6.3利用導數解決實際問題新版課程標準學業水平要求利用導數解決與函數有關的問題1.借助教材實例進一步掌握導數在研究函數的單調性、極值、圖象、零點等問題中的應用.(數學運算)2.能利用導數解決簡單的實際問題.(數學運算)關鍵能力·素養形成類型一函數的圖象問題【典例】給定函數fQUOTE=ex-x.(1)判斷函數fQUOTE的單調性,并求出fQUOTE的值域;(2)畫出函數fQUOTE的大致圖象;(3)求出方程fQUOTE=mQUOTE在區間[-1,2]的解的個數.【思維·引】(1)求導數、求極值后確定最值,得到值域;(2)利用函數的單調性,增長趨勢作圖;(3)利用圖象的交點個數判斷解的個數.【解析】(1)函數的定義域為R.f′QUOTE=ex-1,令f′QUOTE=0,解得x=0.f′QUOTE,fQUOTE的變化情況如表所示:x0f′QUOTE-0+fQUOTE單調遞減1單調遞增所以,fQUOTE在區間QUOTE上單調遞減,在區間QUOTE上單調遞增.當x=0時,fQUOTE的極小值fQUOTE=1.也是最小值,故函數fQUOTE的值域為QUOTE.(2)由(1)可知,函數的最小值為1.函數的圖象經過特殊點fQUOTE=QUOTE+1,fQUOTE=e2-2,fQUOTE=1,當x→+∞時,fQUOTE→+∞,f′QUOTE→+∞;當x→-∞時,指數函數y=ex越來越小,趨向于0,因此函數fQUOTE圖象上的點逐漸趨向于直線y=-x.根據上述信息,畫出函數fQUOTE的大致圖象如圖所示.(3)截取函數fQUOTE在區間[-1,2]上的圖象如圖所示.由圖象得:當fQUOTE<m≤fQUOTE,即m∈QUOTE時,fQUOTE與y=m恰有兩個不同交點,即m∈QUOTE時,方程fQUOTE=m在區間QUOTE上恰有兩個不同的實根;同理,當m=1或QUOTE+1<m≤e2-2時,方程fQUOTE=m在區間QUOTE上有唯一的實根;當m<1或m>e2-2時,方程fQUOTE=m在區間QUOTE上無實根.【內化·悟】作函數的圖象時需要關注哪些方面?提示:定義域、單調性、極值、最值以及圖象的變化趨勢等.【類題·通】作函數fQUOTE圖象的步驟(1)求出函數的定義域;(2)求導數f′QUOTE及函數f′QUOTE的零點;(3)用f′QUOTE的零點將fQUOTE的定義域劃分為若干個區間,列表給出f′QUOTE在各個區間上的正負,并得出fQUOTE的單調性與極值;(4)確定fQUOTE的圖象所經過的一些特殊點,以及圖象的變化趨勢;(5)畫出fQUOTE的大致圖象.【習練·破】函數f(x)=(x2+tx)ex(實數t為常數,且t<0)的圖象大致是 ()【解析】選B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函數f(x)有兩個零點,排除A,C,函數的導數f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,當x→-∞時,f′(x)>0,即在x軸最左側,函數f(x)為增函數,排除D.類型二實際生活中的最值問題【典例】(2020·泰州高二檢測)某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為4元,并且每件商品需向總店交a(1≤a≤3)元的管理費,預計當每件商品的售價為x(8≤x≤9)元時,一年的銷售量為(10-x)2萬件.(1)求該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與每件商品的售價x的函數關系式L(x);(2)當每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤L最大,并求出L的最大值.【思維·引】(1)利潤=每件商品的利潤×銷售量;(2)利用導數求最值.【解析】(1)該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與售價x的函數關系式為L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x=6+QUOTEa或x=10(舍去).因為1≤a≤3,所以QUOTE≤6+QUOTEa≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上單調遞減,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.當每件商品的售價為8元時,該連鎖分店一年的利潤L最大,最大值為(16-4a)萬元.【類題·通】解決實際優化問題時應注意的問題(1)列函數關系式時,注意實際問題中變量的取值范圍,即函數的定義域;(2)一般地,通過函數的極值來求函數的最值.如果函數在給定區間上只有一個極值點,則根據所求即可判斷該值是最大值還是最小值.【習練·破】(2020·焦作高二檢測)欲制作一個容積為V的圓柱形蓄水罐(無蓋),為能使所用的材料最省,它的底面半徑應為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選C.設圓柱的底面半徑為r,高為h,表面積為y,則由題意有πr2h=V,所以h=QUOTE.蓄水罐的表面積y=πr2+2πrh=πr2+2πrQUOTE=πr2+QUOTE(r>0).令y′=2πr-QUOTE=QUOTE=0,得r=QUOTE.檢驗得,當r=QUOTE時表面積取得最小值,即所用的材料最省.類型三利用導數研究函數的問題角度1恒成立問題【典例】(2020·龍鳳高二檢測)函數f(x)=ex-kx,當x∈(0,+∞)時,f(x)≥0恒成立,則k的取值范圍是 ()A.k≤1B.k≤2 C.k≤eD.k≤QUOTE【思維·引】轉化為最值問題.【解析】選C.依題意,ex-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤QUOTE在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=QUOTE(x>0),則g′(x)=QUOTE=QUOTE,當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.【素養·探】將恒成立問題轉化為最值問題用到了核心素養中的邏輯推理.