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文檔簡(jiǎn)介

6.2

微積分基本公式

本節(jié)我們介紹微積分學(xué)的基本公式,也稱(chēng)為牛頓－萊布尼茲公式.它揭示了定積分和原函數(shù)之間的聯(lián)系,提供了一個(gè)簡(jiǎn)便有效的計(jì)算定積分的方法，促成了微積分方法的大發(fā)展。定理6.1

微積分基本公式則設(shè)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，是

的一個(gè)原函數(shù)，牛頓—萊布尼茨公式則定積分記為稱(chēng)為積分上限函數(shù).是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù),設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點(diǎn),并設(shè)x為[a,b]積分上限函數(shù)的概念或變上限積分.注意:如果

f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo),定理6.2

積分上限函數(shù)的基本性質(zhì)即且有由積分中值定理即證例6.7

設(shè)，求

.解令，則

推廣練習(xí)例

解這是型未定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則及等價(jià)無(wú)窮小代換來(lái)計(jì)算.例求極限解這是

型未定式,分析用洛必達(dá)法則練習(xí)微積分基本公式的證明證設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，而

也是的一個(gè)原函數(shù),注意到為了書(shū)寫(xiě)方便牛頓—萊布尼茨公式解例6.8

計(jì)算定積分

解例6.9

計(jì)算定積分

解例6.10

計(jì)算曲線在的平面圖形的面積.上與x軸所圍成面積例6.11

設(shè)

,求解解例6.12

計(jì)算

原式解因定積分是數(shù)值,于是例6.13

設(shè)

則等式兩邊在[0,1]上積分,得證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個(gè)實(shí)

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