學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂導學三點剖析一、圓周角定理、圓心角定理及其推論【例1】在⊙O中,∠A=α,則∠OBC等于(）圖2-1-1A.2αB。90°-αC.180°-2αD.90°+α解法一：連結OC,則∠BOC=2∠A=2α,在△OBC中,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB?！唷螼BC=（180°-∠BOC）=（180°-2α)=90°-α。解法二:延長BO交⊙O于點D,連結CD.∵∠BCD=90°,∠D=∠A=α，在Rt△BCD中，∠OBC=90°—∠D=90°-α。解法三:延長BO交⊙O于點D,∵∠BOC=2∠A=2α，∴∠COD=180°—2α?！唷螼BC=∠COD=（180°—2α)=90°—α.解法四：延長BO到D，連結CD,則的度數為180°.∵∠A=α，∴的度數為2α.∴的度數等于減去的度數,即的度數為180°—2α.又∵∠OBC的度數等于度數的一半，∴∠OBC=（180°-2α）=90°—α.答案：B溫馨提示圓周角、圓心角、弧之間以統一的單位:度為橋梁,相互轉化，融會貫通。二、利用圓周角、圓心角證明和計算【例2】已知△ABC中，AB=AC，E為AB上一點，且AE=AB,以AB為直徑作半圓交BC于D,連結AD、CE交于F點.求證：AF=FD。圖2—1—4證明：作DH∥CE，交AB于H，∵AB為直徑,∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴CD=BD?！郆H=EH。又∵AE=AB，∴AE=EH.又∵EF∥DH,∴AF=FD。溫馨提示本題在證明中利用了本節推論2,在圓中與直徑有關的題目，經常利用該結論，轉化為直角三角形或等腰三角形去解決.【例3】如圖2—1—6，在△ABC中,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E.求證:（1)AP·DP=EP·FP；（2）△AEF∽△ACB。圖2-1—6思路分析：欲證AP·DP=EP·FP,只需證△APE∽△FPD，只需證∠1=∠2。證明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴E、F在以AD為直徑的圓上.∵=，∴∠1=∠2.∴△APE∽△FPD?！?∴AP·DP=EP·FP。(2）∵∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°，∴∠2=∠C.又∵∠1=∠2，∴∠1=∠C.∴△AEF∽△ACB.各個擊破類題演練1如圖2-1-2,在⊙O中,∠ABO=55°，則∠ACB等于（)圖2—1—2A.35°B。45°C.50°D。60°解析:連結OA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOB=180°-∠ABO—∠BAO=70°。又∵∠ACB=＜0,∴∠ACB=×70°=35°.答案：A變式提升1如圖2—1-3,=，在上任取一點P，PB、PC與AD的交點分別為E、F，則圖中相似三角形的組數是（)圖2-1—3A。2B。3C.4解：∵,∴∠B=∠PDE。又∠AEB=∠PED，∴△ABE∽△PED.同理，△APF∽△CDF.∵=,∴∠APB=∠CPD?！?，∴∠PAD=∠PCD.∴△APE∽△CPD。同理，△ABP∽△FDP.答案:C類題演練2如圖2—1-5，DE分別為⊙O中與的中點，連結DE分別交弦AB、AC于M、N，求證:AM·AN=DM·EN.圖2-1-5思路分析:欲證AM·AN=DM·EN,只需證.證明:連結AD、AE，△ADM∽△EANAM·AN=DM·EN.溫馨提示本題利用推論1，該結論在圓中經常用來證明角相等。類題演練3如圖2—1-7，過A點的圓截△ABC的AB邊于E,截AC邊于F,截BC邊于P、Q,若EF∥BC,AQ⊥BC,求證