考點(diǎn)鞏固卷05函數(shù)的圖象與方程（八大考點(diǎn)）

函數(shù)的圖象與方程

窿焉顯技巧及考克利依

考點(diǎn)01:函數(shù)圖象的識別考點(diǎn)

（1）從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷

圖象的上下位置

（2）從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性

（3）從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象

（4）從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢

⑸從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù)

1.函數(shù)/'（》）=3+b網(wǎng)門的圖象大致是（）

【分析】通過判斷函數(shù)/(X)的奇偶性和/(X)在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)即可得解.

【詳解】/(x)的定義域為R,/(-x)=(e-'+e')sin(-x)=-(e'+e-T)sinx=-/?,所以/(?

為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故可排除B選項;

-xx

sinx+(e*+e)(sinx)=(e'-e~)sinx++eCOSX，

所以/'(0)=(e°—e.)sin0+(e°+e—°)cos0=2〉0,函數(shù)圖象在x=0處的切線斜率大于0,所以

排除C、D選項;

故選：A.

2的大致圖象是()

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性單調(diào)性與函數(shù)值符號確定函數(shù)的圖象.

【詳解】由泮＞0,得X6(-2,2),所以/(X)的定義域為(-2,2).

2—x

+x

X/(-^)=sin(-x)-ln|—1=(-sM--ln|±|=sinx-In^=f(x\,

2-x')

所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于了軸對稱，故B錯誤;

因為M六=1"￡一1]'所以當(dāng)xe(O,2)時，In|±|>0,sinx>0,所以/(x)>0,

且在定義xe(O,2)內(nèi)為增函數(shù)，故A,D錯誤.

對C：符合函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，故C正確.

故選:C

3.函數(shù)〃》)=三署的大致圖象為()

【答案】B

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的大小，結(jié)合排除法進(jìn)行排除即可.

2x+sinx

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=,定義域為R，

x2+]

-2x+sin(-x)12x-sinx

/(-x)==_/(x),

x2+1x2+1

則/(X)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除CD,

.兀

兀+sm§4(兀+1)

>°,排除A.

兀2+4

+1

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)的解析式可能為()

B./(x)=sin2x-InX

C.于(x)=e+e_D./(x)=cos2x.ln"己

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象得到該函數(shù)的定義域、奇偶性、零點(diǎn)等性質(zhì)，據(jù)此逐項判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，〃x)的定義域為｛x|xwO｝,其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，為

奇函數(shù)；在(0,+e)上，函數(shù)圖象與x軸存在交點(diǎn).

由此分析選項：

X-x-XXX-X

對于A,八尤)=，^,其定義域為｛XXNO｝,有〃_X)=土二J=匚二=/(X),

X-XX

/(X)為偶函數(shù)，不符合題意；

對于B,/(x)=sin2x-InX,其定義域為｛x|xw0｝,

有〃-x)=sin(-2xHn?=-sin2x/n?=-/(x),為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)

對稱；

當(dāng)》=也+?左eZ)時，sin2x=0,/(x)=0,函數(shù)圖象與x軸存在交點(diǎn)，符合題意；

對于C,〃+.：e，,當(dāng)工>0時，e'+eT>0,x>0,故/(x)>0恒成立，所以該函數(shù)

圖象在(0,+。)上與x軸不存在交點(diǎn)，不符合題意；

對于D,〃x)=cos2x.ln=:其定義域為｛引尤7。｝,

1.1

有/(-x)=cos(-2x)Jn——=cos2x-In——=/(x),/(x)為偶函數(shù)，不符合題意.

綜上所述，只有選項B的函數(shù)滿足，

故選：B.

5.函數(shù)/(尤)=-工2+(小-小卜加在區(qū)間［-2.828］的圖象大致為()

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得可排除D.

［詳解】/(-X)=-x2+(e^-e%)sin(-x)=-x2+(e*-efsinx=/(x),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-l+fe——.兀61111

又〃1)=T+sin—=——1---->------>0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

6.函數(shù)/(x)=x3cosx的部分圖象為()

【答案】B

【分析】判斷函數(shù)/(X)的奇偶性從而排除選項A、D；再判斷當(dāng)0<”5時“X)函數(shù)值的符

號即可排除C.

