>0)，則|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由橢圓的定義知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1②由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2.所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.【答案】B命題方向2待定系數法【例3】(1)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓方程為________．(2)一個橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，焦點F1，F2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則橢圓方程為________．【解析】(1)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)∵橢圓的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，∴可設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(2，eq\r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又a2＝b2＋c2，∴a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(2)，∴橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.【答案】(1)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(2)eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1方法技巧(1)求橢圓的標準方程多采納定義法和待定系數法．(2)利用定義法求橢圓方程，要留意條件2a>|F1F2|；利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠1．(方向1)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由已知及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，即a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，b2＝2，所以C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.2．(方向2)設F1，F2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.解析：設點B的坐標為(x0，y0)．∵x2＋eq\f(y2,b2)＝1，∴F1(－eq\r(1－b2)，0)，F2(eq\r(1－b2)，0)．∵AF2⊥x軸，設點A在x軸上方，∴A(eq\r(1－b2)，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴eq\o(AF1,\s\up16(→))＝3eq\o(F1B,\s\up16(→))，∴(－2eq\r(1－b2)，－b2)＝3(x0＋eq\r(1－b2)，y0)．∴x0＝－eq\f(5,3)eq\r(1－b2)，y0＝－eq\f(b2,3).∴點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3))).將Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3)))代入x2＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝eq\f(2,3).∴橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.考點三橢圓的幾何性質命題方向1橢圓的長軸、短軸、焦距【例4】已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】因為橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因為焦距為4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】A命題方向2橢圓的離心率【例5】(2024·福建質檢)設橢圓E的兩焦點分別為F1，F2，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與E交于P，Q兩點．若△PF1F2為直角三角形，則A.eq\r(2)－1 B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)＋1【解析】不妨設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如圖所示，∵△PF1F2為直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.故選A.【答案】A命題方向3最值或范圍問題【例6】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸長是短軸長的eq\r(2)倍，且過點(2，eq\r(2))．(1)求橢圓的標準方程．(2)若△OAB的頂點A，B在橢圓上，OA所在的直線斜率為k1，OB所在的直線斜率為k2，若k1·k2＝－eq\f(b2,a2)，求eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))的最大值．【解】(1)由已知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2\r(2)b，,\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝2，))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨設x1>0，x2>0.由k1k2＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)得k2＝－eq\f(1,2k1)(k1≠0)，直線OA，OB的方程分別為y＝k1x，y＝k2x，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))解得x1＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k\o\al(2,1)))，同理，x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k\o\al(2,2)))，所以x2＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2k1)))2))＝eq\f(4|k1|,\r(1＋2k\o\al(2,1))).因為eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(1,2)x1x2＝eq\f(4\r(2)|k1|,1＋2k\o\al(2,1))＝eq\f(4\r(2),\f(1,|k1|)＋2|k1|)≤eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2，當且僅當|k1|＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立．所以eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))的最大值為2.方法技巧1.求橢圓離心率的方法1干脆求出a，c的值，利用離心率公式干脆求解.2列出含有a，b，c的齊次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程或不等式求解.2.在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最值時，常常用到橢圓標準方程中x，y的范圍、離心率的范圍等不等關系.1．(方向1)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(D)A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)解析：設a，b，c分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距，依題意知，當三角形的高為b時面積最大，所以eq\f(1,2)×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)(當且僅當b＝c＝1時取等號)，即長軸長2a的最小值為2eq\r(2).2．(方向2)(2024·河北省衡水市高三大聯考)已知橢圓O：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a>eq\r(3))的左、右焦點分別為F1，F2，過左焦點F1的直線l與橢圓的一個交點為M，右焦點F2關于直線l的對稱點為P，若△F1MP為正三角形，且其面積為eq\r(3)，則該橢圓的離心率為(C)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)解析：設正△F1MP的邊長為m，則eq\f(\r(3),4)m2＝eq\r(3)，∴m＝2.又由橢圓的定義可知|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4，∴2a＝4，解得a＝2，又由題可知b＝eq\r(3)，∴c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故選C.3．(方向2)(2024·豫南九校聯考)已知兩定點A(－1,0)和B(1,