2024-2025學年廣西壯族自治區南寧市高二上學期期中數學檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.2.復數，則z的虛部為（）A. B. C. D.3.已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A. B. C. D.4.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若實數m滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.焦距相等 C.實軸長相等 D.虛軸長相等6.已知橢圓，為兩個焦點，為橢圓上一點，若，則的面積為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線的右半支上，點，則的最小值為（）A B.4 C.6 D.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為，，點Px1,y1是A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若，則直線傾斜角為C.若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點D.直線的縱截距為10.已知點在拋物線（）上，F為拋物線的焦點，，則下列說法正確的是（）A. B.點F的坐標為C.直線AQ與拋物線相切 D.11.已知正方體棱長為4，點N是底面正方形ABCD內及邊界上的動點，點M是棱上的動點（包括點），已知，P為MN中點，則下列結論正確的是（）A.無論M，N在何位置，為異面直線 B.若M是棱中點，則點P軌跡長度為C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP與平面所成角的正弦最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與之間的距離是__________.13.若圓與圓相內切，則______.14.已知雙曲線焦點分別為為雙曲線上一點，若，則雙曲線的漸近線方程為____________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知拋物線的焦點為，且拋物線上一點到焦點的距離為5，求拋物線的方程；（2）已知圓C的圓心在軸上，并且過原點和，求圓C的方程.16.記的內角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓的左?右焦點分別為為橢圓的上頂點時，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.19.已知雙曲線左右頂點分別為，過點直線交雙曲線于兩點.（1）若離心率時，求的值．（2）若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．（3）連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．2024-2025學年廣西壯族自治區南寧市高二上學期期中數學檢測試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先求，再求交集.【詳解】，，所以.故選：B2.復數，則z的虛部為（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】根據復數的除法運算，化簡復數，進而可求虛部.【詳解】，故的虛部為，故選：B3.已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，利用空間向量數量積的坐標運算可求得實數的值.【詳解】因為空間向量，，且與垂直，則，解得.故選：A.4.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.5.若實數m滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.焦距相等 C.實軸長相等 D.虛軸長相等【正確答案】B【分析】根據雙曲線的性質逐一分析判斷即可.【詳解】因為，所以，所以曲線與曲線都是焦點在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點和焦距都相同，故B正確；因為，所以離心率不相等，故A錯誤；因為，所以實軸長不相等，故C錯誤；因為，所以虛軸長不相等，故D錯誤.故選：B.6.已知橢圓，為兩個焦點，為橢圓上一點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先得，進一步得焦距，由橢圓定義結合得，由此即可進一步求解.【詳解】由題意，所以，因為，所以，而，所以，所以的面積為.故選：C.7.已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線的右半支上，點，則的最小值為（）A. B.4 C.6 D.【正確答案】D【分析】首先利用雙曲線的定義轉化，再結合圖象，求的最小值，再聯立方程求交點坐標.【詳解】由題意并結合雙曲線的定義可得，當且僅當，，三點共線時等號成立.而直線的方程為，由可得，所以，所以點的坐標為32,所以當且僅當點的坐標為32,12時，的最小值為故選：D.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為，，點Px1,y1是A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由點Px1,y1在上，結合兩點之間的距離公式和橢圓的定義求出即，再利用內切圓的性質得到，即可求出的離心率.【詳解】設，則F1?c,0，；由點Px1,y1在上，則有所以；又，所以，，則；如圖1，由焦點的內切圓可得：，，，所以；又，所以，即，故選：A．關鍵點點睛：本題的關鍵點是推理出二級結論：點Px1,y1在橢圓上，則，，再結合內切圓的性質，建立關于的等量關系二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若，則直線的傾斜角為C.若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點D.直線的縱截距為【正確答案】BCD【分析】根據每一個選項具體直線，以及直線的性質判斷每一個選項即可.【詳解】傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時，斜率為負，故A錯；由于的橫坐標相等，即直線與軸垂直，故傾斜角為，故B對；由題設，直線方程為，顯然在直線上，故C對；直線在軸上的截距為，故D對.