專題07求數列的通項公式

一、核心先導

二、考點再現

【考點1］已知前你n項和，求通項公式的步驟

（1）、當”=1時，ai=Si；（2）、當佗2時，斯=SLS〃-i；（3）對"=1時的情況進行檢驗，若適合它2

的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數形式.

【考點2］已知數列的前幾項，求通項公式

如果符號正負相間，則符號可用（一1）"或（-I）/】來調節.

分式形式的數列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關系來解決.

對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決.

此類問題雖無固定模式，但也有規律可循，主要靠觀察（觀察規律）、比較（比較已知的數列）、歸納、轉

化（轉化為等差、等比或其他特殊數列）等方法來解決.

【考點3］已知數列的遞推關系，求通項公式

當出現斯=斯-1+加時，構造等差數列；

當出現斯=xa“-i+y時，構造等比數列；

當出現時，用累加法求解；當出現-^匚=/（〃）時，用累乘法求解.

〃〃一1

三、解法解密

若數列｛/｝滿足4+4+1=劭+6,則數列都是公差為a的等差數列，若數列｛/｝滿足

n+,

an-an+l=a-b（awQb羊0力工1）,則數列｛%｝,｛%,，都是公比為b的等比數列.

四、考點解密

題型一:公式法

例1、（2022?全國?武功縣普集高級中學模擬預測（理））記S”為各項均為正數的等比數列｛%｝的前〃項和,

71

S=—,a=—,則。5=（）

3832

A.—B.-C.ID.2

48

【變式訓練1-1】、（2022?廣西?模擬預測（理））在等比數列｛%｝中，若的=3,%=6,貝!]&=.

例2、（2022?浙江臺州?模擬預測）已知公差為2的等差數列｛%,｝中，%，4，%成等比數列.

⑴求％;

（2）設么=an+2%，求數列也｝的前“項和S”.

【變式訓練2-1】、（2022?上海松江?二模）在等差數列｛%｝中,已知%+%=1。，%+4+%=30.

（1）求數列僅“｝的通項公式;

（2）若數歹心4+2｝是首項為1,公比為3的等比數列，求數列｛"｝的前”項和S,.

題型二:累加法與累乘法

（一）、用累加法求數列的通項公式

例3、（2022?上海市控江中學高二期末）己知數列｛%｝滿足G=l,a,+i=a“+2〃（〃eN,〃21）,則其通項公式

【變式訓練3-1]、在數列｛4｝中,，4+「4=」一,則該數列的通項公式*=.

【變式訓練3-2】、（2022?浙江柯橋?高二期末）已知等差數列｛%｝中，e=6,前5項的和為§5=90,數列

圾｝滿足4=1,2+1-2=2"（〃eN）

（1）求數列｛%｝,｛2｝的通項公式；

⑵記c“=\an-bn\,求數列｛%｝的前n項和T?.

（二）、用累乘法求數列的通項公式

例4、（2022.安徽黃山.一模）已知數列｛4｝滿足卬=2,〃用=2義4,則

n+1

“2021__

+%+%----------H%020

例5、（2021.河北?滄州市一中高三階段練習）已知數列｛4｝中，q=＜，且滿足"+1=（〃+1）。”.

⑴求數列同｝的通項公式；

⑵設么=2］，一-幾］,若對任意的〃eN*,數列｛2｝是單調遞減數列，求實數X的取值范圍.

【變式訓練5-1］、數列｛4｝中，前幾項和為S“，S”=曹

（1）求數列｛4｝的通項公式；學=科網

⑵令。=以也+2,證明：2〃<么+a+…+”<2〃+3.

y'nQQizn

*\+l*\+2

【變式訓練5-2】、（2022?吉林?東北師大附中模擬預測）已知數列｛4｝中，%=1,5“是數列｛q｝的前"項

（1）求數列｛%｝的通項公式：

12n

⑵證明：—+—+—<3.

