1.6三角函數模型的簡潔應用（第1課時）一、教學分析三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型,可以用來探討許多問題,在刻畫周期改變規律、預料其將來等方面都發揮著非常重要的作用.三角函數模型的簡潔應用的設置目的,在于加強用三角函數模型刻畫周期改變現象的學習.本節教材通過4個例題,按部就班地從四個層次來介紹三角函數模型的應用,在素材的選擇上留意了廣泛性、真實性和新奇性,同時又關注到三角函數性質(特殊是周期性)的應用.通過引導學生解決有肯定綜合性和思索水平的問題,培育他們綜合應用數學和其他學科的學問解決問題的實力.培育學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等實力.由于實際問題經常涉及一些困難數據,因此要激勵學生利用計算機或計算器處理數據,包括建立有關數據的散點圖,依據散點圖進行函數擬合等.二、教學目標1．學問與技能．切身感受數學建模的全過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用及數學和日常生活和其它學科的聯系。．三、教學重點與難點教學重點:分析、整理、利用信息,從實際問題中抽取基本的數學關系來建立三角函數模型,用三角函數模型解決一些具有周期改變規律的實際問題.教學難點:將某些實際問題抽象為三角函數的模型,并調動相關學科的學問來解決問題.四、教學設想三角函數模型的簡潔應用（一）一、導入新課思路1.(問題導入)既然大到宇宙天體的運動,小到質點的運動以及現實世界中具有周期性改變的現象無處不在,那么原委怎樣用三角函數解決這些具有周期性改變的問題？它究竟能發揮哪些作用呢？由此綻開新課.思路2.我們已經學習了三角函數的概念、圖象與性質,特殊探討了三角函數的周期性.在現實生活中,假如某種改變著的現象具有周期性,那么是否可以借助三角函數來描述呢？回憶必修1第三章其次節“函數模型及其應用”,面臨一個實際問題,應當如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？以下通過幾個詳細例子,來探討這種三角函數模型的簡潔應用.二、推動新課、新知探究、提出問題①回憶從前所學,指數函數、對數函數以及冪函數的模型都是常用來描述現實世界中的哪些規律的?②數學模型是什么,建立數學模型的方法是什么?③上述的數學模型是怎樣建立的?④怎樣處理搜集到的數據?活動:師生互動,喚起回憶,充分復習前面學習過的建立數學模型的方法與過程.對課前已經做好復習的學生賜予表揚,并激勵他們類比以前所學學問方法,接著探究新的數學模型.對還沒有進入狀態的學生,老師要幫助回憶并快速激起相應的學問方法.在老師的引導下,學生能夠較好地回憶起解決實際問題的基本過程是:收集數據→畫散點圖→選擇函數模型→求解函數模型→檢驗→用函數模型說明實際問題.這點很重要,學生只要有了這個認知基礎,本節的簡潔應用便可迎刃而解.新課標下的教學要求,不是老師給學生解決問題或帶領學生解決問題,而是老師引領學生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知.探討結果:①描述現實世界中不同增長規律的函數模型.②簡潔地說,數學模型就是把實際問題用數學語言抽象概括,再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時,所得出的關于實際問題的數學描述.數學模型的方法,是把實際問題加以抽象概括,建立相應的數學模型,利用這些模型來探討實際問題的一般數學方法.③解決問題的一般程序是:①審題:逐字逐句的閱讀題意,審清晰題目條件、要求、理解數學關系；②建模:分析題目改變趨勢,選擇適當函數模型；③求解:對所建立的數學模型進行分析探討得到數學結論；4°還原:把數學結論還原為實際問題的解答.④畫出散點圖,分析它的改變趨勢,確定合適的函數模型.三、應用示例例1如圖1,某地一天從6—14時的溫度改變曲線近似滿意函數y=sin(ωx+φ)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫出這段曲線的函數解析式.活動:這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時老師與學生一起探討.本例是探討溫度隨時間呈周期性改變的問題.老師可引導學生思索,本例給出模型了嗎？給出的模型函數是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學生自己探討解決.題目給出了某個時間段的溫度改變曲線這個模型.其中第(1)小題事實上就是求函數圖象的解析式,然后再求函數的最值差.老師應引導學生視察思索:“求這一天的最大溫差”實際指的是“求6是到14時這段時間的最大溫差”,可依據前面所學的三角函數圖象干脆寫出而不必再求解析式.讓學生體會不同的函數模型在解決詳細問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數法求出解析式中的未知參數,即可確定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通過建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時間的最大溫差是20℃.(2)從圖中可以看出,從6—14時的圖象是函數y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.