PAGE1-3．3冪函數[目標]1.記住冪函數的定義，熟識α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1時冪函數的圖象及性質；2.記住冪函數的性質，并會用性質解決有關問題．[重點]冪函數的定義、圖象和性質．[難點]利用冪函數的性質解決有關問題．學問點一冪函數的概念[填一填]一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．[答一答]1．下列函數：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是冪函數嗎？提示：它們都不滿意冪函數的定義，所以都不是冪函數．學問點二冪函數的圖象[填一填]五種常見冪函數的圖象冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的圖象如下圖．[答一答]2．冪函數y＝xα的圖象在第一象限內有何特征？提示：(1)α>1，圖象過點(0,0)，(1,1)，下凸遞增，如y＝x2.(2)0<α<1，圖象過點(0,0)，(1,1)，上凸遞增，如y＝.(3)α<0，圖象過點(1,1)，以兩坐標軸為漸近線，如y＝x－1.3．為什么冪函數在第四象限內不存在圖象？提示：當x>0時，y＝xα>0，不行能出現y<0的情形，所以冪函數在第四象限不存在圖象．學問點三冪函數的性質[填一填]五類冪函數的性質[答一答]4．對于冪函數y＝xα(α是常數，x是自變量)其在第一象限內的單調性是怎樣的？提示：α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上是增函數；α<0時，y＝xα在(0，＋∞)上是減函數．類型一冪函數的概念[例1]下列函數：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中冪函數的個數為()A．1 B．2C．3 D．4[解析]②為二次函數，③中系數不是1，④中解析式為多項式，⑤中底數不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數，故選B.[答案]B冪函數解析式的結構特征：1解析式是單項式；2冪指數為常數，底數為自變量，系數為1.[變式訓練1](1)已知冪函數f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝(C)A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2(2)已知函數y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數，則m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).解析：(1)由冪函數定義知k＝1，把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))代入y＝xα得α＝eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(3,2).選C.(2)因為函數y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數，由冪函數的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).類型二冪函數的圖象[例2]下圖是冪函數y＝xm、y＝xn與y＝x－1在第一象限內的圖象，則()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1[解析]由y＝xm的圖象是橫臥拋物線形，知0<m<1；由y＝xn的圖象是雙曲線，知n<0.作直線x＝x0(0<x0<1)，與y＝xn、y＝x－1的圖象分別交于點A、B，由“點低指數大”知n<－1.故選B.[答案]B在區間(0,1)上，冪函數的指數越大，圖象越靠近x軸；在區間(1，＋∞)上，冪函數的指數越大，圖象越遠離x軸．[變式訓練2]冪函數y＝x－1及直線y＝x，y＝1，x＝1將平面直角坐標系的第一象限分成八個區域，分別標記為①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如圖所示)，那么冪函數y＝的圖象經過的區域對應的序號有(D)A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－eq\r(x)＝eq\r(x)(eq\r(x)－1)，當0<x<1時，x－eq\r(x)<0，即x<eq\r(x)<1，∴冪函數y＝的圖象經過區域①；當x>1時，x－eq\r(x)>0，即x>eq\r(x)>1，∴冪函數y＝的圖象經過區域⑤.類型三冪函數的性質應用[例3]比較下列各組中三個數的大小．[分析]本題考查冪函數．比較冪值大小的方法分類比較對象方法指數相同，底數不同xeq\o\al(α,1)與xeq\o\al(α,2)利用冪函數y＝xα的單調性底數相同，指數不同ax1與ax2利用不等式性質底數、指數都不同ax1與bx2找尋“中間量”ax2或bx1或1或0等[變式訓練3]比較下列各組中兩個值的大小：1．下列所給出的函數中，是冪函數的是(B)A．y＝－x3 B．y＝x－3C．y＝2x3 D．y＝x3－12．假如冪函數f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))的值為(D)A.eq\f(1,2) B．2C．1 D．4解析：設f(x)＝xα.∵f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴eq\f(1,2)＝4α，解得α＝－eq\f(1,2).∴f(x)＝＝4.3．函數y＝的圖象是(B)解析：∵函數y＝是冪函數，冪函數在第一象限內恒過點(1,1)，解除A，D.當x>1,0<α<1時，y＝xα在直線y＝x下方，解除C，選B.4．冪函數y＝x－1在[－4，－2]上的最小值為－eq\f(1,2).解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上單調遞減，∴y＝x－1在[－4，－2]上遞減，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－eq\f(1,2).5．比較下列各題中兩個冪的值的大小：——本課須駕馭的三大問題1．冪函數y＝xα的底數是自變量，指數是常數．2．冪函數在第一象限內指數改變規律在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的指數由大變小；在直線x＝1的左側，圖