【詳解】因為"x)=x3co&x為奇函數(shù)，所以排除A,D；當(dāng)0<x<5時，/(^)-x3cosx>0,

所以排除C.

故選：B.

2

7.函數(shù)〃x)=H^的部分圖象大致為()

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再分別判斷0<x<l,x>l時的函數(shù)值的正負(fù)，運(yùn)用排除法

可得結(jié)論.

(—+cos(—X)X2+COSX

【詳解】因為〃-x)=

3(-X)3-3(-X)3X3-3X

所以函數(shù)為奇函數(shù)，可排除D選項;

2

當(dāng)0<x<l時，x2+cosx>0，3d-3x<0,可排除B；

3X3-3X

2

當(dāng)X>1時，X2+COSX>0,3X3-3X>0,『產(chǎn)F,可排除A；

3X3-3X

故選：C.

【答案】A

【分析】求出函數(shù)/(X)的定義域可排除B；求出〃X)的奇偶可排除c,D.

【詳解】因為函數(shù)〃工)=號^的定義域為4一工2>0,解得：-2<x<2,故B錯誤.

V4-x

/(-x)==-f(x),則函數(shù)=(x)=丁二為奇函數(shù),故c,D錯誤；

V4-xA/4-X

故選：A.

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象

【詳解】依題意，可得/(—x)=-/(x),則/(X)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時，/(x)>0,則A,

B,C均不正確，

故選：D.

2

/21\1X+2

io.函數(shù)了=卜-1卜h2y京川的部分圖象可能是()

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，然后分析當(dāng)0<x<l時的函數(shù)值符號，進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】因為y=〃x）=（f-l）」n寸/p定義域為R,

且〃-x）=〃x），則〃x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于7軸對稱，排除A,D,

x2+2

當(dāng)0<x<l時，2（X2+1）>X2+2,故In/②斗廠,

所以，當(dāng)0<x<l時，y>0,當(dāng)x=l時，y=o,排除B,所以C正確.

故選：C

02:確定零點(diǎn)所在區(qū)間考點(diǎn)

1.零點(diǎn)存在定理：若〃無）在N用的圖象是一條連續(xù)的曲線，且/點(diǎn)）/僅）<0,則在

（。力）上有零點(diǎn).

2.特別提醒：

（1）滿足了零點(diǎn)存在定理的條件，只能得出該函數(shù)有零點(diǎn)，無法判斷零點(diǎn)的個數(shù).

（2）若單調(diào)函數(shù)〃尤）在［a,b］的圖象是一條連續(xù)的曲線，且<0,則〃x）在｛a,b）

上有唯一零點(diǎn).

（3）在零點(diǎn)存在定理中，/（。）/伍）<0是/（x）在伍力）上有零點(diǎn)的充分條件，不是必要條

件，即使不滿足該條件，即〃尤）在6）上仍然可能有零點(diǎn).

11.方程2x+lru-5=0的解所在區(qū)間為（）

A.（4,5）B.（3,4）C.（2,3）D.（1,2）

【答案】C

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可.

【詳解】令/（幻=2》+11?:-5,/（x）在（0,+8）上連續(xù)，且單調(diào)遞增，

對于A,因為/（4）=8+ln4-5=3+ln4>0,/（5）=10+ln5-5=5+ln5>0,

所以/（x）的零點(diǎn)不在（4,5）內(nèi)，所以A錯誤，

對于B,因為〃4）>0,/（3）=6+ln3-5=l+ln3>0,

所以〃x）的零點(diǎn)不在（3,4）內(nèi)，所以B錯誤，

對于C,因為〃3)>0,/(2)=4+ln2-5=ln2-l<0,

所以，（x）的零點(diǎn)在（2,3）內(nèi)，所以方程2x+hu-5=0的解所在區(qū)間為（2,3）,所以C正確,

對于D,因為/⑵<0,/（l）=2+lnl-5=-3<0,

所以〃x）的零點(diǎn)不在（1,2）內(nèi)，所以D錯誤，

故選：C

12.函數(shù)〃x）=lnx+x2-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

【答案】C

【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.

【詳解】因為函數(shù)/（x）的定義域為（0,+功，又/'（x）=：+2x>0,易知函數(shù)/（x）在（0,+s）

上單調(diào)遞增，

X/（l）=-1^0,/（V2）=lnV2=1ln2^0,所以在（1,后）內(nèi)存在一個零點(diǎn)%，使/（%）=0.

