專題05解析幾何A組基礎鞏固1．（2020·江蘇儀征市第二中學高二期中）（多選題）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據橢圓的定義結合已知條件求出，再根據橢圓的幾何性質即可解出.【詳解】由橢圓定義，，由橢圓的幾何性質，，又e<1，∴.故選：AB.2．（2021·山西太行中學高二期末（理））如圖，，是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若點為的中點，且，則（）．A．4 B． C．6 D．9【答案】A【分析】結合已知條件得，推出，然后求出，即可求得．【詳解】因為點為的中點，所以，又，所以，，所以，所以，解得，所以．故．故選：A.3．（2020·新疆烏市八中高二月考（文））雙曲線的左右焦點分別為?，過點的直線與圓相切于點A，與雙曲線左支交于點P，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據題意，作出圖形，結合定義可得，由與，化簡求值即可【詳解】在中，，，由余弦定理可知，，在中，，，化簡可得：，.故選：D.4．（2020·新疆高三三模（文））已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為，設，則，求出點P，Q的坐標，得出，，根據，再利用余弦定理求出，之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為．設，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.【點睛】方法點睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據圓錐曲線的統一定義求解．5．（2021·揭陽第一中學高二期中）已知橢圓：與雙曲線：（，）具有共同的焦點，，離心率分別為，，且.點是橢圓和雙曲線的一個交點，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，.根據圓錐曲線定義與勾股定理可得，從而可得，結合，可得結果.【詳解】設，.在橢圓中，，所以.在雙曲線中，，所以，所以，即，得，即.因為，所以，解得.故選：C6．（2021·江西景德鎮一中高一期末）以下五個關于圓錐曲線的命題中：①平面內到定點（1，0）和定直線：的距離之比為的點的軌跡方程是；②點是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是6；③平面內到兩定點距離之比等于常數（）的點的軌跡是圓；④若動點滿足，則動點的軌跡是雙曲線；⑤若過點的直線交橢圓于不同的兩點，，且是的中點，則直線的方程是．其中真命題個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對于①：設動點，直接求出P的軌跡方程即可驗證；對于②：利用幾何法求出的最小值即可驗證；對于③：當時，平面內到兩定點距離之比等于常數1的點的軌跡是直線，即可驗證；對于④：利用雙曲線的定義，進行判斷；對于⑤：用“點差法”求出直線方程進行驗證即可.【詳解】對于①：設動點，由題意可得：，即，整理化簡得：，即求出的軌跡方程為：.故①錯誤；對于②：設到拋物線的準線的距離為d，則，由拋物線的定義得，,所以，所以，如圖示，當P運動到Q點時，P、A、F三點共線，最小，此時，故②正確；對于③：當時，平面內到兩定點距離之比等于常數1的點的軌跡是直線，故③錯誤；對于④：“若動點滿足，則動點的軌跡是雙曲線”顯然不正確，因為不滿足雙曲線的定義，故④不正確；對于⑤：當直線的斜率不存在時，直線l：x=1，的中點為（1,0），不符合題意；設直線的斜率為k，設，則.因為在橢圓上，所以，兩式相減得：，所以因為是的中點，所以，所以，所以直線的方程是.故⑤正確.故選：B7．（2021·山西高二月考（文））如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點是線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為．故選：B8．（2020·江蘇省漣水中學高二期中）（多選題）已知拋物線：的焦點為，斜率為且經過點的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是（）A． B．為中點 C． D．【答案】ABC【分析】結合已知條件求出的縱坐標為，橫坐標為，進而將的坐標代入拋物線方程即可求出的，進而聯立即可求出相關點的坐標，然后逐項分析判斷即可得出結果.【詳解】因為直線的斜率為，且，所以的縱坐標為，橫坐標為，所以，因為，解得，故A正確；因為，所以直線：，令，所以，則，又因為，則的中點為即為，故B正確；，解得或,即，則，，因此，故C正確；D錯誤，故選：ABC.9．（2021·重慶一中高三月考）已知，是橢圓的兩個焦點，過的斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，則下列說法正確的是（）A．橢圓C的離心率為 B．存在點A使得C．若，則 D．OP與AB的斜率滿足【答案】BC【分析】對于A，由橢圓的方程求出，從而可求出，進而可求出離心率；對于B，設，表示出，由求出的值，則說明；對于C，利用橢圓的定義判斷；對于D，設直線為，將直線方程與橢圓方程聯方程組，消去，利用根與系數的關系結合中點坐標公式表示出點的坐標，從而可求出直線的斜率，進而可求得的值，進行判斷【詳解】解：對于A，由可得，則，所以離心率為，所以A錯誤；對于B，令,設，則，，若，則，解得，所以存在點A使得，所以B正確；對于C，因為，,，所以，所以C正確；對于D，設直線為，設，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D錯誤，故選：BC10．（2021·重慶巴蜀中學高二期中）（多選題）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與雙曲線交于A，B兩點，A在第一象限，若△為等邊三角形，則下列結論一定正確的是（）A．雙曲線C的離心率為 B．的面積為C．的內心在直線上 D．內切圓半徑為【答案】BC【分析】按照AB兩點在同支或兩支討論，結合余弦定理及離心率的定義可判斷A；結合三角形面積公式可判斷B；由雙曲線的定義結合切線長定理可判斷C；利用等面積法可判斷D.【詳解】對于C，設的內心為I，作過作的垂線，垂足分別為，如圖，則，所以，所以的內心在直線上，故C正確；△為等邊三角形,若在同一支，由對稱性知軸，，，.,；,設的內切圓半徑為r，則，解得；若分別在左右兩支，則，則，解得，離心率，，設的內切圓半徑為r，則，解得；所以結論一定正確的是BC.故選：BC.【點睛】易錯點點睛：本題極易忽略點在雙曲線兩支的情況，導致漏解.

