福建省泉州市南安一中2024屆高三（高補班）上-期中考試數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的零點為m，若存在實數n使且，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．3．已知函數，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或84．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線經過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．26．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．7．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學習氛圍，向班內同學征集書法作品貼在班內墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細節決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進行了問話，得到回復如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細節決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李8．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．9．復數的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數，若，則的最小值為（）參考數據：A． B． C． D．12．在三棱錐中，，且分別是棱，的中點，下面四個結論：①；②平面；③三棱錐的體積的最大值為；④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的系數的和大于8而小于32，則______．14．已知滿足且目標函數的最大值為7，最小值為1，則___________．15．已知為矩形的對角線的交點，現從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為________.16．已知點為雙曲線的右焦點，兩點在雙曲線上，且關于原點對稱，若，設，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的焦點在軸上，且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設，過橢圓右焦點的直線交于、兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.19．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．20．（12分）已知實數x，y，z滿足，證明：.21．（12分）已知函數（1）解不等式；（2）若函數，若對于任意的，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上，右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上關于軸對稱的任意兩點，設，連接交橢圓于另一點．求證：直線過定點并求出點的坐標；（3）在（2）的條件下，過點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

易知單調遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉化為使方程在區間上有解,化簡可得,借助對號函數即可解得實數a的取值范圍.【詳解】易知函數單調遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉化為：使方程在區間上有解，即在區間上有解，而根據“對勾函數”可知函數在區間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數法及構造函數法的應用,考查了利用“對勾函數”求參數取值范圍問題,難度較難.2、A【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積。【詳解】設半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。3、B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值，可得結果.【詳解】函數，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題4、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數的性質即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題5、B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點睛】利用的關系求雙曲線的離心率，是基礎題.6、C【解析】

根據雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據圓的性質可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.7、D【解析】

根據題意，分別假設一個正確，推理出與假設不矛盾，即可得出結論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對應“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對應“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對應“細節決定成敗”，所以剩下小王對應“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細節決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對應“天道酬勤”，所以得出“細節決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點睛】本題考查推理證明的實際應用.8、A【解析】

根據向量坐標運算求得，由平行關系構造方程可求得結果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據向量平行關系求解參數值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關鍵是明確若兩向量平行，則.9、C【解析】所對應的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.10、C【解析】

由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.11、A【解析】

首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數，.構造函數，，所以在區間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區間上遞增，在區間上遞減.而，所以在區間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.12、D【解析】

①通過證明平面，證得；②通過證明，證得平面；③求得三棱錐體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設的中點為，連接，則，，又，所以平面，所以，故①正確；因為，所以平面，故②正確；當平面與平面垂直時，最大，最大值為，故③錯誤；若與垂直，又因為，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因為，所以顯然與不可能垂直，故④正確.故選：D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由題意可得項的系數與二項式系數是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【點睛】該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數和，屬于基礎題目.14、-2【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可．【詳解】由題意得：目標函數在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，∴，，∴直線AB的方程是：，∴則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎題．15、【解析】

基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現從，，，，這5個點中任選3個點，基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．16、【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據拋物線的定義，結合已知條件，即可容易求得結果；（2）設出直線的方程，聯立拋物線方程，根據直線與拋物線相交則，結合由得到的斜率關系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點坐標為.所以曲線的方程.（2）設，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【點睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結合垂直關系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件列出關于和的方程，并計算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設出點和點坐標，運用點坐標計算出，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設，．當直線垂直于軸時，，且此時，，當直線不垂直于軸時，設直線由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為【點睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，并運用根與系數的關系轉化為只含一個變量的表達式進行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計算量.19、（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．20、見解析【解析】

已知條件，需要證明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，發現，則可以用柯西不等式.【詳解】，.由柯西不等式得，...【點睛】本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎題.21、（1）（2）【解析】

（1）將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對值三角不等式，求得的取值范圍，根據分段函數解析式，求得的取值范圍，結合題意列不等式，解