專題15導數與函數的單調性、極值、最值問題1．（2023·重慶·統考二模）已知函數，則“”是“在上單調遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題若在上單調遞增，則恒成立，即，故“”是“在上單調遞增”的必要不充分條件故選:.2．（2023·四川成都·統考二模）若函數在處有極大值，則實數的值為（

）A．1 B．或 C． D．【答案】D【解析】函數，，函數在處有極大值，可得，解得或，當時，，時，時，在上單調遞減，在上單調遞增，在處有極小值，不合題意.當時，，時，時，在上單調遞增，在上單調遞減，在處有極大值，符合題意.綜上可得，.故選：D3．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學校考模擬預測）若方程有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程化為,令則問題轉化為的圖象與直線有2個交點,因為當時,單調遞減,當時,,單調遞增,易知且當正向無限趨近于時,的取值無限趨近于正無窮大；當無限趨近于正無窮大時,的取值無限趨近于正無窮大；故方程有兩個不等的實數根時,.故選：B.4．（2023·河南信陽·校聯考模擬預測）已知定義域為的函數滿足，，，若，則的極值情況是（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極小值，也無極大值【答案】C【解析】∵，∴．取可得，，由，令，得，因為，可得，∴，則，∴．令，則；令，，易知時，，在上單調遞減；時，，在上單調遞增，所以當時，取最小值，又，當時，，時，，∴存在，，使得．不妨設，則當時，，當時，，當時，．∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．∴既有極大值，又有極小值．故選：C.5．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知函數，若，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，使得成立，則函數的值域包含的值域.當時，函數開口向上，對稱軸，所以在上單調遞減，且，所以；當時，，則，①若，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，即，解得；②若，則，在上單調遞增，此時值域為，符合題意.③當時，的值域為，不符合題意.綜上所述，實數的取值范圍為.故選：B.6．（多選題）（2023·江蘇南通·校聯考模擬預測）已知函數在區間上可能（

）A．單調遞增 B．有零點 C．有最小值 D．有極大值【答案】AD【解析】因為且，則，，所以，函數在上不可能有零點，B錯；當時，即當時，在上單調遞增，A對；函數在上可能有極大值，但無最小值，C錯D對.故選：AD.7．（多選題）（2023·重慶·統考二模）已知函數（e為自然對數的底數，），則關于函數，下列結論正確的是（

）A．有2個零點 B．有2個極值點 C．在單調遞增 D．最小值為1【答案】BC【解析】定義域為R，，令得：或1，當時，，當時，，如下表：010+0遞減極小值1遞增極大值遞減從而判斷出函數有兩個極值點，在上單調遞增，BC正確，由于恒成立，所以函數無零點，A錯誤，當時，，故函數無最小值，D錯誤；.故選：BC8．（多選題）（2023·安徽淮北·統考二模）已知函數，則（

）A．在單調遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數【答案】AC【解析】對A：，定義域為，則，由都在單調遞增，故也在單調遞增，又，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故A正確；對B：由A知，在單調遞減，在單調遞增，又，故只有一個零點，B錯誤；對C：，根據導數幾何意義可知，C正確；對D：定義域為，不關于原點對稱，故是非奇非偶函數，D錯誤.故選：AC.9．（多選題）（2023·湖北·荊州中學校聯考二模）設函數，則下列說法正確的是（

）A．沒有零點B．當時，的圖象位于軸下方C．存在單調遞增區間 D．有且僅有兩個極值點【答案】BC【解析】函數的定義域為，，令，則，所以函數在上遞減，又，所以存在上，使得，即函數有唯一零點，且，當時，，即，函數遞增，故C正確；當時，，即，函數遞減，所以為函數的極大值點，無極小值點，即有且僅有一個極值點，故D錯誤；所以，又，所以函數在上存在一個零點，故A錯誤；當時，，所以，即當時，的圖象位于軸下方，故B正確.故選：BC.10．（多選題）（2023·海南海口·校考模擬預測）已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．當時，點是曲線的對稱中心B．當時，在上是增函數C．當時，在上的最大值是1D．有兩個極值點【答案】ABC【解析】對于A，，，正確；對于B，