故選：C.

13.已知函數(shù)/（x）=9-log2X,在下列區(qū)間中，包含/⑴零點(diǎn)的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,+s）

【答案】D

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合單調(diào)性判斷.

【詳解】因為函數(shù)y=9在（0,+句單調(diào)遞減，

X

函數(shù)y=log?X在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以/（x）=2-log2x在（0,+8）上單調(diào)遞減,

又/⑶=2-log23>0,/（4）=-1,

所以函數(shù)〃x）在（3,4）上存在唯一零點(diǎn).

故選：D.

14.函數(shù)/（x）=2，+/-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（-2,-1）B.（0,1）C.（-1,0）D.[-1,0）

【答案】B

【分析】由函數(shù)解析式，明確其單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.

【詳解】由函數(shù)/(x)=2'+X，-2可知〃x)單調(diào)遞增，

13915

因為/(-2)=18-2=—<0,/(-1)=--1-2=--<0,

/(0)=1+0-2=-1<0,/(1)=2+1-2=1>0,

所以"》)零點(diǎn)所在區(qū)間是(0,1),

故選：B

15.若函數(shù)“X)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意xeR,都有了[〃尤)-2,-x]=-，，

則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.B.即C.臼口.(I?

【答案】B

【分析】設(shè)/(x)-2:x=f,根據(jù)/=列出關(guān)于f的方程，進(jìn)而求得;

的值，得到/(x)的解析式，再用零點(diǎn)存在定理判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，-x\=~,

設(shè)——x=/,所以/(x)=2"+x+，，

所以/[/(X)-2「刃=/(0=2*+/=，+2公一?，

因為夕=2'與y=2/在R上單調(diào)遞增，所以，有唯一解，解得f=-2,

所以/(x)=2工+x-2,

又=-2=后-9<0,/(1)=21+1-2=1>0,

故/(X)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

故選：B.

16.函數(shù)〃》)=皿2叼-：的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判斷了(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.

【詳解】因為“X)的定義域為(0,+8),且y=ln(2x)/=-^在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知/(x)在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，

>/(l)=ln2-l<0,/(2)=ln4-1>0,

所以函數(shù)f(x)的唯一一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是。,2).

故選：B.

17.函數(shù)/。)=2'+%-4的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得到答案.

【詳解】因為>=2,和y=x-4均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)/(x)=2*+x-4是R上的增

函數(shù),

又/⑴=一1<0,/(2)=2>0,/(1)./(2)<0,

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).

故選：C.

〃(x)=l」+±+《在(0,+8)上的零點(diǎn)分別為

18.設(shè)函數(shù)/(x)=x+lnx,g(x)=xlnx-l,

x23

a,b,c,則。也c的大小順序為()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

gl］，64,2)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出ae，再根據(jù)

即可得出答案.

【詳解】因為/(x)=x+lnx,f\x)=\+->0,所以/(x)在(0,+對上單調(diào)遞增,

X

又因為d￡|=：Tn20(0,〃l)=10)0,所以存在aegj使得/(。)=0,

所以aei1r

因為g(x)=xlnx-l,g,(x)=lnx+l,令g(x)=0,解得x=，

e

當(dāng)時，g,（x）＜0,則g（x）在（0,1

上單調(diào)遞減,

e

當(dāng)時，g'（x）＞0,則g（x）在上單調(diào)遞增,

又因為g(D=-1<0,g(2)=21n2—1>0,，b￡(1,2),

1Y丫22丫11

XA(x)=l--+-+—,xe(0,+s),所以〃(幻=++—>0,所以〃(x)在(0,+◎上單調(diào)

x2332%

遞增，

又〃[j<0,/!(1)>0,所以存在使得Mc)=0,所以6最大，

5111、10?11

因為8一8一1.6IJ2.56y/e>所以叱>m〒=Ine2=一彳，

—Oy/e2

>-0.5H—>0,/.tzG|一,一|,

8(28J

25

a<c<b.

故選：B.

19.函數(shù)〃x）=/+41m=10的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】先驗證函數(shù)/（x）的單調(diào)性，再代入/（2）,/（3）驗證，由零點(diǎn)存在定理得到零點(diǎn)所

在區(qū)間.