B組能力提升11．（2021·江西臨川一中高三其他模擬（文））設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為45°的直線交拋物線于，兩點，過點作軸垂線在軸的上方與拋物線交于點，記直線，的斜率分別為，，則______．【答案】4【分析】聯立直線AB和拋物線的方程，利用韋達定理求得，，根據拋物線的焦點坐標和M的定義求得M的坐標，利用直線的斜率公式求得直線AM，BM的斜率關于的表達式，求和化簡即得所求.【詳解】解：拋物線的焦點為為，可得直線的方程為，由，消去可得，∴，，∵點的坐標為，∴，同理，∴．故答案為：4【點睛】本題考查直線與拋物線的交點相關問題，關鍵是利用韋達定理設而不求，簡化運算.12．（2021·山西高三其他模擬（理））已知雙曲線：的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為，兩點（點位于點與點之間），且，又過點作于（點為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【分析】設，，，由解得，從而求出、、，由，表示出，得到，求出離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為，如圖所示，設，，，，，由，得，解得.又點到直線的距離，，∴，則，又，∴.所以，即，∴.故答案為：.【點睛】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：（1）直接求出a、b、c，計算離心率；（2）根據題目的條件，找到a、b、c的關系，消去b，構造離心率e的方程或（不等式）即可求出離心率．13．（2021·全國高三其他模擬（理））數學中有許多形狀優美的曲線，如星形線，讓一個半徑為的小圓在一個半徑為的大圓內部，沿著圓的圓周滾動，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線．如圖，已知星形線的方程為，周長為，有如下結論：①曲線的周長大于星形線的周長；②曲線上任意兩點距離的最大值為；③曲線與圓有且僅有個公共點；④從曲線上任一點作，軸的垂線，垂線與，軸所圍成圖形的面積最大值為．其中所有正確結論的序號是________．【答案】②③【分析】對于①，由于的周長為，從而可進行判斷；對于②，由圖可知左右兩端點或上下兩端點的距離最遠；對于③，由于曲線上一點到原點的最短距離為，結合圖形可得結論；對于④，利用基本不等式求解即可【詳解】解：曲線的周長為，所以①錯誤；曲線上左右兩端點，或上下兩端點，的距離最遠，等于，②正確；曲線上一點到原點的最短距離為，此類點共有個，故曲線與圓有且僅有個公共點，③正確；不妨設點為第一象限上的點則，，④錯誤．故答案為：②③【點睛】關鍵點點睛：此題考查新文化試題，考查曲線與方程的應用，解題的關鍵是利用星形線的方程為和其性質求解即可，考查計算能力，屬于中檔題14．（2021·江西高二期末（理））如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.【答案】【分析】設兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進行分析，根據兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進而得到；利用橢圓離心率可構造方程求得結果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點，則，，過作，垂足為，連接，，設與交于點，設兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題以圓錐為載體，考查了橢圓的定義和幾何性質，解題關鍵是能夠通過作出圓錐的軸截面，利用軸截面中的線段垂直關系、長度關系，根據橢圓離心率構造出關于球心距離的方程.15．（2021·安徽高三其他模擬（理））已知拋物線的焦點為F，點A(4，0)，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為___________.【答案】【分析】如圖所示，設點P在準線上的射影為Q，等價于直線AP與拋物線C相切時∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小，再根據求解即可.【詳解】點A(4，0)在拋物線C的準線x=4上，設點P在準線上的射影為Q，則，當直線AP與拋物線C相切時∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小.設PA的方程為y=k(x+4)，與聯立得0.由得，當時，.故答案為：【點睛】方法點睛：最值問題的求解，常用的方法有：（1）函數法；（2）導數法；（3）數形結合法；（4）基本不等式法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.16．（2021年高考最后一卷理科數學（第七模擬））已知，分別為橢圓：的左?右焦點，為橢圓的右頂點，過且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(在軸上方)，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】先由已知條件及相關結論用，，表示出和，再根據得，從而構建關于，的方程，進而求得離心率.【詳解】設點的橫坐標為，過點作軸，垂足為，由，得，所以，由點是橢圓上的點，且是橢圓的右焦點知，，得，同理可得.因為，所以，即，得，所以，解得，又，所以.故答案為：．【點睛】結論點睛：橢圓的焦半徑公式：已知，分別為橢圓：的左?右焦點，設為橢圓上一點，其橫坐標為，則，(為橢圓的離心率).17．（2021·江西景德鎮一中高二期末）已知雙曲線：(，)的左?右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，，直線交軸于點，且，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】解法一：根據已知可得，而可得，進而利用等面積法可得，再根據向量關系可得點的橫坐標，將點的坐標代入雙曲線方程，解方程即可求得結果；解法二：設為坐標原點，根據題意可得，根據設及可得，再根據相似比可得，又根據勾股定理可得，最后根據雙曲線定義即可求得結果.【詳解】解法一：由題意知，，所以.設，則，所以，因為，所以，將代入雙曲線方程，整理得，解得或，因為，所以.解法二：設為坐標原點，由題易得，所以，設，因為，所以，則，得.又，所以，所以，得，所以.故答案為：.18．（2021·安徽高三二模（文））在平面直角坐標系中，橢圓，雙曲線，、分別為，上的動點（、都不在坐標軸上），且，則的值為_____．【答案】【分析】由題意，直線、均不與坐標軸重合，聯立直線與雙曲線方程，可得點坐標；聯立直線與橢圓方程，可得點