，，當時，，是增函數，正確；對于C，，當時，，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞減，所以在上時，的最大值可能是，也可能是，，，所以在區間上，正確；對于D，，當時，，方程沒有實數解，即沒有極值點，錯誤；故選：ABC.11．（2023·山東菏澤二模）設向量，滿足，，若函數單調遞增，則的取值范圍為_____________．【答案】【解析】依題意得，又函數單調遞增，則恒成立，所以，，所以，即．12．（2023·四川瀘州·統考二模）已知函數存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________．【答案】【解析】定義域為，，根據題意可得在上存在穿越零點，故，且，解得.13．（2023·云南紅河·統考二模）若是函數的極小值點，則函數在區間上的最大值為______．【答案】##【解析】由，得，因為是函數的極小值點，所以，即，即，解得或．當時，，當或時，，當時，，所以，在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，不符合題意；當時，，當或時，，當時，，所以在區間，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值點，是函數的極大值點，故又因為，，所以函數在的最大值為．14．（2023·江西南昌·統考二模）潮汐現象是地球上的海水在太陽和月球雙重引力作用下產生的全球性的海水的周期性變化，人們可以利用潮汐進行港口貨運.某港口具體時刻（單位：小時）與對應水深（單位：米）的函數關系式為.某艘大型貨船要進港，其相應的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，船底與海底距離不小于4.5米時就是安全的，該船于2點開始卸貨（一次卸貨最長時間不超過8小時），同時吃水深度以0.375米/小時的速度減少，該船8小時內沒有卸完貨，要及時駛入深水區域，則該船第一次停止卸貨的時刻為______.【答案】6時【解析】令船底與海底距離為，則，所以，所以，又，，所以，所以當或時，當時，所以在上單調遞增；在上單調遞減.又因為，所以當時，；當時，所以該船第一次停止卸貨的時刻為6時.15．（2023·湖北·校聯考模擬預測）已知a，b為實數，若對任意，都有恒成立，則的最小值為__________．【答案】1【解析】對任意，都有恒成立，故．由，得，所以，從而恒成立，故，易知，于是．設．設．故在上單調遞增，結合，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增．故，所以的最小值為1，此時．16．（2023·山東濰坊二模）已知函數.(1)當時，求函數在點處的切線方程；(2)討論函數的極值點的個數.【解析】（1）∵，∴，∴，而，∴函數在點處的切線方程，級.（2）所以，當，時，，當時，，此時存在一個極值點.當時，則，當時，；當時，；當時，，此時存在兩個極值點，.當時，，當時，；當時.，此時沒有極值點.當時，，當時，；當時，；當時，，此時存在兩個極值點，.綜上所述：當或，存在兩個極值點；當時，存在一個極值點；當時，沒有極值點.17．（2023·雅禮中學預測）設是函數的一個極值點，曲線在處的切線斜率為8.(1)求的單調區間；(2)若在閉區間上的最大值為10，求的值.【解析】（1），由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函數的極大值點，符合題意，所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.（2）由（1）知，因為在區間上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數，又，所以的最大值為，解得.18．（2023·寧夏銀川·統考模擬預測）．(1)當時，求的單調區間與極值；(2)當時，設，若既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．【解析】（1）因為，當時，，所以，由，得，由，得，所以的單調增區間為，單調減區間為；所以在處有極大值，極大值為，無極小值；（2）因為，所以，則有兩個變號零點，由，可得，所以有兩個不等正根，設，則，由，可得，函數單調遞增，由，可得，函數單調遞減，所以在處有極大值，，又，時；時，，作出函數的大致圖象，由圖象可知要使有兩個不等正根，則，即a的取值范圍為.【點睛】函數由極值、極值點求參數的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數法：一般命題情境為給出區間，求滿足函數極值或極值點個數的參數范圍，通常解法為從中分離參數，然后利用求導的方法求出由參數構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區間，求滿足函數極值或極值點個數的參數范圍，通常解法為結合函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.19．（2023·河南鄭州·統考二模）已知函數，，.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)設，當時，函數有兩個極值點，求實數m的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，故，，所以切線方程為，即.（2）由題設且有兩個極值點，則有兩個變號零點，令，即有兩個變號零點，而，①當時，在上恒成立，于是在上單調遞增.所以，因此在上無零點，即在上無零點，不合題意.②當時，令得：，在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，由于在上有兩個零點，則得：，因為且趨向于時趨向，所以由零點存在性定理得：時在上有兩個變號零點，綜上，可得的取值范圍是.20．（2023·江蘇南京二模）已知函數.(1)當時，求函數的單