【詳解】當(dāng)》＞0時，設(shè)玉＞%2,

則/（國）—/（工2）=%；-￥+4（in西—In々）〉。，

故/（x）在（0,+8）上是單調(diào)遞增函數(shù)；

X/（2）=4+41n2-10＜4+41ne-10＜0,/（3）=9+41n3-10＞0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)〃x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2,3）.

故選：c.

20.設(shè)方程3'?|log3H=l的兩根為小,%2（再＜X2），則（）

1

A.0＜再＜1,%2＞3B.再＞丁

C.0＜X[X2＜1D.+x2＞4

【答案】C

【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點(diǎn)的判定方法可確定出0＜為＜1＜七＜2,即可判斷AD,計算出

log3（XjX2）＜0,可判斷BC.

【詳解】由3"log3x|=l可得|皿3工=：=I

在同一直角坐標(biāo)系中同時畫出函數(shù)了=|10g3x|和y的圖象，如圖所示:

log2>

3I14

由圖象可知，

所以1＜再+無2＜3故A,D錯誤;

log3（X[X2）=log3X]+log3x2=

x

因為＜所以]l

X]9,I>,所以log3（X]X2）<0,

所以。＜卒2＜1，即為￡,故B錯誤，C正確.

故選：C

03:求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個數(shù)考點(diǎn)

在小題中，研究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，一般有兩種方法.

方法1：令〃x)=。，解方程，得出零點(diǎn)個數(shù).

方法2：通過變形轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù).

例如，設(shè)/(x)=Mx)-g(x),求/(x)的零點(diǎn)個數(shù),可將力(x)-g(x)=。等價變形成

〃(x)=g(x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)了=訪e)與>=g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù).

提醒：將/(x)拆分成兩個函數(shù)時，原則是這兩個函數(shù)的圖象容易畫出，不然就沒法通過圖

象交點(diǎn)去研究零點(diǎn)個數(shù)了.

21.函數(shù)>=4-2，+3+16的零點(diǎn)是()

A.0B.1C.2D.(2,0)

【答案】C

【分析】令y=o,求解方程即得.

【詳解】由4*-2，+3+16=0,設(shè)7=23則得/一8/+16=0,

解得f=4,從而2*=4，所以x=2.

故選：C.

22.已知函數(shù)小)=伍_3：》>0則函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】分類求出函數(shù)零點(diǎn)即可.

【詳解】當(dāng)x<0時，由x(x+3)=0,得了=-3或0(舍去)；

當(dāng)x20時，由x(x-3)=0解得x=0或x=3.

故共有3個零點(diǎn).

故選：C.

1,x>0

23.已知符號函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,則函數(shù)〃x)=sgn(21nx)-ln(2x-l)的零點(diǎn)個數(shù)為

—1,x<0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

先分段寫出V=sgn(21nx)的解析式，然后分類求方程sgn(21nx)=ln(2x-l)的根即可.

【詳解】令/(x)=0,則sgn(21nx)=ln(2x-l)

l,x>1

y=sgn(2Inx)=<0,x=1,

-1,0<X<1

當(dāng)x>l時，若ln(2x-l)=l,得》=e千+[，符合；

當(dāng)x=l時，若ln(2x-l)=0,得x=l,符合；

當(dāng)0cx<1時，若ln(2x-l)=-1,x=—+—,符合；

2e2

故函數(shù)〃x)=sgn(21nx)-ln(2x-l)的零點(diǎn)個數(shù)為3.

故選：C.

24.函數(shù)〃x)=sin[2x+m]在區(qū)間(0,2兀)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】令〃x)=sin(2x+M=0,得2X+￡=E,貝x=-^+2水eZ；

I3J362

兀5411

故左=l,x=一;k=2,x=—兀，左=3,x=一兀;左=4,x=一兀，

3636

所以“X)在(0,2兀)共有4個零點(diǎn)，

故選：C.

25.已知。是函數(shù)/(x)=xlog“x-2018的一個零點(diǎn)，尸是函數(shù)g(x)=工優(yōu)-2018的一個零點(diǎn),

則4的值為().