故選：BCD10.已知點在拋物線（）上，F為拋物線的焦點，，則下列說法正確的是（）A. B.點F坐標為C.直線AQ與拋物線相切 D.【正確答案】AC【分析】將代入拋物線可得，即可判斷ABD,根據直線與拋物線聯立后判別式為0，即可求解.【詳解】將代入中可得，故，F1,0,A正確，B錯誤，,則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯誤，故選：AC11.已知正方體棱長為4，點N是底面正方形ABCD內及邊界上動點，點M是棱上的動點（包括點），已知，P為MN中點，則下列結論正確的是（）A.無論M，N在何位置，為異面直線 B.若M是棱中點，則點P的軌跡長度為C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP與平面所成角的正弦最大值為【正確答案】ABD【分析】根據相交，而即可判斷A，建立空間直角坐標系，利用坐標運算可判斷P的軌跡長度為半徑為的圓的，即可判斷B，根據法向量與方向向量垂直即可判斷C,根據線面角的向量法，結合基本不等式即可求解.【詳解】由于相交，而，因此為異面直線，A正確，當M是棱中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設,故，且，由于，故，化簡得，由于，所以點P的軌跡長度為半徑為的圓的，故長度為，B正確，設,則，且，，,設平面的法向量為，則，令，則,，故，由于，故，化簡得，聯立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯誤，由于平面，平面，故,又四邊形為正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量為，設AP與平面所成角為，則，則，當且僅當時取等號，，x∈0,2時，令，則，故，由于，當且僅當，即時等號成立，此時，由且可得因此，由于，，故的最大值為，故D正確，、故選：ABD方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關的題目歸根到底還是對點線面關系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與之間的距離是__________.【正確答案】12##【分析】借助兩平行線間的距離公式計算即可得.【詳解】平行直線與之間的距離為.故答案為.13.若圓與圓相內切，則______.【正確答案】-23【分析】求出兩圓的圓心，確定在圓外部，所以圓內切于圓，由圓心距得到方程，計算即可.【詳解】由，顯然，圓相內切，將點坐標代入圓方程知，即在圓外部，所以圓內切于圓，則有，解之得.故14.已知雙曲線的焦點分別為為雙曲線上一點，若，則雙曲線的漸近線方程為____________.【正確答案】【分析】設，先利用余弦定理得，然后根據，兩邊同時平方得，進而計算可得答案.【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設在第一象限，設，又，所以，所以，因為為的中點，所以，即，所以兩邊平方得，所以，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知拋物線的焦點為，且拋物線上一點到焦點的距離為5，求拋物線的方程；（2）已知圓C的圓心在軸上，并且過原點和，求圓C的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據點在拋物線上，根據拋物線定義，確定值，即可求解.（2）由已知,設出圓C方程x2+(y?b)2=r2r>0，代入原點和，可得【小問1詳解】因為拋物線上一點到焦點的距離為5，準線為，故，則，故拋物線標準方程為.【小問2詳解】因為圓C的圓心在軸上，則設圓C方程為x2由已知，圓C過原點和，由已知，解得，所以圓C方程為.16.記的內角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據二倍角公式，結合正弦定理邊角互化，即可求解，（2）根據面積公式可得的值，結合余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為，所以.根據正弦定理，得，因為，所以.又，所以.【小問2詳解】在中，由已知，因為由余弦定理可得，即7，即，又,所以.所以的周長周長為.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直得到，再由線面垂直的判定定理得到結果即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，代入空間二面角公式求解即可；【小問1詳解】是等邊三角形，是的中點，，又平面平面，又平面平面平面.【小問2詳解】由（1）得平面，連接，建立以為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示，底面是邊長為4的正方形，則，，則，設平面的法向量為n=x,y,z，則取，則平面的法向量為，又平面的法向量為，平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓左?右焦點分別為為橢圓的上頂點時，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，且，求證：（為坐標原點）的面積為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意可得，結合三角形面積公式計算可得，即可得；（2）聯立直線與橢圓方程，可得與交點橫坐標有關韋達定理，結合面積公式與所給等式計算即可得解.【小問1詳解】根據題意，，在橢圓上頂點，此時.所以，則求橢圓的方程；【小問2詳解】如圖所示，設，聯立直線與橢圓方程得，.，又，因為點到直線的距離，且，所以，綜上，的面積為定值.19.已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.（1）若離心率時，求的值．（2）若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．（3）連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據離心率公式計算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設直線，聯立雙曲線方程得到韋達定理式，再代入計算向量數量積的等式計算即可.【小問1詳解】由題意得，則，．【小問2詳解】當時，雙曲線，其中，，因為為等腰三角形，則①當以為底時，顯然點在直線上，這與點在第一象限矛盾，故舍去；②當以為底時，，設，則,聯立解得或或，因為點在第一