第22講數(shù)列中的范圍與最值問題方法總結(jié)：1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)，判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）典型例題：例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．例2．（2022·江蘇南通·一模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最大值.例3．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列和滿足，，.(1)求與；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.例4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得恒成立的m的最小值.例5．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（文））已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求的最小值．例6．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在數(shù)列中，，且若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例7．（2022·浙江·溫州中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)若，對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為．①求；②若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．過關(guān)練習(xí)：一、單選題1．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項(xiàng)和為．若，則的最大值為（

）A．18 B．20C．22 D．242．（2022·山西臨汾·一模（文））已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或53．（江蘇省淮安市20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（

）A．2 B． C． D．34．（四川省2022屆高三診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且．則使的n的最小值為（

）．A．30 B．31 C．32 D．335．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．20216．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中不可能的是（

）注：和分別表示，，…中的最小值和最大值．A．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有B．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有C．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有D．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有8．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．79．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且，使得，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2022·浙江·高三期末）已知數(shù)列滿足，對任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且，記數(shù)列的則前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．1361 B．1481 C．1681 D．202111．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．1912．（2022·安徽亳州·高三期末（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（

）A．12 B．7 C．6 D．113．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．614．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．二、多選題18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差數(shù)列{}中，，公差，則使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，，則（

）A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．C． D．時(shí)，的最大值為20．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為Sn，則（

）A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．21．（江蘇省宿遷市20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C． D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為29三、雙空題22．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．四、填空題23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，且，則的最大值為________．24．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，（c為實(shí)數(shù)）．若，則當(dāng)取最小值時(shí)，n＝______．25．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．26．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在等差數(shù)列中，，當(dāng)取得最小值時(shí)，______.27．（2022·安徽黃山·一模（文））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.