A.1B.2018C.20182D.4036

【答案】B

【分析】變形得到1。&￡=警，'=等，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=log.X,y=a\

onioOOIR

歹二翌的圖象，根據(jù)歹二10旦^和^=優(yōu)的圖象關(guān)于＞=%對稱，歹="也關(guān)于〉=%對稱,

20182018

得到45兩點(diǎn)關(guān)于〉=%對稱，從而得到a+夕a0,化簡得到答案.

22

OA1QOA1Q

【詳解】由題意知a是10glix=''的一個根，,是優(yōu)="的一個根，

XX

2Q1Q

同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出V=log“x,y=ax,y=—的圖象,

ax

根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)可得V=loga%和了=優(yōu)的圖象關(guān)于＞=X對稱，了=學(xué)也關(guān)于＞=X對稱,

故48兩點(diǎn)關(guān)于＞=x對稱，故的中點(diǎn)在y=x上,

2018(a+⑶

即a+/_a§,故=a+(3,

22

故幼=2018,

故選：B

26.若,是函數(shù)/■3=6'+/-4》的一個極值點(diǎn)，;是函數(shù)8(》)=』-、-2》的一個零點(diǎn)，則

s+t=()

【答案】C

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)以及零點(diǎn)的含義可得g(，)=0J'(s)=0，即可發(fā)現(xiàn),和2T都是函數(shù)

Zz(x)=e、+2x-4的零點(diǎn)，利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【詳解】/，(x)=e'+2x-4,

J/'(s)=e'+2s-4=0//(s)=eJ+25-4=0

由g(z)=e2~'-2t=0得<

g(f)=e2-,+2(2-f)-4=0

可知s和2-f都是函數(shù)〃(x)=e*+2x-4的零點(diǎn),

因為函數(shù)〃(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以s=2一，s+t=2.

故選：C.

27.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/<x)=x-sinx,的最小值為-1,則函數(shù)J=/("-cosx的零

點(diǎn)為()

A.0B.±72C.±2D.2析(左eZ)

【答案】C

【分析】由/'(x)=x-sinx,確定了(無)=；/+cos為+C,由/(x)的最小值為-1,可求出

C,即可得出y=/(x)-cosx的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的零點(diǎn).

【詳解】因為函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=x-sinx,所以〃x)=gx2+cosx+C,C為常數(shù)，

設(shè)g(x)=/'(x)=x-sinx,貝匹0=1-(：05X20恒成立，g(x)在R上單調(diào)遞增，

即廣(x)=x-sinx在R上單調(diào)遞增，又/((0)=0,

故當(dāng)xe(一*0)時，f'(x)<0,即單調(diào)遞減,

xe(0,+⑼時，r(x)>0,即〃x)單調(diào)遞增,

所以/(X)在x=0處取得最小值，即/(x)min=/(0)=l+C=-l,所以C=-2,

所以/(X)=；/+cosx-2,由y=/(x)-cosx=:無？-2,

令T/-2=0,解得X=±2,所以》=/(x)-cosx的零點(diǎn)為±2.

故選：C.

28.函數(shù)了=(》-2乂2工+1)的零點(diǎn)是()

A.2B.(2,0)C.-2D.2或-1

【答案】A

【分析】由題意令y=o可得關(guān)于X的方程，進(jìn)而求解.

【詳解】由題意令y=(x-2)(2，+l)=0,因為2，+1>1>0,所以x-2=0,即X=2.

故選：A.

29.已知函數(shù)/(x)=xlnx—x-lnx(%>1)的零點(diǎn)為X1，函數(shù)g(x)=x-e*-x-e*(x>l)

的零點(diǎn)為4，則下列結(jié)論錯誤的是()

11,

1x,

A.-=1B.x2=eC.X]>eD.xl+x2>3

X]x2

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式易得〃x)=g(lnx),從而得到In%=吃即西=B，逐一判斷選項即

可.