題型三:已知前n項和，求通項公式

例6、（2022.湖南.安仁縣第一中學模擬預測）已知數列｛4｝中，前〃項的和為S“，且5“=3%-4

⑴求數列?｝的通項公式；

123nq（?Y一

（2）如果一+—+—+???+—<--8x-恒成立，求〃最小值.

%4/an2⑶

【變式訓練6-1】、（2022?四川資陽.一模（理））已知數列同｝的前"項和為％滿足$3=3%+2,且

2a,,=S“+ax.

⑴求｛見｝的通項公式；

⑵數列也｝旃足廠+廣+廠+…+廠=%+1-2,求｛2｝的前〃項和（.

題型四:構造法

例7、（2022?安徽?合肥市第十一中學高二期末）已知數列｛q｝滿足弓=3,??+1=2??+l（?eN*）.

⑴求證：數列｛%+1｝是等比數列；

⑵求數列｛4｝的通項公式及前〃項的和S,.

【變式訓練7-1】、（2022?江蘇鎮江?高二期末）已知數列｛4｝滿足％=l,%=2a“+l,〃wN*.

（1）證明數列｛%+1）是等比數列，并求數列｛%｝的通項公式;

（2）令或=<??+1），求數列也｝的前n項和Tn.

五、分層訓練

A組基礎鞏固

1.（2022?廣西北海?一模（理））在等差數列｛%｝中，%=8,%=12,貝！］%2=（）

A.19B.18C.17D.20

2.（2022?全國?模擬預測（文））在數列｛%｝中，Oj=l,n（M+l）（a?+1-a?）=l（neN*）,則々022=（）

4043202140402020

A.------B.-------C.-------D.-------

2022202220212021

3.（2022?廣西?模擬預測（文））在等比數列｛4｝中，q+4=4,若%、出+2、生成等差數列，則｛%｝的

公比為。

A.2B.3C.4D.5

4.（2010?山西臨汾?模擬預測（文））已知等差數列｛4｝的公差是2,若%,生，%成等比數列，則。2等

于（）

A.-6B.-4C.-8D.—10

5.（2022?山西大附中三模（理））己知等差數列｛。,｝的各項均為正數，其前“項和為S",且滿足

=17,S5~Q2a3，貝I"12=（）

A.28B.30C.32D.35

6.（2022?廣東?肇慶市外國語學校模擬預測）若數列｛%｝滿足。用=24-1,則稱｛乙｝為“對奇數列”.已知

正項數列也+1｝為“對奇數列”，且4=2,則2=（）

A.2x3"-'B.2"-C.2n+1D.2"

x1+ClI

7.（2022?四川?成都七中模擬預測（文））設數列｛（凡｝滿足%+1=「，且則。2儂=（）

14〃2

A.—2B.—C.；D.3

32

8.（2020.云南.昆明一中模擬預測（理））已知等比數列｛%｝的前〃項和為S〃=3"+Q（〃￡N*）,則實數。的

值是（）

A.-3B.3C.-ID.1

9.（2022?吉林?東北師大附中模擬預測（文））等差數列中，卬+%+/=9,%+%=16,則4=（）

A.9B.10C.11D.12

10.（2022?江蘇省木瀆高級中學模擬預測）已知數列｛%｝滿足：①先單調遞減后單調遞增：②當〃=3時取

得最小值.寫出一個滿足條件的數列｛%｝的通項公式4=.

11.（2022?河南開封?模擬預測（理））在等比數列｛%｝中，S,為其前"項和，若%=3,$3=9,則｛%｝的

公比為.

12.（2022?陜西西安.模擬預測（文））已知等差數列｛4｝的公差d=l,且%,生，必成等比數列.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛4｝的前〃項和為S”.

13.（2022.河南?模擬預測（理））若數列｛可｝滿足4=1,all+1-a?=2n.

⑴求｛%｝的通項公式；

111c

（2）證明：一+—+…+—<2.

