小升初數(shù)學(xué)專題4：從課本到奧數(shù)盈虧問題（解析版）基本概念盈虧問題是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人，由于物品和人數(shù)都未知，僅僅已知在兩次分配中一次是盈(有余)，一次是虧(不足)；或者兩次都盈余，或者兩次都虧的數(shù)量時，求參加分配的物品總量及人員總數(shù)。基本數(shù)量關(guān)系(盈+虧)÷(兩次分得之差)=人數(shù)；(大盈小盈)÷(兩次分得之差)=人數(shù)；(大虧小虧)÷(兩次分得之差)=人數(shù)。主要類型基本的盈虧問題類型1：“盈+虧”型1.高新區(qū)小學(xué)六（2）班的同學(xué)集體買了一個足球，如果每人拿2.5元錢，則少4元錢；如果每人拿2.8元錢，則多8元錢。六（2）班一共有多少人？足球單價是多少元？解：六（2）班總?cè)藬?shù)：（8+4）÷（2.82.4）=40（人），足球單位：2.5×40+4=104（元）。答：六（2）班一共有40人，足球單價104元。點撥：先判斷“盈+虧”型，再套用公式。2.幼兒園老師給小朋友分糖果，若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？解：（1）最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。人數(shù)：（10+1）÷（98）=11（人），糖果：8×11+10=98（塊），或9×111=98（塊）；（2）最后一人分不到9塊，但至少可以分到一塊，即最少是最后一人差8塊。人數(shù)：（10+8）÷（98）=18（人），糖果：8×18+10=154（塊），或9×188=154（塊）。98塊＜154塊答：這批糖果最多有154塊。點撥：往最壞處打算，即按最多8塊、至少1塊，分別糖果塊數(shù)，再進行比較，得到最多有幾塊。類型2：“盈+盈”型3.用一根繩子測量一口井的深度：若把繩子折成3折后垂到井底，則繩子的長度超過井口4米；若把繩子折成4折后垂到井底，則繩子的長度超過井口1米。求井的深度和繩子的長度各是多少米？解：井深：（3×41×4）÷（43）=8（米），繩長：3×8+3×4=36（米）。答：井深8米，繩長36米。點撥：先判斷“盈+盈”型，再套用公式；由“折成3折后垂到井底，則繩子的長度超過井口4米”，得繩子超過井口總長度為3×4=12（米）。4.一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分4粒就多9粒；如果每人分5粒正好分完。有多少位學(xué)生？共多少粒糖果？解：學(xué)生：9÷（54）=9（人），糖果：5×9=45（粒）。答：有9位學(xué)生，共45粒糖果。點撥：條件“如果每人分5粒正好分完”，可能這樣思考、運用：每人分5粒，虧0粒，從而“盈盈=90=9”。類型3：“虧+虧”型5.王老師去買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還差30元。兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？解：一把兒童小提琴：（11030）÷（75）=40（元），王老師帶的錢數(shù)：40×7110=170（元）。答：兒童小提琴40元一把，王老師帶了170元。6.實驗小學(xué)買來一批小足球分給各班：如果每班分4個，就差66個；如果每班分2個，則正好分完。實驗小學(xué)一共有多少個班？買來多少個足球？解：學(xué)校共有：66÷（42）=33（個），買來足球：33×2=66（個）。答：實驗小學(xué)一共有33個班，買來66個足球。點撥：條件“如果每班分2個，則正好分完”，可能這樣思考、運用：每班分2個粒，虧0個，從而“虧虧=660=66”。拓展的盈虧問題類型4：盈虧問題在長方形面積中的拓展7.一個長方形菜園，如果把寬改成30米，長不變，那么它的面積減少500平方米；如果使寬為52米，長不變，那么它的面積比原來增加600平方米，原來的長是多少米？面積是多少平方米？解：原來的長：（600+500）÷（5230）=50（米），面積：50×30+500=2000（平方米）。答：原來的長50米，面積是2000平方米。類型5：盈虧問題在復(fù)雜分配中的拓展8.媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人各分4個，其余人每人分2個，則多4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則少12個，媽媽買來橘子多少個？全家共有多少人？解：全家：[4+2×（42）+12（64）]÷（42）=9（人），橘子：2×9+2×4=26（個）。