3.10零點定理（精講）思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一求零點【例1】（2020·福鼎市第二中學高三學業考試）函數的零點為（）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】令，解得，故選：C【一隅三反】1．（2021·河南高三月考）已知函數的圖象關于直線對稱，則下面不是的零點為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，所以代入選項驗證可知.都是函數的零點，不是函數的零點，故選：C.2．（2021·上海高三二模）函數的零點為___________．【答案】【解析】令，得，兩邊平方得：，解得，所以函數的零點為1.故答案為：1.3．（2021·黑龍江大慶市）函數是奇函數，則函數的零點是______.【答案】【解析】由奇函數知：，∴當時，則，故，∴，令，∴當時，；當時，；故答案為：.考點二零點區間【例2】（2021·北京清華附中高三）函數的零點一定位于區間（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得為連續函數，且在單調遞增，，，，根據零點存在性定理，，所以零點一定位于區間.故選：C【方法總結】【方法總結】確定函數f(x)的零點所在區間的常用方法(1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷【一隅三反】1．（2021·寧夏高三）函數的零點所在的區間為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由為增函數，為增函數，故為增函數，由，，根據零點存在性定理可得使得，故選：B.2．（2021·全國高三專題練習）函數，則函數的零點所在區間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數的圖象在上連續，且函數在上單調遞增，因為，，所以，，，因此，函數的零點所在的區間為.故選：C.3．（2021·新疆高三三模）函數的零點所在的區間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上是增函數，，，，，，根據零點存在定理可知，零點在區間.故選：C.4．（2021·陜西西安市·西安中學）函數的零點所在的區間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】：函數，畫出與的圖象，如下圖：當時，，當時，，函數的零點所在的區間是．故選：D．考點三零點個數【例3】（1）（2021·全國高三專題練習）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區間[2，4)上則函數的零點的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6(2)（2021·上海市控江中學高三三模）方程在區間上的解的個數是（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因為f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期為4的奇函數，先畫出函數f(x)在區間[2，4)上的圖象，根據奇函數和周期為4，可以畫出f(x)在R上的圖象，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分別畫出y＝f(x)和y＝log5|x|的圖象，如下圖，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到兩個圖象有5個交點，所以零點的個數為5.故選：C（2）原方程化為，在同一坐標系內作出函數圖象與直線，如圖：觀察圖象知：在時函數的圖象與直線有8個公共點，所以方程在區間上8個解.故選：C【方法總結】【方法總結】函數零點個數的判斷方法(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數f(x)在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數；(3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數．【一隅三反】1．（2021·全國高三）函數的零點個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，作出函數與的圖形如圖，由圖可知，函數的零點個數是2．故選：C．2．（2021·山東煙臺市·高三二模）已知函數是定義在區間上的偶函數，且當時，，則方程根的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的個數，即為求與的交點個數，由題設知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個交點，又由在上是偶函數，∴在上也有3個交點，故一共有6個交點.故選：D.3．（2021·遼寧高三月考）已知的定義域為，且滿足，若，則在內的零點個數為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，當時，，則，當時，，則，以此類推，當時，，且函數在區間上為增函數，，所以，函數在區間上有且只有一個零點，且，因此，在內的零點個數為.故選：B.4．（2021·北京市大興區精華培訓學校高三三模）已知函數是定義域為的奇函數.當時，，則函數在上的零點個數為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，而函數是定義域為的奇函數，所以，故，又為R上的奇函數，故在與時零點個數相同，故只需研究時的情形，對，,在同一直角坐標系中作出與的圖象，由圖可知，時，函數圖象有2個交點，所以總共有個零點故選：C考點四零點之和【例4】（1）（2021·全國高三）函數在上的所有零點之和為（）A． B． C． D．