2025屆高三上學期10月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數單位，復數滿足，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．1或3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A． B． C． D．14．已知函數滿足，且在區間上單調遞減.設，，，則（

）A． B．C． D．5．已知圓錐的母線長為定值R，當圓錐的體積最大時，圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．6．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．若正項等比數列滿足，則數列的前4項的和的值是（

）A． B． C． D．8．已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在直三棱柱中，，，，側面的對角線交點，點是側棱上的一個動點，下列結論正確的是（）A．直三棱柱的側面積是B．直三棱柱的外接球表面積是C．三棱錐的體積與點的位置無關D．的最小值為10．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則此三角形為直角三角形C．若，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則11．已知數列的首項為，且，數列，數列，數列的前項和分別為，則（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，且，則的最小值是．13．已知函數在區間上有且僅有5個零點，則的取值范圍是．14．設函數給出下列四個結論：

①當時，函數在上單調遞減；②若函數有且僅有兩個零點，則；③當時，若存在實數，使得，則的取值范圍為；④已知點，函數的圖象上存在兩點，關于坐標原點的對稱點也在函數的圖象上．若，則．其中所有正確結論的序號是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等比數列的前項和為，，數列滿足．(1)求數列，的通項公式；(2)令，求的前項和．16．如圖，在三棱錐中，，，分別是側棱，，的中點，，平面.(1)求證：平面平面；(2)如果，，求二面角的余弦值.17．近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.(1)該校學生甲,乙,丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲,乙,丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學生丁每周六,日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其值低于1分的概率為0.02.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過.若抽取次數的期望值不超過23，求的最大值.參考數據：.18．已知橢圓的離心率為，過點的直線交橢圓于點，且當軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的左焦點為，若過三點的圓的圓心恰好在軸上，求直線的斜率.19．對于四個正數m、n、p、q，若滿足，則稱有序數對是的“下位序列”．(1)對于2、3、7、11，有序數對是的“下位序列”嗎？請簡單說明理由；(2)設a、b、c、d均為正數，且是的“下位序列”，試判斷、、之間的大小關系；(3)設正整數n滿足條件：對集合內的每個m，總存在正整數k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數n的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：C.2．【答案】C【詳解】設，則，，因為，所以，或當時，；當時，.故選：C3．【答案】D【詳解】解：由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以.所以，D正確．故選：D.4．【答案】D【詳解】由，得到對稱軸為，則，而，又在上單調遞減，則，得.故選：D5．【答案】B【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，則，可得，則圓錐的體積，則，當時，；當時，；則在上單調遞增，在內單調遞減，可知當，即時，圓錐的體積取到最大值.故選：B.6．【答案】A【詳解】由函數的圖象可得：當時，函數單調遞增，則，當時，函數單調遞減，則．當時，函數單調遞增，則，由①或②解①得，，解②得，，綜上，不等式的解集為.故選：A．7．【答案】A【詳解】設正項等比數列的公比為，因為，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以數列的前4項的和的值為.故選A8．【答案】D【分析】利用二項分布的概率即可得解．【詳解】由已知命中的概率為，不命中的概率為，射擊4次，命中兩次，故概率.故選D.9．【答案】ACD【分析】首先計算長，再根據直棱柱的側面積公式，即可判斷A；首先計算外接圓的半徑，再根據幾何關系求外接球的半徑，代入公式，即可判斷B；根據體積公式，結合線與平面平行的關系，即可判斷C；利用展開圖，結合幾何關系，即可判斷D.【詳解】A.中，，所以直棱柱的側面積為，故A正確；B.外接圓的半徑，所以直棱柱外接圓的半徑，則直三棱柱外接球的表面積，故B錯誤；C.因為，且平面，平面，所以平面，點在上，所以點到平面的距離相等，為等腰三角形底邊的高為，且的面積為，則三棱錐的體積為定值，與點的位置無關，故C正確；D.將側面展開為如圖長方形，連結,交于點，此時最小，最小值為，故D正確.故選ACD.【關鍵點撥】本題D選項解決的關鍵是將平面與展開到同一個面，利用兩點之間距離最短即可得解.10．【答案】BD【詳解】對于A：因為，由正弦定理可得，則,又，則，，，可得，整理得，又因為，可得或，即或，所以或，故A錯誤；對于B：因為，則，所以，所以，在三角形中，，所以，所以，則此三角形為直角三角形，故B正確；對于C：因為，所以，所以，則解此三角形只有一解，故C錯誤；對于D：因為是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，即，同理，則，故D正確．故選：BD.11．【答案】BCD【詳解】若數列中存在某項，由可推得，進而所有項均為0，與矛盾，故數列均為非零項．由兩邊同時除以，可得，所以，故數列是以4為首項，公比為4的等比數列，所以，即.對于A，因為，可得，矛盾，所以A錯誤；對于B，因為，所以成立，所以B正確；對于C，因為，所以，所以C正確；對于D，因為，則，錯位相減得，則成立，所以D正確．故選BCD．12．【答案】【詳解】由，得，因為，，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值是．13．【答案】【詳解】因為，所以函數的最小正周期．因為在區間上有5個零點，所以，即，可得；故答案為：.14．【答案】②③④【詳解】當時，時，，故在上不是單調遞減，①錯誤；對于②，當顯然不成立，故，當時，令，即，得，，要使有且僅有兩個零點，則，故，②正確，對于③,當時,,此時在單調遞減，在單調遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確對于④,由①③可知：時，顯然不成立,故，要使，關于坐標原點的對稱點也在函數的圖象上，則只需要的圖象與有兩個不同的交點，如圖：

故，，由對稱可得，化簡可得，故，，化簡得所以由于均大于0，所以，，因此由于，為單調遞增函數，且，此時，因此，④正確.故答案為：②③④15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，即，解得，所以；由，得，①-②兩式相減得：，所以，當時，滿足上式，故.（2）由（1）知，，，所以，，，③-④兩式相減得：，所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，，分別是側棱，，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）因為平面，平面，所以，因為，所以，所以，因為平面，，所以平面，又平面，所以，所以兩兩垂直，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則有，可取，因為平面，所以即為平面的一條法向量，故，所以二面角的余弦值.17．【答案】(1)(2)(3)30【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率.記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，則，由全概率公式得，故丁周日選擇健身中心健身的概率為.設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為，則，設抽取次數為，則的分布列為123故，又，兩式相減得，所以，所以在時單調遞增，可知當時，；當時，；當時，.若抽取次數的期望值不超過23，則的最大值為30.【關鍵點撥】(1)利用獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式進行計算；(2)利用全概率公式進行求解；(3)設抽取次數為，求出的分布列和數學期望，利用錯位相減法求出，由函數單調遞增，得出在時單調遞增，結合題目給出的參考數據求得答案,18．【答案】(1)【詳解】（1）橢圓的方程為，當軸時，，所以點在橢圓上，依題意，解得，，，所以橢圓的方程為；（2）設圓心,A(x1