第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建師大附中高三（上）第一次月考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|log2A.(0,14) B.[0,14)2.已知復數z=4?2i(1+i)2+ai(a∈R)A.2 B.?2 C.?23.已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2)(σ>0)，則“m=1”是“P(X≥mA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知一個底面內口直徑為26cm的圓柱體玻璃杯中盛有高為2cm的水，向該杯中放入一個半徑為rcm(r≥12)的實心冰球和一個半徑為(r+1)cm的實心鋼球，待實心冰球融化后實心鋼球恰好淹沒在水中(A.10πcm2 B.12πcm2 C.5.已知點A(x1,y1),B(x1+π3,y2)都是f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)圖象上的點，點A，B到x軸的距離均為1，把f(x)的圖象向左平移πA.3 B.5 C.10 D.116.已知A(x1,y1)B(x2,y2)是圓x2+y2A.43 B.33 C.7.某地計劃對如圖所示的半徑為a的直角扇形區域ABC按以下方案進行擴建改造，在扇形ABC內取一點P使得BP=64a，以BP為半徑作扇形PBE，且滿足∠PBE=2∠PBC=2θ，其中0<θ≤θ0<A.π12B.C.π4D.8.已知函數f(x)=ex，g(x)=lnx，正實數a，b，c滿足f(a)=g′(a)，f(b)g(b)=g(a)，g(c)+f(g(acA.b<a<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知O為坐標原點，焦點為F的拋物線C：x2=2py(p>0)過點M(2,1)，過M且與OM垂直的直線l與拋物線C的另一交點為N，則(

)A.p=2

B.|MF|=3

C.|MN|=125

D.直線l與拋物線C10.已知(m+x)4=a0+a1x+a2xA.m=2 B.a0+a1+a11.一般地，如果一個四面體存在由同一點出發的三條棱兩兩垂直，我們把這種四面體叫做直角四面體，記該點為直角四面體的直角頂點，兩兩垂直的三條棱叫直角四面體的直角棱，任意兩條直角棱確定的面叫直角四面體的直角面，除三個直角面外的一個面叫斜面.若一個直角四面體的三條直角棱長分別a，b，c，直角頂點到斜面的距離為d，其內切球的半徑為r，三個直角面的面積分別為S1，S2，S3，三個直角面與斜面所成的角分別為α，β，y，斜面的面積為S，則A.直角頂點在斜面上的射影是斜面的內心 B.cos2α+cos2β+cos三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記一組樣本數據10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數為a，平均數為b，則a?b=______．13.已知等差數列{an}的前n項積為Tn，a1+a9=43，14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與直線l：x=c(c=a2+b2)交于M，N兩點(點M位于第一象限)，點P是直線l上的動點，點A，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數f(x)=ex．

(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線l與坐標軸圍成的三角形的周長；

(2)若函數f(x)的圖象上任意一點P關于直線x=1的對稱點Q都在函數g(x)的圖象上，且存在x∈[0,1)，使f(x)?2ex≥m+g(x)成立，求實數m16.(本小題15分)

“九子游戲”是一種傳統的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結子、抽陀子九種不同的游戲項目.某小學為豐富同學們的課外活動舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用2n?1局n勝(n∈N?,n≥2)的單敗淘汰制，即先贏下n局比賽者最終獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經過多輪淘汰后甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1)，乙獲勝的概率為1?p．

(1)若n=2,p=23，設比賽結束時比賽的局數為X，求X的分布列與數學期望；

(2)設采用3局2勝制時乙最終獲勝的概率為P2，采用5局3勝制時乙最終獲勝的概率為P17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，△PAD是邊長為23的等邊三角形，E，F，G分別為PC，BC，AD的中點，AC與BG交于點H．