答：媽媽買來26個橘子，全家共有9人。9.有若干個蘋果和若干個梨，如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨。蘋果和梨各有多少個?解：由題意，得：1個蘋果搭配2個梨，缺2×2=4（個）梨；1個蘋果搭配（5÷3=）個梨，多1個梨。蘋果：（4+1）÷（2）=15（個），梨：2×154=26（個）。答：蘋果15個，梨26個。類型6：轉(zhuǎn)化法在盈虧問題中的應(yīng)用10.幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個；如果全部分給小班的小朋友，每人分8個，則缺2個。已知大班比小班多3人。這筐蘋果共有多少個？解：小朋友：（3×5+10+2）÷（85）=9（人），蘋果：8×92=70（個）。答：這筐蘋果共有70個。點撥：正確解答這道題的關(guān)鍵，在于正確使用條件“已知大班比小班多3人”；假設(shè)大班小班人數(shù)一樣多，“如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個”，就轉(zhuǎn)化成“每人分5個，則余下（3×5+10）個”，變成常規(guī)盈虧問題，進而解答。11.學(xué)校為新生分配宿舍，每個房間住3人，則多出22人；每個房間多住5人，則空1個房間。問宿舍有多少間？新生有多少人？解：房間總數(shù)：[22+（3+5）]÷[（5+3）3）]=6（間），新生：3×6+22=40（人）。答：宿舍有6間，新生40人。點撥：條件“每個房間多住5人，則空1個房間”，等同于每個房間住8（5+3=8）人，少8人；“每個房間多住5人”，即每個房間住5+3=8（人）。12.學(xué)校組織學(xué)生乘汽車外出春游，如果每車坐65人，則有15人乘不上車；如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。問一共有幾輛汽車？有多少學(xué)生？解：共有車：[15+（65+5）]÷[（65+5）65]=17（輛），共有學(xué)生：65×17+15=1120（人）。答：一共有17輛車，有1120名學(xué)生。點撥：條件“如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車”，處理方法同上題。13.解放軍某部調(diào)動一批戰(zhàn)士分乘一批車輛趕往汛地抗洪。原計劃每輛汽車乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車上；行進中由于緊急任務(wù)調(diào)走一輛車，這時只好重新安排每輛車乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中某輛車上。問原來有多少輛車？共派出多少名戰(zhàn)士？解：車輛：（357+5）÷（3532）=11（輛），人數(shù)：32×11+5=357（人）。答：原來有11輛車，共派出357名戰(zhàn)士。點撥：條件“調(diào)走一輛車，這時只好重新安排每輛車乘35人，這樣多出7人”，等同于“如果按原來車輛數(shù)，每輛乘35人，還缺357=28（人）”。類型7：盈虧問題在打折銷售中的應(yīng)用14.由于換季，商場準(zhǔn)備對某商品打折出售，如果按原售價的七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元，則該商品的原售價為（D）A.230元B.250元C.270元D.300元解：原售價：（25+20）÷[（175%）（190%）]=300（元）。答：該商品的原售價為300元。點撥：分配差是[（175%）（190%）]，而不是（90%75%）。說明：該題為2020年畢節(jié)中考題。類型8：名著中的盈虧問題15.《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元。問共有多少人？這個物品的價格是多少？請解答上述問題。解：人數(shù)：（4+3）÷（87）=7（人），價格：8×73=53（元）。答：共有7人，這個物品的價格是53元。鞏固訓(xùn)練1.媽媽買回一些蘋果，按計劃天數(shù)吃，若每天吃6個，則少8個；若每天吃4個，則多4個。媽媽買回多少個蘋果？解：計劃吃：（8+4）÷（64）=6（天），買回：4×6+4=28（個）。答：媽媽買回28個蘋果。2.妞妞由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。妞妞家到學(xué)校的路程是多少米？解：3×50=150（米），2×60=120（米），距離上課時間：（150+120）÷（6050）=27（分鐘），家到學(xué)校路程：50×（27+3）=1500（米）。