[詳解】因為g'(x)=(尤+1)?e，-1-e，=xex-1在(1,+?)單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'⑴>0,

所以函數(shù)g(x)在(1,+s)單調(diào)遞增，且g⑴=T(0M2)=e2-2)0,

所以函數(shù)g(x)在(1,+8)上只有一個零點(diǎn)%>1:

而函數(shù)/'(x)=xlnx-x-lnjc=lnx-elnv-lnx-etax=g(lnx),

且函數(shù)/(x)=xlnx-x-lnx(x>l)的零點(diǎn)為x1，

所以lnxj=x2,所以網(wǎng)=戶，故B錯誤；

對于A,因為函數(shù)g(x)=x-e*-x-e%x>l)的零點(diǎn)為恐，

所以馬-e"-/-e也=0,所以XL=。，

11,

所以一+—=1,故A正確；

國x2

對于C,；X2>1,再=/>e,故C正確；

對于口,迎+再=X2+e*2>l+e>3,故D正確.

故選：B.

30..已知函數(shù)/(x)=2*+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為。，"c,貝l]a,b,c的

大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=2￡+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為a,b,c,

可轉(zhuǎn)化為了=一了與三個函數(shù)y=2",y=log2x,y=x3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。也c,

在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)〉=一》與函數(shù)了=2*,y=log2X,y=;?的圖象,

如圖所示，

04:二分法考點(diǎn)

1、二分法的定義

對于在區(qū)間［a,可上的圖象連續(xù)不斷且八°)負(fù)6)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)段)

的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值，即加)

=0的近似解的方法叫作二分法.

2、運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件

(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.

(2)在該零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號.

只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號

零點(diǎn)不適用.

3、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)

1、給定精確度￡,用二分法求函數(shù)>=/(%)零點(diǎn)端的近似值的步驟

(1)確定零點(diǎn)/的初始區(qū)間可，驗證/(。>/伍)<0；

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c；

(3)計算/(c),進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

①若/(c)=0(此時x0=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若/(a>/(c)<0(此時/e(a,c)),則令b=c；

③若/(c>/(b)<0(此時,則令a=c.

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：若卜-耳<￡,則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；

否則重復(fù)(2)~(4)

注：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點(diǎn)；

(2)用“二分法”求方程的近似解時，應(yīng)通過移項問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)近似值.如求

/(x)=g(x)的近似解時可構(gòu)造函數(shù)h(x)=fix)—g(x),將問題轉(zhuǎn)化為求〃(x)的零點(diǎn)近似值的問

題.

4、關(guān)于精確度

(1)“精確度''與"精確至『不是一回事，

這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個確定的數(shù)值￡,即\a-b\<￡；

“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個規(guī)定的數(shù)位，

2—

如計算1—§，精確到0.01,即0.33

(2)精確度￡表示當(dāng)區(qū)間的長度小于￡時停止二分；

此時除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)值作零點(diǎn)近似值。

5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則

(1)需依據(jù)圖象估計零點(diǎn)所在的初始區(qū)間阿，司(一般采用估計值的方法完成).

(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計算大c),確定有解區(qū)間是阿，c］還是［c,n］,逐步縮小區(qū)間

的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點(diǎn)符合要求，終止計算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

6、用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含所求的根,

又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度，及時檢驗所得區(qū)間是否達(dá)到要求(達(dá)到給定

的精度)，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算.

31.用二分法研究函數(shù)〃刈=/+8/_1的零點(diǎn)時，第一次經(jīng)過計算得〃0)<0,

/(0.5)>0,則其中一個零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為()

A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),/(0.25)

C.(0.5,1),/(0.75)D.(0,0.5),/(0.375)

【答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知零點(diǎn)為40。5),結(jié)合對二分法的理解即可得出結(jié)果.

【詳解】因為〃0)/(0.5)<0,

由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)x°e(0,0.5),

根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算/［上手］,即/(025).

故選：B.

32.已知增函數(shù)7=/(x)的圖象在口力］上是一條連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求該函數(shù)零

點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為［。,勿，［。,管］,+貝防-a的值是()

422

A.1B.-C.—D.—

333

【答案】B

【分析】根據(jù)二分法的過程得到。力滿足的方程組，由此求解出“力的值，即可得出答案.

【詳解】因為依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為［凡加，學(xué)］,

a+bb

233。+6=0

即、4,解得。=一：,6=1.

可得a+b

--------FClb-a=-3

1I3

2=QH—

23

所以6—。=1一

故選：B.

33.下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是()

A.f(x)=2xB.f(x)=x2+ly/lx+2

C./(x)=x+—-3D./(x)=lnx+3

【答案】B

【分析】

利用二分法求零點(diǎn)的要求，逐一分析各選項即可得解.

