PAGE3.1隨機事務的概率3.學習目標核心素養1.了解隨機事務、必定事務、不行能事務的含義．(重點)2．會初步列出重復試驗的結果．(重點)3．理解頻率與概率的區分與聯系．(難點、易混點)通過對概率概念的學習，培育數學抽象素養.1．必定事務、不行能事務與隨機事務事務類型定義必定事務在條件S下，肯定會發生的事務，叫做相對于條件S的必定事務，簡稱必定事務不行能事務在條件S下，肯定不會發生的事務，叫做相對于條件S的不行能事務，簡稱不行能事務確定事務必定事務與不行能事務統稱為相對于條件S的確定事務，簡稱確定事務隨機事務在條件S下，可能發生也可能不發生的事務，叫做相對于條件S的隨機事務，簡稱隨機事務事務確定事務與隨機事務統稱為事務，一般用大寫字母A，B，C……表示2.頻率與概率(1)頻數與頻率在相同的條件S下重復n次試驗，視察某一事務A是否出現，稱n次試驗中事務A出現的次數nA為事務A出現的頻數，稱事務A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務A出現的頻率．(2)概率隨機事務發生可能性的大小用概率來度量，概率是客觀存在的．對于給定的隨機事務A，事務A發生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩定于概率P(A)，因此可用頻率fn(A)來估計概率P(A)，即P(A)≈eq\f(nA,n).思索：頻率與概率有什么關系？[提示]頻率是隨機的，在試驗之前無法確定，大多會隨著試驗次數的變更而變更．做同樣次數的重復試驗，得到的頻率值也可能會不同．概率是一個事務的固有屬性，是一個在0與1之間的確定值，不隨試驗結果的變更而變更．頻率是概率的近似值．概率是頻率的穩定值．隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率．在實際問題中，通常事務的概率是未知的，常用頻率估計概率．1．事務“經過有信號燈的路口，遇上紅燈”是()A．必定事務 B．不行能事務C．隨機事務 D．以上均不正確[答案]C2．下列說法正確的是()A．任何事務的概率總是在(0,1]之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關C．隨著試驗次數的增加，事務發生的頻率一般會穩定于概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定C[由頻率與概率的有關概念知，C正確．]3．“同時拋擲兩枚質地勻稱的硬幣，記錄正面對上的枚數”，該試驗的結果共有________種．3[正面對上的枚數可能為0,1,2，共3種結果．]4．某人射擊10次，恰有8次擊中靶子，則該人擊中靶子的頻率是________．0.8[eq\f(8,10)＝0.8.]事務類型的推斷【例1】(1)下列事務：①拋一枚硬幣，出現正面朝上；②某人買彩票中獎；③大年初一太原下雪；④標準大氣壓下，水加熱到90℃A．1 B．2C．3 D．4(2)在1,2,3，…，10這10個數字中，任取3個數字，那么“這三個數字的和大于6”A．必定事務 B．不行能事務C．隨機事務 D．以上選項均不正確(1)C(2)C[(1)①②③可能發生，也可能不發生，是隨機事務，④肯定不發生，是不行能事務，故選C.(2)從1,2,3，…，10這10個數字中任取3個數字，這三個數字的和可能等于6，也可能大于6，∴數字之和大于6，可能發生也可能不發生，∴“這三個數字的和大于6”推斷一個事務是哪類事務的方法推斷一個事務是哪類事務要看兩點：一看條件，因為三種事務都是相對于肯定條件而言的；二看結果是否發生，肯定發生的是必定事務，不肯定發生的是隨機事務，肯定不發生的是不行能事務.eq\o([跟進訓練])1．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必定事務；②當“x為某一實數時可使x2<0”是不行能事務；③“每年的國慶節都是晴天”是必定事務；④“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個，5個都是次品”A．4 B．3C．2 D．1B[③“每年的國慶節都是晴天”是隨機事務，故錯誤；①②④的推斷均正確．]試驗結果的列舉【例2】設集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一個基本領件．(1)“a＋b＝5”(2)“a＝b”這一事務包含哪幾個基本領件？(3)“直線ax＋by＝0的斜率k>－1”[解]這個試驗的基本領件構成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a＋b＝5”(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(2)“a＝b”這一事務包含以下4個基本領件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(3)直線ax＋by＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)>－1，所以eq\f(a,b)<1.所以a<b.所以包含以下6個基本領件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．不重不漏地列舉試驗的全部可能結果的方法1結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必需首先明確試驗中的條件.2依據日常生活閱歷，依據肯定的依次列舉出全部可能的結果，可應用畫樹狀圖、列表等方法解決.eq\o([跟進訓練])2．下列隨機事務中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的全部結果．(1)拋擲兩枚質地勻稱的硬幣；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素組成集合A的子集．