B組能力提升

14.（2023?江西景德鎮?模擬預測（理））已知數列｛%｝為等差數列，數列｛〃｝為等比數列且公比4=2.數

列｛4｝和數列出｝的前"和分別為S“和Tn,且滿足&+2=邑”，則等差數列｛4｝的通項公式為

15.（2022?廣西?模擬預測（文））已知等比數歹!]｛風｝滿足q+/=2,%+。5=4,則。7+%=.

16.（2022?河南省葉縣高級中學模擬預測（文））已知數列｛%｝為等比數列，q+%=72,a2+a3=36,

貝!J%=-

17.（2022?云南民族大學附屬中學模擬預測（理））若數列｛。“｝滿足弓=2,4+a“M+%+2=l（〃eN*）,則

其前2020項和為.

18.（2022?安徽?全椒縣第八中學模擬預測（理））雪花曲線是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一

種分形曲線，其形態似雪花，故稱雪花曲線，又稱科赫雪花.雪花曲線是由等邊三角形開始，把三角形的

每條邊三等分，并在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形，但要去掉與原三角形疊合的邊.接著

對所得新圖形的每條邊繼續上述過程，即在每條邊三分后的中段，向外畫新的“尖形”.不斷重復這樣的過程,

便產生了雪花曲線.下圖分別是0、1、2、3級的雪花曲線，若第。級的等邊三角形邊長等于1,則第4級

的雪花曲線周長等于.

19.（2020?全國?模擬預測（文））記數列｛%｝的前“項和為S"，若％=1,。用=2S"（”為正整數），則

數列｛%｝的通項公式為

20.（2022?浙江寧波?一模）南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續

量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類

比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三

111

層放6個，第四層放10個……第〃層放。“個物體堆成的堆垛，則一+—+...+—=.

21.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛見｝的前"項和S“=3n-l,數列也｝滿足用=-1,=bn+（2n-i）.

（1）求數列｛%｝、｛2｝的通項公式.

⑵若。”=巴也，求數列｛g｝的前"項和人

n

C組真題實戰練

22.（2019?全國?高考真題（理）已知各項均為正數的等比數列｛〃,｝的前4項和為15,且。5=3。3+4%,

則。3=

A.16B.8C.4D.2

23.（2021?全國?高考真題（文））記S〃為等比數列｛4｝的前〃項和.若$2=4,S4=6,則85=（）

A.7B.8C.9D.10

已知等差數列｛q｝的前幾項和為S,a=5,S=15,則數列J」一］的前100

24.（2012.全國.高考真題（理）n55

〔44+1J

項和為

100^99〃99101

A.----B.-----C.-----D.-----

101101100100

25.（2014?全國?高考真題（理））等比數列｛%｝中，%=2,生=5,則數列｛1g%｝的前8項和等于

A.6B.5C.4D.3

26.（2014?天津?高考真題（文））設｛%｝是首項為由,公差為-1的等差數列，5“為其前n項和，若岳，邑,邑

成等比數列，則%=（）

A.2B.-2C.7D.—

22

27.（2010.湖北.高考真題（文））已知等比數列｛%｝中，各項都是正數，且〃，％2生成等差數列，則血詈=

A.1+&B.1-V2C.3+2V2D.3-2應

28.（2015?浙江?高考真題（理））已知｛風｝是公差d不為零的等差數列，其前”項和為S“，若生，4，%成

等比數列，則

A.a｛d>0,dS4>0B.<0,dS4<0

C.ct｛d>0,<0D.ci｛d<0,dS4>0

29.（2019?全國?高考真題（理））記S”為等差數列｛m｝的前w項和，qWO，a2=3alt貝1」率=___________.

?5

30.（2019?全國?高考真題（文））記3為等差數列｛%｝的前九項和，若/=5,%=13,貝U$=.

31.（2008?四川?高考真題（文））設數列｛%｝中，Oj=2,a?+1=an+n+l,則通項。“=.

32.（2014?廣東?高考真題（文））等比數列｛%｝的各項均為正數，且q％=4,則

log2ax+log2%+log2a3+log2a4+