將x=6,y=10代入上式,解得φ=.綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].點評:本例中所給出的一段圖象事實上只取6—14即可,這恰好是半個周期,提示學生留意抓關鍵.本例所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度改變狀況,因此應當特殊留意自變量的改變范圍,這點往往被學生忽視掉.例2函數y=|sinx|的一個單調增區間是()A.(,)B.(,)C.(π,)D.(,2π)答案:C例3如圖2,設地球表面某地正午太陽高度角為θ,δ為此時太陽直射緯度,φ為該地的緯度值,那么這三個量之間的關系是θ=90°-|φ-δ|.當地夏半年δ取正值,冬半年δ取負值.假如在北京地區(緯度數約為北緯40°)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應小于多少?活動:如圖2本例所用地理學問、物理學問較多,綜合性比較強,需調動相關學科的學問來幫助理解問題,這是本節的一個難點.在探討時要讓學生充分熟識實際背景,理解各個量的含義以及它們之間的數量關系.圖2首先由題意要知道太陽高度角的定義:設地球表面某地緯度值為φ,正午太陽高度角為θ,此時太陽直射緯度為δ,那么這三個量之間的關系是θ=90°-|φ-δ|.當地夏半年δ取正值,冬半年δ取負值.依據地理學問,能夠被太陽直射到的地區為南、北回來線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知太陽高度角θ、樓高h0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關系:h0=htanθ.由地理學問知,在北京地區,太陽直射北回來線時物體的影子最短,直射南回來線時物體的影子最長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應當考慮太陽直射南回來線時的狀況.圖3解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回來線、赤道、南回來線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應取太陽直射南回來線的狀況考慮,此時的太陽直射緯度－23°26′.依題意兩樓的間距應不小于MC.依據太陽高度角的定義,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在蓋樓時,為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當于樓高兩倍的間距.點評:本例是探討樓高與樓在地面的投影長的關系問題,是將實際問題干脆抽象為與三角函數有關的簡潔函數模型,然后依據所得的函數模型解決問題.要干脆依據圖2來建立函數模型,學生會有肯定困難,而解決這一困難的關鍵是聯系相關學問,畫出圖3,然后由圖形建立函數模型,問題得以求解.這道題的結論有肯定的實際應用價值.教學中,老師可以在這道題的基礎上再提出一些問題,如下例的變式訓練,激發學生進一步探究.變式訓練某市的緯度是北緯23°,小王想在某住宅小區買房,該小區的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每層樓高為3米,依據以上數據,所以他應選3層以上.四、課堂小結1.本節課學習了三個層次的三角函數模型的應用,即依據圖象建立解析式,依據解析式作出圖象,將實際問題抽象為與三角函數有關的簡潔函數模型.你能概括出建立三角函數模型解決實際問題的基本步驟嗎？2.實際問題的背景往往比較困難,而且須要綜合應用多學科的學問才能解決它.因此,在應用數學學問解決實際問題時,應當留意從困難的背景中抽取基本的數學關系,還要調動相關學科學問來幫助理解問題.五、作業1.圖5表示的是電流I與時間t的函數關系圖5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一個周期內的圖象.(1)依據圖象寫出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)為了使I=Asin(ωx+φ)中的t在隨意一段s的時間內電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數ω的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個零點為(－,0),其次個零點為(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依題意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.2.搜集、歸納、分類現實生活中周期改變的情境模型.解:如以下兩例:①人體內部的周期性節律改變和個人的習慣性的生理改變,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節奏、饑餓程度等；②蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節肢動物,以及線形動物等的體表具有堅硬的幾丁質層,雖有愛護身體的作用,但限制動物的生長、發育