[解](1)一次試驗是指“拋擲兩枚質地勻稱的硬幣一次”，試驗的可能結果有4個：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集”，試驗的結果共有4個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．隨機事務的頻率與概率[探究問題]1．隨機事務的頻率與試驗次數有關嗎？[提示]頻率是事務A發生的次數與試驗總次數的比值，當然與試驗次數有關．2．隨機事務的概率與試驗次數有關嗎？[提示]概率是客觀存在的一個確定的數，與試驗做不做，做多少次完全無關．3．試驗次數越多，頻率就越接近概率嗎？[提示]不是．隨著試驗次數的增多(足夠多)，頻率穩定于概率的可能性在增大．在事務的概率未知的狀況下，我們常用頻率作為概率的估計值．即概率是頻率的穩定值，頻率是概率的估計值．【例3】某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85a1.251.51.752隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險狀況，得到如下統計表：出險次數01234≥5頻數605030302010(1)記A為事務“一續保人本年度的保費不高于基本保費”．求P(A)的估計值；(2)記B為事務“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值．思路點撥：(1)由已知可得續保人本年度的保費不高于基本保費的頻數(一年內出險次數小于2的頻數)，進而可得P(A)的估計值；(2)由已知可得續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%的頻數(一年內出險次數大于1且小于4的頻數)，進而可得P(B)的估計值．[解](1)事務A發生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事務B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知，一年內出險次數大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.1．(變條件)某射擊運動員進行飛碟射擊訓練，七次訓練的成果記錄如下：射擊次數n100120150100150160150擊中飛碟數nA819512081119127121(1)求各次擊中飛碟的頻率；(保留三位小數)(2)該射擊運動員擊中飛碟的概率約為多少？[解](1)計算eq\f(nA,n)得各次擊中飛碟的頻率依次約為0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.(2)由于這些頻率特別地接近0.800，且在它旁邊搖擺，所以運動員擊中飛碟的概率約為0.800.2．(變結論)本例條件不變，記C為事務“一續保人本年度的保費高于基本保費的150%”，求P(C)的估計值．[解]事務C發生當且僅當一年內出險次數大于或等于4，由表中數據知，一年內出險次數大于或等于4的頻率為eq\f(20＋10,200)＝0.15，故P(C)的估計值為0.15.隨機事務概率的理解及求法1理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事務發生的可能性的大小.當試驗的次數越來越多時，頻率越來越趨近于概率.當次數足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機事務的概率.2求法：通過公式fnA＝eq\f(nA,n)＝eqeqeq\f(m,n)計算出頻率，再由頻率估算概率.1．辨析隨機事務、必定事務、不行能事務時要留意看清條件，在給定的條件下推斷是肯定發生(必定事務)，還是不肯定發生(隨機事務)，還是肯定不發生(不行能事務)．2．隨機事務在一次試驗中是否發生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的狀況下，隨機事務的發生呈現肯定的規律性，因而，可以從統計的角度，通過計算事務發生的頻率去估算概率．3．寫試驗結果時，要按依次寫，特殊要留意題目中的有關字眼，如“先后”“依次”“依次”“放回”“不放回”等．1．推斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“拋擲硬幣五次，均正面對上”是不行能事務． ()(2)在平面圖形中，三角形的內角和是180°是必定事務． ()(3)頻率與概率可以相等． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列事務中的隨機事務為()A．若a，b，c都是實數，則a(bc)＝(ab)cB．沒有水和空氣，人也可以生存下去C．拋擲一枚硬幣，反面對上D．在標準大氣壓下，溫度達到60℃C[A中的等式明顯對隨意實數a，b，c是恒成立的，故A是必定事務；在沒有空氣和水的條件下，人是肯定不能生存下去的，故B是不行能事務；拋擲一枚硬幣時，在沒得到結果之前，并不知道會是正面對上還是反面對上，故C是隨機事務；在標準大氣壓的條件下，只有溫度達到100℃，水才會沸騰，當溫度是603．一個地區從某年起4年之內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下表所示：時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數n554496071352017190男嬰數m2883497069948892這一地區男嬰誕生的概率約是________．(保留4位小數)0．5173[計算eq\f(m,n)即得男嬰誕生的頻率依次約為0.5200，0.5173，0.5173,0.5173.由于這些頻率特別0.5173，因此，這地區男嬰誕生的概率為0.5173.]