2024～2025學年度第一學期期中學業水平診斷高二數學注意事項：1、本試題滿分150分，考試時間為120分鐘，2、答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題卡上，3．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1．在空間直角坐標系中，點關于面對稱的點的坐標為（）A． B． C． D．2．已知直線和直線平行，則實數m的值為（）A．0 B． C．1 D．或13．在三棱錐中，點M在線段上，且，N為中點，設，，，則（）A． B． C． D．4．已知直線的一個方向向量為且過點，則的方程為（）A． B． C． D．5．正四棱柱中，，E，F，G分別是，，的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．過點的直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．7．在平行六面體中，底面是正方形，，，，M是棱的中點，與平面交于點H，則線段的長度為（）A． B． C． D．8．過直線上一點P作圓的切線，，切點為A，B，當最小時，直線的方程為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列命題正確的有（）A．若直線a的方向向量與平面的法向量垂直，則B．若為空間的一個基底，則可構成空間的另一個基底C．已知向量，，若，則為鈍角D．在四面體中，若Q為的重心，則10．已知直線與圓，則（）A．當時，直線平分圓CB．直線與圓C總有兩個公共點C．直線被圓C截得的最短弦長為D．被圓C截得的弦長為的直線有且只有1條11．正方體的棱長為2，點P是正方體表面上一個動點，則下列說法正確的有（）A．若P是線段上的動點，則B．若P是線段上的動點，的最小值為C．若E是的中點，且，則點P的軌跡圍成圖形的面積為D．若E，F分別是線段，的中點，當P在底面上運動，且滿足平面，則線段的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫出一個圓心在y軸上，且與直線相切的圓的標準方程______．13．已知向量在向量上的投影向量是，且，則______．14．已知點P是直線與直線的交點，則點P的軌跡方程為______；若點Q是圓上的動點，則的最大值為______（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）如圖，在邊長為2的正方體中，E，F分別是棱和的中點．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．16．（15分）已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為．（1）求直線的方程和點C的坐標；（2）求的面積．17．（15分）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，，．（1）證明：平面平面；（2）若E為棱中點，求直線與平面所成角的余弦值．18．（17分）已知一動點A在圓上移動，它與定點連線的中點為M．（1）求點M的軌跡方程；（2）過定點的直線與點M的軌跡交于P，Q兩點．（Ⅰ）試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（Ⅱ）若，求直線的方程．19．（17分）如圖，在三棱臺中，上下底面分別為邊長是2和4的等邊三角形，平面，且四棱錐的體積為，M為的中點，N為線段上一點．（1）若N為的中點，證明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在點N使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由．2024～2025學年度第一學期期中學業水平診斷高二數學參考答案及評分標準一、選擇題ABDBDCAB二、選擇題9．BD10．ABD11．AD三、填空題12．，等13．14．，四、解答題15．（1）證明：以D為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．所以，，，設平面的法向量為，所以，令得，，所以，又平面，所以平面；（2），點F到平面的距離，由題意可知，，，，，所以，所以，三棱錐的體積．16．解：（1）因為邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為，所以聯立，得，設點關于直線的對稱點為，所以解得，即，所以，所以直線的方程為．設直線的方程為，過點，所以，直線的方程為，聯立，解得．（2）因為邊所在直線方程為，所以，點A到直線的距離，，所以．17．（1）證明：取中點O，連結，，，在中，，，所以為等邊三角形，所以，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，所以，為二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．（2）解：以O為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．所以，，且，，，設平面的法向量為，所以，令，，設直線與平面所成角為，則，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為．18．解：（1）設點M的坐標是，點A的坐標是，由于點B的坐標是，且M是線段的中點，所以，，于是，①因為點A在圓上上運動，所以點A的坐標滿足圓的方程，即②．把①代入②，得，整理，得，（2）①為定值，過點作直線與圓M相切，切點為T，易得．，所以為定值，且定值為12．②依題意可知，直線的斜率k存在且不為零，設．設，，將代入，并整理，得，∴，，∴，∴或．經檢驗，時，時，，所以．所以，直線的方程為．19．解：（1）證明：設，可知的面積，的面積，三棱臺的體積，所以．連結，可得，，所以，即，因為M，N分別為，的中點，所以，所以，因為平面，平面，所以，易知，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面．（2）解：以M為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，．所以，，