學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1任意角的概念與弧度制1。1。1角的概念的推廣基礎(chǔ)知識基本能力1．結(jié)合實例，運用變化的觀點了解角的概念的推廣．（重點）2．認識象限角與終邊在坐標軸上的角．(易錯點)3．掌握終邊相同的角的表示方法．(重點、難點)1．能正確地區(qū)分正角、負角和零角．(重點)2．對于象限角與終邊在坐標軸上的角,應(yīng)知道角的頂點及角的始邊的位置的規(guī)定．(難點）3．根據(jù)角的代數(shù)形式，能判斷角所在的位置．(難點）1．任意角（1)角的定義．①靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊．②動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點,開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊．（2）角的記法:用一個希臘字母表示或用三個大寫的英文字母表示（字母前面要寫“∠"）．(3)在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)有順時針和逆時針兩個相反的方向．習(xí)慣上規(guī)定，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負角；當射線沒有旋轉(zhuǎn)時,我們也把它看成一個角，叫做零角;旋轉(zhuǎn)生成的角,又常叫做轉(zhuǎn)角．這樣就形成了任意大小的角，即任意角．（4)引入正角、負角的概念以后，角的減法運算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運算,即α－β可以化為α＋(－β）．這就是說,各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和．終邊和始邊重合的角是零角嗎？答:不一定，零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定是零角．【自主測試1】鐘表的分針在1。5小時內(nèi)轉(zhuǎn)了（）A．180°B．－180°C．540°D．－540°解析：分針旋轉(zhuǎn)的角為負角，其值為－(360°＋180°)＝－540°。答案：D2．終邊相同的角設(shè)α表示任意角，所有與α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝,即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和的形式．歸納總結(jié)相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍．【自主測試2】與610°角終邊相同的角表示為(）A．k·360°＋230°，k∈ZB．k·360°＋250°,k∈ZC．k·360°＋70°，k∈ZD．k·360°＋270°，k∈Z答案：B3．第幾象限的角平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動,使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合,這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角,如果終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何象限．【自主測試3－1】已知角α是第三象限的角,則角－α的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：因為角α是第三象限的角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，則－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k∈Z.故角－α的終邊在第二象限．答案：B【自主測試3－2】角－2013°是第__________象限角．解析:∵－2013°＝－6×360°＋147°，且147°角是第二象限角，∴－2013°是第二象限角．答案:二1．象限角與軸線角的表示剖析:(1）象限角的集合．第一象限的角的集合為｛x|k·360°＜x＜k·360°＋90°,k∈Z｝；第二象限的角的集合為{x|k·360°＋90°＜x＜k·360°＋180°，k∈Z};第三象限的角的集合為{x｜k·360°＋180°＜x＜k·360°＋270°,k∈Z｝；第四象限的角的集合為{x｜k·360°＋270°＜x＜k·360°＋360°,k∈Z｝．（2）若角的頂點在坐標原點，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在坐標軸上，稱這樣的角為軸線角（或象限界角)．終邊落在x軸的非負半軸上的角的集合為｛x｜x＝k·360°，k∈Z｝；終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為｛x｜x＝k·360°＋180°,k∈Z｝；終邊落在x軸上的角的集合為｛x｜x＝k·180°,k∈Z｝;終邊落在y軸的非負半軸上的角的集合為{x|x＝k·360°＋90°,k∈Z}；終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合為{x｜x＝k·180°＋90°,k∈Z}；終邊落在坐標軸上的角的集合為｛x|x＝k·90°，k∈Z}．名師點撥象限角與軸線角的集合的表示形式并不唯一，還有其他的表示形式．如終邊落在y軸的非正半軸上角的集合為{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z｝．2．第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、銳角的區(qū)別剖析：受初中所學(xué)角的影響，在解決問題時，考慮的角往往停留在銳角、直角、鈍角上，即初中所學(xué)角的范圍，沒有按任意角來看待．其突破方法是把握住各自的取值范圍．銳角的集合是{α｜0°＜α＜90°｝；0°~90°的角的集合是｛α｜0°≤α＜90°}；小于90°的角的集合是｛α｜α＜90°}，包括銳角以及所有的負角和零角；第一象限的角的集合是｛α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，其中有正角和負角．3．教材中的“思考與討論"(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范圍可以表示為怎樣的不等式?（2)如果α分別是第一、第二、第三和第四象限的角，那么eq\f（α,2）分別是第幾象限的角？剖析:(1）如果α是第一象限的角,那么α的取值范圍可以表示為k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.(2）如果α是第一象限的角,則k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，故180°·k＜eq\f(α，2)＜180°·k＋45°，k∈Z.