【詳解】

不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號;

對于A,/(”=2光有唯一零點(diǎn)》=(),且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，故可用二分法求零點(diǎn);

對于B,/卜)=/+2缶+2=1+亞『有唯一零點(diǎn)％=_近，

但〉=1+0『20恒成立，故不可用二分法求零點(diǎn)；

對于C,/(x)=x+'-3有兩個不同零點(diǎn)》=主5,且在每個零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號，

x2

故可用二分法求零點(diǎn)；

對于D,/(力=欣+3有唯一零點(diǎn)x=/3,且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，故可用二分法求零點(diǎn).

故選：B.

34.設(shè)〃x)=2'+x-8,用二分法求方程2，+》-8=0在口,5］上的近似解時，經(jīng)過兩次二分

法后，可確定近似解所在區(qū)間為()

A.［L2］或［2,3］都可以B.［2,3］

C.［1,2］D.不能確定

【答案】B

【分析】借助二分法定義計算即可得.

【詳解】/(I)=2x+x-8=2+1-8=-5<0,/(5)=25+5-8=25-3>0,

第一次取再=*=3,有〃3)=23+3-8=3>0,

故第二次取/=浮=2,有/(2)=22+2-8=-2<0,

故此時可確定近似解所在區(qū)間為［2,3］.

故選：B.

35.已知函數(shù)/(力=丁-31,現(xiàn)用二分法求函數(shù)〃x)在(1,3)內(nèi)的零點(diǎn)的近似值，則使用

兩次二分法后，零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.mB.加C.卜。D,加

【答案】B

【分析】根據(jù)二分法的計算方法即可判斷.

【詳解】由二分法可知，第一次計算〃2)=1>0,又〃1)=-3(0,〃3)=17)0,

由零點(diǎn)存在性定理知零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上，所以第二次應(yīng)該計算/■［：］=一］<°，

又〃2）>0,所以零點(diǎn)在區(qū)間]1,2]

故選：B.

36.已知函數(shù)/（》）=111》+2%-6在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在一個零點(diǎn)，用二分法求方程近似解時,

至少需要求（）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)的近似值求解.

【詳解】由所給區(qū)間（2,3）的長度等于1,每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)

過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椤叮?/p>

故需（V0.01,解得”27,所以至少需要操作7次.

故選：C

37.用二分法求函數(shù)-2的一個正零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）時，依次計算得

到如下數(shù)據(jù)；/（I）?-0.28,7（1.5）?0.98,/（1.25）?0.24,/（1.125）?-0.04,關(guān)于下一步的說

法正確的是（）

A.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值

B.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值

C.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計算/（L1875）

D.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計算/（1.0625）

【答案】C

【分析】由二分法的定義直接求解即可.

【詳解】由二分法的定義，可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，（l,L5）f（l,1.25）f（1.125,1.25）

時的區(qū)間長度為|1」25-1.25|=0.125>0」，

故沒有達(dá)到精確的要求，應(yīng)該接著計算了「?125；L25）=/（LI875）的值.

故選：C

38.若函數(shù)/（刈=/+/-2苫-2的一個正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)

如下:

/⑴=-2/(1.5)=0.625/(1.25)^-0.984

/(1.375)?-0.260“1.4375”0.162/(1.40625)?-0.054

那么方程x?+x2-2x-2=0的一個近似根(精確度為0.05)可以是()

A.1.25B.1.39C.1.41D.1.5

【答案】C

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法，結(jié)合表格計算即可.

【詳解】因為/(1-5)>0,所以所以函數(shù)在(1,1.5)內(nèi)有零點(diǎn)，因

為1.5-1=0.5>0.05,所以不滿足精確度為0.05;

因為/(1.25)<0,所以/(1.25)〈(1.5)<0,所以函數(shù)在(L25,1.5)內(nèi)有零點(diǎn)，因為

1.5-1.25=0.25>0.05,所以不滿足精確度為0.05;

因為/(1.375)<0,所以〃1.375)所以函數(shù)在(1.375,1.5)內(nèi)有零點(diǎn)，因為

1.5-1.375=0.125>0.05,所以不滿足精確度為0.05;