（2）（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三月考）已知函數，若函數與的圖像相交于，兩點，且，兩點的橫坐標分別為，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）令，得．分別畫出函數的圖象，由圖可知，的對稱軸為，的對稱軸為．所以所有零點之和為．故選：B．（2）作出函數，的圖象如圖，不妨設，當經過點時，，聯立得，所以；因為與的圖象關于直線對稱，而與垂直，所以，且.令，且，則易知為增函數，所以，因為，所以.故選：D.【一隅三反】1．（2021·廣東佛山市·高三其他模擬）函數在區間上的所有零點之和為（）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出和的圖象，如圖，它們關于點對稱，由圖象可知它們在上有8個交點，且關于點對稱，每對稱的兩個點的橫坐標和為，所以8個點的橫坐標之和為．故選：D．2．（2021·貴州貴陽市）函數在區間上所有零點的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】，令，則，則函數的零點就是和交點的橫坐標，可得和的函數圖象都關于對稱，則交點也關于對稱，畫出兩個函數的圖象，觀察圖象可知，和在有8個交點，即有8個零點，且關于對稱，故所有零點的和為.故選：D.3．（2021·全國高三）已知關于的方程有三個不同的根，分別為，則＝（）A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】令，如圖所示：令，要使有不同的零點，則有2個不同的根，則或，或，或，故當時，，當時，，故關于的方程的其中1個根必須為2或﹣2，此時直線或直線時剛好與函數相切，當時，不合題意，由，得，若，則該方程無解，不合題意，由，得：，當，此時，不合題意，當，此時，解得：，由，當，解得：，當，整理得，故，故，故選：B．4．（2021·全國高三）已知函數則方程的所有實根之和為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以函數的圖象關于點對稱．顯然不是方程的根，當時，原方程可變為，畫出函數和的圖象(如圖所示)，由圖知，二者僅有兩個公共點設為，因為函數和的圖象都關于點對稱，所以關于點對稱，所以，即故選：A考點五已知零點求參數【例5】（2021·浙江臺州市·高三二模）若函數在上有兩個不同的零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數在上有兩個不同的零點等價于方程在上有兩個不同的解，即在上有兩個不同的解.此問題等價于與有兩個不同的交點.由下圖可得.故選：D.【一隅三反】1．（2021·湖北黃岡市·黃岡中學高三其他模擬）若函數在區間（－1，1）上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】因為為開口向上的拋物線，且對稱軸為，在區間（－1，1）上有兩個不同的零點，所以，即，解得，所以實數a的取值范圍是.故選：B2．（2021·河南高三月考）已知函數，若關于的方程有四個不同的實根，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】畫出的函數圖象，設，該直線恒過點，結合函數圖象，可知若方程有四個不同的實數根，則且直線與曲線，，有兩個不同的公共點，所以在內有兩個不等實根，令，實數滿足，解得，又，所以實數的取值范圍是.故選：D.3．（2021·河南新鄉市·高三三模））已知函數.若關于的方程恰有兩個不同的實根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，故不是方程的根，當時，由得，，方程恰有兩個不同的實根等價于直線y=a與函數的圖像有兩個不同的交點，作出函數的大致圖像如圖所示，由圖可知，或.故選：C.4（2021·江西師大附中高三三模）已知同時滿足以下條件：①當時，最小值為；②；若在有2個不同實根m，n，且，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數，的最大值為2，最小值為.當時，則分別在取得最大值和最小值.所以的最小值為，∴，函數．由，則的圖象關于直線對稱，故有，即，．由，則，函數．在有2個不同實根，，且，設，則在有2個不同實根則，由，則作出在的圖象，如圖.，且所以當時，直線與的圖象有兩個交點即方程有兩個不等實根，且.所以當時，有兩個不等實根，，且所以，故選：D．考點六二分法【例6】（2021·六盤山高級中學）用二分法求函數的一個零點，根據參考數據，可得函數的一個零點的近似解（精確到0.1）為（）（參考數據：，，，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，，又因為函數在上連續，所以函數在區間上有零點，約為故選：C.【一隅三反】1．（2020·長沙市·湖南師大附中）用二分法求函數在區間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區間的次數最少為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】根據題意，原來區間的長度等于1，每經過二分法的一次操作，區間長度變為原來的一半，則經過n次操作后，區間的長度為，若，即.故選：B．2．（2020·海口市第四中學高三期中）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區間是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，在上單調遞增.∵，.∴根據函數的零點存在性定理得出：的零點在區間內；方程的解所在的區間為，故選：B.3．（2021·全國高三專題練習）如圖是函數f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】結合圖象可得：ABD選項每個區間的兩個端點函數值異號，可以用二分法求出零點，C選項區間兩個端點函數值同號，不能用二分法求零點.故選：C4．（2020·湖北黃岡市·高三）求下列函數的零點，可以采用二分法的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不是單調函數，，不能用二分法求零點；是單調函數，，能用二