①若k＝2n，n∈Z，則360°·n＜eq\f（α,2）＜360°·n＋45°，n∈Z，此時eq\f（α，2）為第一象限的角．②若k＝2n＋1,n∈Z，則360°·n＋180°＜eq\f（α,2)＜360°·n＋180°＋45°，n∈Z,此時eq\f(α，2)為第三象限的角．所以，當α為第一象限的角時，eq\f(α,2）可以為第一或第三象限的角．同理，當α為第二象限的角時，eq\f（α,2)可以為第一或第三象限的角;當α為第三象限的角時，eq\f(α，2）可以為第二或第四象限的角；當α為第四象限的角時，eq\f(α,2）可以為第二或第四象限的角．為此，我們可以用以下方法對角eq\f(α，2)的終邊所在的象限的結(jié)論進行記憶:作出各個象限的角平分線，它們與坐標軸一起把周角等分成8個區(qū)域，從x軸的非負半軸起，按逆時針方向把這8個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2，3,4,如圖所示．標的數(shù)字是幾的兩個區(qū)域,就是α為第幾象限角時，eq\f（α，2）的終邊所在的區(qū)域．題型一對角的概念的理解【例題1】下列結(jié)論：①第一象限的角都是銳角;②銳角都是第一象限的角；③第一象限的角一定不是負角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的序號為__________(把正確結(jié)論的序號都寫上）．解析：①－320°角是第一象限的角,可它不是銳角,故①不正確．②銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，所以是第一象限的角，故②正確．③－330°角是第一象限的角，但它是負角,故③不正確．④0°的角小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角，也不是銳角，故④不正確．答案：②反思解答本題的關(guān)鍵在于正確理解象限角、銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確，只要舉出一個反例即可．題型二終邊相同的角的問題【例題2】在與10030°的角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．（1)最大的負角;（2）最小的正角;(3）360°~720°之間的角．分析：先寫出與10030°的角終邊相同的角的一般形式，再求滿足條件的整數(shù)k即可．解：與10030°的角終邊相同的角的集合為S＝｛β|β＝k·360°＋10030°,k∈Z}．（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，k∈Z,得－10390°＜k·360°＜－10030°,k∈Z，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°。（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，k∈Z,得－10030°＜k·360°＜－9670°，k∈Z，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.（3）由360°＜k·360°＋10030°＜720°，k∈Z，得－9670°＜k·360°＜－9310°，k∈Z，解得k＝－26.故所求的角為β＝670°.反思對于終邊相同的角的集合，最大的負角應(yīng)在－360°～0°之間，最小的正角應(yīng)在0°～360°之間．題型三終邊相同的角的集合之間的關(guān)系【例題3】判斷下列角的集合的關(guān)系:設(shè)集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪｛α|α＝k·180°,k∈Z}，集合B＝｛β｜β＝k·90°,k∈Z}，則（)A．ABB．BAC．A∩B＝D．A＝B解析:∵集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z｝∪｛α|α＝k·180°,k∈Z}＝{α｜α＝(2k＋1）·90°，k∈Z｝∪{α｜α＝2k·90°，k∈Z}＝｛α｜α＝m·90°，m∈Z｝，集合B＝｛β|β＝k·90°,k∈Z},∴A＝B．答案：D反思判斷角的集合之間的關(guān)系一般有兩種方法：一種方法是將各集合中表示角的式子化為同一種形式（這種方法要用到整數(shù)分類的有關(guān)知識);另一種方法是將各集合中表示角的式子中的k賦值，并將角的終邊畫在坐標系中，直至重復(fù)出現(xiàn)相同位置的終邊為止，根據(jù)各類集合中角的終邊的情況,判斷角的集合之間的關(guān)系．題型四易錯辨析【例題4】已知角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的關(guān)系為__________．錯解：∵角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴eq\f（α＋β,2)＝90°＋k·360°（k∈Z）．錯因分析:上述解法僅是關(guān)于y軸正半軸對稱的情況，而忽視了關(guān)于y軸負半軸對稱的情況．正解：∵角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴eq\f（α＋β，2)＝90°＋k·180°（k∈Z)，即α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z）．答案:α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)1．把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°答案：D2．與120°角終邊相同的角是（)A．－600°＋k·360°（k∈Z）B．－120°＋k·360°（k∈Z）C．120°＋(2k＋1)·180°（k∈Z）D．660°＋k·360°（k∈Z）答案:A3．在－398°，38°,142°，1042°四個角中，終邊相同的角是（)A．－398°，38°B．－398°，142°C．－398°,1042°D．142°，1042°答案：C4．角α終邊上的一點的坐標是P(0，－3）,則角α的集合是__________．解析:角α的終邊與y軸的非正半軸重合．答案：｛α｜α＝n·360°＋270°，n∈Z}5．終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的所有角的集合是______,上述集合中，在－180°到180°之間的角是__________．解析:終邊在y＝－eq\r（3)x上的所有角的集合是｛α｜α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α｜α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝｛α｜α＝n·180°＋120°，n∈Z}．當n＝－1,0時，取得在－180°到180