因為〃1.4375)>0,所以“1.4375)?41.375)<0,所以函數(shù)在(1.375,1.4375)內(nèi)有零點(diǎn)，因為

1.4375-1.375=0.0625>0.05,所以不滿足精確度為0.05;

因為/(1.40625)<0,所以/(L40625)"(1.4375)VO,所以函數(shù)在(1.40625,1.4375)內(nèi)有零點(diǎn)，因

為1.4375-1.40625=0.03125<0.05,滿足精確度為0.05,

所以方程丁+f-2x-2=0的一個近似根(精確度為0.05)可以是區(qū)間(1.40625,1.4375)內(nèi)任

意一個值(包括端點(diǎn)值).

故選：C.

39.用二分法研究函數(shù)/(x)=/+3x-l的零點(diǎn)時，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)〃0)<0,

/(0.5)>0,可得其中一個零點(diǎn)為40,0.5),則第二次還需計算函數(shù)值()

A./(I)B./(-0.5)C./(0.25)D./(0.125)

【答案】C

【分析】根據(jù)二分法，可得答案.

【詳解】由題意，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)/(。)<0,/(0.5)>0,可得其中一個零點(diǎn)

x0e(0,0.5),

由于:(0+0.5)=0.25,則第二次需計算/(0.25),

故選：C.

40.若函數(shù)>=/(x)的一個正零點(diǎn)用二分法計算，零點(diǎn)附近函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：

/(I)=-2,/(1.25)=-0.984,/(1.375)=-0.260,/(1.40625)=-0.054,/(1.4375)=0.162,

/(1.6)=0.625,那么方程/(x)=0的一個近似根(精確度0.1)為()

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【分析】由參考數(shù)據(jù)可得〃1.4375)/(1.375)<0,區(qū)間(1.375,1.4375)滿足題干要求精確到0.1,

結(jié)合選項可得答案.

【詳解】因為1.6-1.4375=0.1625>0.1,所以不必考慮端點(diǎn)1.6；

因為1.40625-1.25=0.15625>0.1,所以不必考慮端點(diǎn)L25和1；

因為/(1.4375)>0,/(1.375)<0,所以“1.4375)/(1.375)<0,所以函數(shù)/(x)在(1.375,1.4375)

內(nèi)有零點(diǎn)，

1.4375-1.375=0.0625<0.1,所以滿足精確度0.1；

所以方程八勸=0的一個近似根(精確度0.1)是區(qū)間(L375,1.4375)內(nèi)的任意一個值(包括端

點(diǎn)值)，

根據(jù)四個選項可知：1.4e[1,375,1.4375].

故選：C.

05:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時應(yīng)分三步：

①判斷函數(shù)的單調(diào)性；

②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；

③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍.在求解時，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用.

41.已知函數(shù)〃x)=e…--(xNl),則使〃x)有零點(diǎn)的一個充分條件是()

A.a<-\B.-1<?<0C.0<tz<1D.a>1

【答案】D

【分析】首先判斷。>-1,此時可得/(X)的單調(diào)性，依題意可得e--a-lWO,令

g(a)=e?-叱1,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理得到存在旬?0,1)使得g(3=0,

從而得到/(x)有零點(diǎn)的充要條件為。2a0,即可判斷.

【詳解】因為/(x)=ei-9

當(dāng)aWT時-320,所以/(x)>0,/(x)沒有零點(diǎn)，故A錯誤；

當(dāng)a>-1時y=與y=-但在［1,+⑹上單調(diào)遞增，所以〃力在［1,+向上單調(diào)遞增，

X

1a

/(x)mm=/(l)=e--fl-l,要使/(x)有零點(diǎn),則需/(尤)1nhi40,

即e~-a-lV0,令g(a)=e「"-a-l,則g(a)在(-1,+功上單調(diào)遞減，

且g(T)=e2>0,g(0)=e-l>0,g(l)=-2<0,

所以存在/e(O,l)使得g(a°)=0,

所以/(x)有零點(diǎn)的充要條件為。Na。,

所以使〃x)有零點(diǎn)的一個充分條件是。>1.

故選：D

JTTT\兀71

42.若函數(shù)/'(x)=3cos(ox+e)。<0,一5<。<5)的最小正周期為兀，在區(qū)間