答：妞妞家到學(xué)校的路程是1500米。點撥：遲到3分鐘、提前2分鐘，要轉(zhuǎn)化成走的路程；可以這樣思考：遲到3分鐘或提前2分鐘，是多走150米或少走120米造成的，進而利用盈虧問題公式，解答問題。3.用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米；如果繩子3折時，差4米。求繩子長度和井深。解：井深：（5×2+4×3）÷（32）=22（米），繩長：2×22+2×5=54（米）。答：繩子長54米，井深22米。點撥：此類問題，盈虧總長度為：折數(shù)×井外多的米數(shù)或折數(shù)×井外少的米數(shù)；計算繩子長時，也不要忘記乘折數(shù)。4.用一根繩子測量橋面到水面的距離，把繩子對折后垂到水面，繩子的長度超過橋面3米；把繩子折成三折后垂到水面，繩子的長度超過橋面0.2米。求繩子的長度和橋面到水面的距離。解：橋面到水面的距離：（2×33×0.2）÷（32）=5.4（米），繩子長：2×5.4+3×2=16.8（米）。答：繩子長16.8米，橋面到水面的距離為5.4米。5.幼兒園給獲獎的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā)9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？解：共有小朋友：（2412）÷（96）=4（人），糧：4×612=12（塊）。答：共有12塊糖。6.陽光小學(xué)三年級的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每人分3個正好分完，問：有多少位同學(xué)分多少個小玩具？解：同學(xué)：9÷（43）=9（人），玩具：3×9=27（個）。答：有9位同學(xué)，分27個玩具。7.學(xué)校為新生分配宿舍，每個房間住3人，則多出23人；每個房間住5人，則空出3個房間。問宿舍有多少間？新生有多少人？解：宿舍：（23+3×5）÷（53）=19（間），新生：3×19+23=80（人）。答：宿舍19間，新生80人。點撥：條件“每個房間住5人，則空出3個房間”，等同于“每個房間住5人，缺15人”。8.某小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游，如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？解：汽車：[5+（65+5）]÷[（65+5）65]=15（輛），學(xué)生：65×15+5=980（人）。答：汽車15輛，學(xué)生980人。點撥：條件的處理技巧，同類型5。9.小朋友分蘋果，每人分18個，還多出2個；每人分20個，就有一位小朋友分不到蘋果。共有多少個小朋友？多少個蘋果？解：小朋友：（20+2）÷（2018）=11（人），11×18+2=200（個）。答：共有11個小朋友，200個蘋果。點撥：條件“每人分20個，就有一位小朋友分不到蘋果”，等同于“每人分20個，缺20個”。10.東東從家去學(xué)校，如果每分走80米，結(jié)果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學(xué)校的路程是多少米？解：6×80=480（米），3×50=150（米），距離上課時間：（480+150）÷（8050）=21（分鐘），家到學(xué)校路程：80×（216）=1200（米）。答：東東家到學(xué)校的路程是1200米。11.大猴采到一堆桃子，分給一群小猴吃。如果其中兩只小猴各分得4個桃，其余每只小猴各分得2個桃，則最后剩4個桃；如果其中一只小猴分得6個桃，其余每只小猴各分得4個桃，那么還差12個桃，大猴共采到多少個桃？這群小猴共多少只？解：由題意，得：如果每個小猴分2個桃子，最后會剩下2×2+4=8（個），如果每只小猴分4個，還差122=10（個）。小猴子：（8+10）÷（42）=9（只），桃子：4×910=26（個）。答：大猴共采到26個桃子，這群小猴共有9只。點撥：正確解答本題關(guān)鍵，在于兩個轉(zhuǎn)化，一是把條件“如果其中兩只小猴各分得4個桃，其余每只小猴各分得2個桃，則最后剩4個桃”，轉(zhuǎn)化成“如果每個小猴分2個桃子，最后會剩下2×2+4=8（個）”；二是把條件“如果其中一只小猴分得6個桃，其余每只小猴各分得4個桃，那么還差12個桃”，轉(zhuǎn)化成“如果每只小猴分4個，還差122=10（個）”。12.用繩子測井深，把繩子折成三股來量，井外余米，把繩子折成四股來量，井外余米，井深多少米？繩子長多少米？解： 井深： （×3×4）÷（43）=（