(1)證明：PH//平面DEF；

(2)若PH=10，求平面PAB18.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22．

(1)若橢圓E過點(2,2)，求橢圓E的標準方程．

(2)若直線l1，l2均過點P(pn,0)(0<pn<a,n∈N?)且互相垂直，直線l1交橢圓E于A，B兩點，直線l2交橢圓E于C，D兩點，M，N分別為弦AB19.(本小題17分)

若△ABC內一點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則稱點P為△ABC的布洛卡點，α為△ABC的布洛卡角.如圖，已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，點P為△ABC的布洛卡點，α為△ABC的布洛卡角．

(1)若b=c，且滿足PBPA=3，求∠ABC的大小．

(2)若△ABC為銳角三角形．

(i)證明：1tanα=1tan∠BAC+

參考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.?4

13.7

14.215.解：(1)由f(x)=ex，得f(0)=1，f′(x)=ex，

所以切線l的斜率為k=f′(0)=1，

所以切線l的方程為y?1=x，即y=x+1．

令x=0，得y=1，令y=0，得x=?1，

所以切線l與x軸交于點(?1,0)、與y軸交于點(0,1)，

所以切線l與坐標軸圍成的三角形的周長為1+1+(?1?0)2+(0?1)2=2+2．

(2)設Q(x,y)，則P(2?x,y)，

由題意知P(2?x,y)在f(x)的圖象上，所以y=e2?x，即g(x)=e2?x；

由f(x)?2ex≥m+g(x)，得f(x)?g(x)?2ex≥m，即ex?e2?x?2ex≥m，

因為存在x∈[0,1)，使f(x)?2ex≥m+g(x)成立，

所以存在x∈[0,1)，使ex?e2?x?2ex≥m成立．

16.解：(1)因為n=2，所以比賽采用3局2勝制，

所以X的所有可能取值為2，3，

則P(X=2)=(23)2+(13X23P54所以E(X)=2×59+3×49=229；

(2)由題意知P2=(1?p)2+C21(1?p)p(1?p)=(1?p)2(1+2p)，17.解：(1)證明：設AC與DF交于點M，連接ME．

因為F，G分別為BC，AD的中點，底面ABCD是菱形，

所以DG/?/BF且DG=BF，所以四邊形DFBG是平行四邊形，所以BG/?/DF，

因為F為BC的中點，所以M為CH的中點，因為E為PC的中點，所以EM//PH，

又PH?平面DEF，EM?平面DEF，所以PH//平面DEF；

(2)連接PG，因為△PAD是邊長為23的等邊三角形，G為AD的中點，所以PG⊥AD，PG=3．

因為底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，所以BG⊥AD，BG=3．

因為△AGH∽△CBH，所以GHBH=AGCB=12，所以GH=1．

因為PH=10，所以PG2+GH2=PH2，所以PG⊥GH，所以AD，GH，PG兩兩垂直，

以G為坐標原點，分別以AD，GH，PG所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(3,0,0)，D(?3,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，F(?3,3,0)，

所以PA=(3,0,?3)，PB=(0,3,?3)，PD=(?3,0,?3)，PF=(?3,3,?3)，

設平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，則n?PA18.解：(1)因為e=ca=22，

又a2=b2+c2，

所以a2=2b2，

此時橢圓E的方程為x22b2+y2b2=1，

因為橢圓E過點(2,2)，

所以42b2+2b2=1，

解得b2=4，

則橢圓E的標準方程為x28+y24=1；

(2)(i)當直線l1，l2中一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，

此時直線MN與x軸重合，不符合題意，

所以直線l1，l2的斜率均存在且不為0，

不妨設直線l1的方程為y=k(x?pn)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，

聯立x19.解：(1)若b=c，即AB=AC，得∠ABC=∠ACB，

點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，則∠PCB=∠PBA，

在△PCB和△PBA中，∠PCB=∠PBA，∠PAB=∠PBC=θ，

所以△PCB與△PBA相似，且PBPA=3，

所以BCAB=ac=3，即a=3c，

由余弦定理得：cos∠ABC=a2+c2?b22ac，且a