廣東省湛江市2024?2025學年高二上學期10月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．i是虛數單位，復數（

）A． B．1 C． D．2．向量，若，則（

）A． B．C． D．3．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知點，則點A到直線的距離是（

）A． B． C． D．5．空間四邊形中，，，，點在上，，點為的中點，則（

）A． B．C． D．6．如圖所示，在棱長為2的正方體中，為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．下列命題中正確的是（

）A．點關于平面對稱的點的坐標是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若和都為基底，則可以為D．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120°，則直線l與平面所成的角為30°8．已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點）的側面積的最大值為（

）

A．6 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的是（

）A．若，則與，共面B．若，則共面C．若，則共面D．若，則共面10．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現從盒子里隨機取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（

）A． B． C． D．11．在中，下列結論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是鈍角三角形D．若，則是等邊三角形三、填空題（本大題共3小題）12．在空間直角坐標系中，若點，，則13．已知某7個數的平均數為2，方差為4，現加入一個新數據2，此時這8個數的方差為.14．在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，點F滿足，則.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，(1)求的長；(2)求的長；(3)記中點為，求中線的長.16．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．17．某中學高一年級的同學們學習完《統計與概率》章節后，統一進行了一次測試，并將所有測試成績（滿分100分）按照進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．(1)求出a，b，估計測試成績的分位數和平均分；(2)按照人數比例用分層隨機抽樣的方法，從成績在內的學生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績都在80,90內的概率．18．如圖所示，已知正方體的棱長為3，，分別是，的中點，是上一點，且平面.(1)求的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)棱上是否存在點，它與點到平面的距離相等，若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.

參考答案1．【答案】C【分析】借助復數的運算法則計算即可得.【詳解】.故選：C.2．【答案】C【分析】利用空間向量平行列出關于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因為，所以，由題意可得，所以則.故選C.【思路導引】根據題目條件列出關于的方程組，解方程組即可得到答案.3．【答案】C【分析】根據投影向量公式計算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為.故選C.4．【答案】B【分析】先求與同方向的單位向量和的坐標，代入點到直線的距離的向量公式即得.【詳解】由題意，,則與同方向的單位向量為，又,于是，點A到直線的距離是：.故選：B.5．【答案】B【分析】結合圖形和題設條件，利用向量的加減數乘運算即得.【詳解】如圖，連結，因，點為的中點，則，于是，.故選B.6．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，，進而求出線線角的向量公式即可求出結果.【詳解】如圖所示，以D為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則.所以，因為，所以.故選C.

7．【答案】D【詳解】對于A，點關于平面對稱的點的坐標是，A錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B錯誤；對于C，由是空間向量的一個基底，得不共面，則不共線，假設，則，即共面，與是空間的一個基底矛盾，因此不可以為，C錯誤；對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120°，則直線l與平面所成的角為，D正確.故選：D8．【答案】B【詳解】設球的半徑為，則，解得，因為AD⊥平面ABC，，所以三棱錐的外接球，即為以為棱的長方體的外接球，故，其中，故，三棱錐（以A為頂點）的側面積為，由基本不等式得，故，當且僅當時，等號成立，，故，當且僅當時，等號成立，所以.故選B.9．【答案】ABD【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點的三條向量共面，進而可判斷四點共面，針對，可以利用線性運算轉化為，再進行判斷.【詳解】選項A，根據共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項A是正確的；選項B，根據共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點，所以共面；選項C，舉反例說明，若，，是一個正方體同一個頂點的三條棱所對應的向量，則它們的和向量是以為起點的對角線向量，而是該對角線向量的相反向量，此時顯然四個點不在同一個平面上，所以C選項是錯誤的；選項D，由可得，則，即，則，此時與選項B一樣，可以判斷共面，即D選項是正確的；故選：ABD．10．【答案】AB【分析】利用列舉法寫出隨機取出個小球的基本事件，根據題設描述列舉對應事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記個白球為，個黑球為，隨機取出個小球的事件如下，，事件對應的基本事件有，所以，故A正確；事件對應的基本事件有，所以，事件對應的基本事件有，所以，又，故D錯誤；其中對應的基本事件有，所以，故B正確；對應的基本事件有，所以，故C錯誤.故選AB.11．【答案】CD【分析】由三角函數的性質結合誘導公式判斷選項AB；正弦定理角化邊余弦定理得角的范圍判斷選項C；正弦定理結合倍角公式化簡判斷選項D.【詳解】對于A，中，若，則有或，當時，，為等腰三角形；當時，，為直角三角形，故A選項不正確，對于B，中，若，則或，即或，因此不一定是直角三角形，故B選項不正確；對于C，中，若，則根據正弦定理得，余弦定理得，則為鈍角，是鈍角三角形，故C選項正確；對于D，中，若，則，即，由，得，所以，，是等邊三角形，故D選項正確．故選：CD．12．【答案】【詳解】由題意知.故答案為：13．【答案】【詳解】原7個數的方差為，即，加入一個新數據2后所得8個數的平均數為，所以這8個數的方差為.故答案為:.14．【答案】【詳解】因為平面，平面，所以，，所以，，

因為，所以，因為，所以，因為，．故答案為：.15．【答案】(1)2(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得，所以；（2）由余弦定理得，即，舍去負值，所以；（3）在中由余弦定理得：，則.16．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）設,連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．17．【答案】(1)，，85，76.5(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，，前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，則分位數，且．測試成績的平均分為：.（2）成績在和內的人數之比為，故抽取的4人中成績在內的有3人，設為，，，成績在內的有1人，設為，再從這4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，這2人成績均在內的情況有，，，共3種，故這2人成績都在內的概率．18．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）建立適當的空間直角坐標系，引入參數表示的位置，求出平面的一個法向量以及，由題意，由此即可求出參數，進而得解；（2）求出，結合第一問中求出的，由向量夾角公式即可得解.【詳解】（1）如圖，以點為原點，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，.設平面的一個法向量為，由得，取，則，故.設，則.因為平面，所以，所以，所以.（2）因為，平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，故.所以直線與平面所成角的正弦值為.【方法總結】利用空間向量求解立體幾何問題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據公式求出相應的角或距離.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，且【分析】（1）利用面面垂直的性質可得出平面，再利用線面垂直的性質可證得結論成立；（2）推導出，然后以點為坐標原點，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；（3）分析可知，平面，設，其中，求出向量的坐標，根據題意可知，與平面的法向量垂直，根據空間向量數量積的坐標運算求出的值，進而可求得線段的長.【詳解】（1）證明：因為平面平面，且平面平面，因為，且平面，所以平面.因為平