將本例改為在區間QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,試求k的取值范圍.【解析】在區間QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,即在區間QUOTE上存在x,使k≤QUOTE成立.令g(x)=QUOTE(x>0),則g′(x)=QUOTE=QUOTE,因為當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x)min=g(1)=e,又gQUOTE=2QUOTE,gQUOTE=QUOTEe3,所以g(x)max=gQUOTE=QUOTEe3.所以k≤QUOTEe3.角度2證明問題【典例】已知函數f(x)=aex-blnx在點(1,f(1))處的切線方程為y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求證:f(x)>2.【思維·引】(1)利用切點坐標、切線斜率構造方程(組)求值.(2)轉化為最值進行證明.【解析】(1)函數fQUOTE=aex-blnx的導數為f′QUOTE=aex-QUOTE,函數fQUOTE=aex-blnx在點QUOTE處的切線斜率為k=ae-b,由切線方程y=QUOTEx+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.(2)fQUOTE=ex-lnx,導數為f′QUOTE=ex-QUOTE,x>0,易知f′QUOTE為增函數,且f′QUOTE>0,f′QUOTE<0.所以存在m∈QUOTE,有f′QUOTE=0,即em=QUOTE,且x>m時,f′QUOTE>0,fQUOTE遞增;0<x<m時,f′QUOTE<0,fQUOTE遞減,可得在x=m處fQUOTE取得最小值,fQUOTE=em-lnm=QUOTE+m>2,可得fQUOTE>2成立.【類題·通】1.關于恒成立問題注意區分“對于定義域內的任意值”“在定義域內存在值”成立的區別,兩種敘述反映了不同的邏輯關系,對應的最值類型不同,要準確判斷針對的是最大值還是最小值,確定好最值類型后利用導數求最值解題.2.關于證明問題首先分析要證明的命題是否與函數的最值、單調性等性質有關,如果有關則轉化為相應的問題證明;其次是針對要證明的命題構造函數,再通過構造的函數性質證明.函數的證明問題往往都比較復雜,需要綜合應用函數、導數等知識進行構造、轉化等方式證明.【習練·破】1.(2020·秦州高二檢測)已知函數f(x)=QUOTE-mx(e為自然對數的底數),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,則實數m的取值范圍是 ()A.(e,+∞)B.(-∞,e)C.QUOTED.QUOTE【解析】選C.由f(x)=QUOTE-mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m>QUOTE在(0,+∞)上有解,令g(x)=QUOTE,x>0,則m>g(x)min,g′(x)=QUOTE,則當0<x<2時,g′(x)<0,函數單調遞減,當x>2時,g′(x)>0,函數單調遞增,故當x=2時,函數g(x)取得最小值,g(2)=QUOTE.故m>QUOTE.2.已知函數f(x)=alnx+bx,g(x)=QUOTEx2-QUOTE,曲線y=fQUOTE在點QUOTE處的切線方程為x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)證明:f(x)≤g(x).【解析】(1)f′(x)=QUOTE+b,則a+b=QUOTE,f(1)=b=-QUOTE,解得a=1,b=-QUOTE.(2)令h(x)=lnx-QUOTEx-QUOTEx2+QUOTE,則h′(x)=QUOTE-QUOTE-QUOTEx=QUOTE,又x>0,則h(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.課堂檢測·素養達標1.有一長為16m的籬笆,要圍成一個矩形場地,A.4m2B.8【解析】選D.設矩形一邊長為xm(0<x<8),則另一邊長為(8-x)m.S=x(8-x),易知當x=4時,S有最大值162.一個箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)=x2·QUOTE(0<x<60),則當箱子的容積最大時,x的值為 ()A.30B.40 【解析】選B.V(x)=-QUOTEx3+30x2,V′(x)=-QUOTEx2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且當0<x<40時,V′(x)>0,當40<x<60時,V′(x)<0,故V(x)在x=40時取得最大值.3.函數f(x)=x3-QUOTEx2-2x+5,若對于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,則實數m的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-QUOTE或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.所以對于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立時,m>7.答案:m>74.已知函數f(x)=ex(lnx-1),使得f(m)≥-e成立的實數m的取值范圍為________.

【解析】f′(x)=exQUOTE,令g(x)=lnx+QUOTE-1,則g′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,當0<x<1時,g′(x)<0,函數單調遞減,當x>1時,g′(x)>0,函數單調遞增,故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,從而f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(1)=-e,故m≥1.答案:[1,+∞)【新情境·新思維】隨著人們生活水平的提高,汽車的擁有量越來越多,據有關