專題03旋轉（7種題型）

經

優r根據旋轉的性質求解

典

選-畫旋轉圖形

基

與旋轉有關的問題提

--求繞原點旋轉一定角度的點的坐標

礎

升題型歸納

旋轉綜合

題

題-中心謝圖形的期

J關于原點對稱的點的坐標

根據旋轉的性質求解

（23-24九年級上?山西忻州?期中）

1.如圖，將繞點A順時針旋轉60。得到△/￡￡?,若線段/8=4,貝UBE的長為（）

A.3B.4C.5D.6

（23-24九年級上?山西大同?期中）

2.如圖，將△048繞著點。逆時針旋轉至△OH",使點B恰好落在線段/的上，若

ZAOA'=32°,則N9的度數為（）

O

A.58°B.64°C.74°D.78°

（22-23九年級上?山西呂梁?期中）

3.如圖，在RM48c中，ZACB=90°,48=50。，將△NBC以C為旋轉中心，順時針旋轉

角度1（0°<a<180°）,若49的中點。恰好在/C上，則旋轉角a的度數是（）

試卷第1頁，共12頁

'B

A.40°B.50°C.130°D.140°

（22-23九年級上?山西臨汾?期中）

4.如圖，已知點41,0）知點0）,將線段4B繞點4逆時針旋轉60。得到線段4C,連接8C,

再把LABC繞點A逆時針旋轉75°得至U△/旦￡,則點q的坐標是.

（23-24九年級上?山西大同?期中）

5.如圖，將△4C尸繞點C逆時針旋轉90。得到ABCM,點N,P,Q,B在同一直線上,

連接。M，若/PCQ=45。，/尸=4,QB=3,則尸。=.

（23-24九年級上?山西呂梁?期中）

6.綜合與實踐

（1）如圖1,△4BC為等邊三角形，先將三角板中的60。角與重合，再將三角板繞

點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于30。），旋轉后三角板的一直角邊與N3交于

點。，在三角板斜邊上取一點凡使CA=a）,線段N3上取點￡,使乙DCE=30。，連接

AF,EF.

①證明："ACF知BCD.

②證明：DE=EF.

（2）如圖2,△48C為等腰直角三角形，乙4cB=90。,先將三角板中的90。角與/NC3重

合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于45。），在三角板另一直角

試卷第2頁，共12頁

邊上取一點，，使C〃=C/，在線段N8上取點G,使/FCG=45。，連接請直

接寫出線段/G,G尸,尸尸之間的數量關系.

C

（22-23九年級上?山西臨汾?期中）

7.如圖，在平面直角坐標系中，yBC的頂點坐標分別是/（4,4）,8（5,2）,C（2,l）.

⑴畫出&ABC關于x軸對稱的△44G；

⑵畫出將△NSC先向左平移7個單位長度，再向下平移1個單位長度后得到的△外為。2；

⑶畫出將44&G繞點Cz順時針旋轉90。后得到的44員，并寫出點4的坐標.

（20-21九年級上?山西呂梁?期中）

8.利用如圖所示正方形網格，解決下列問題.

試卷第3頁，共12頁

y

A

(1)將△4BC以點。為中心，順時針旋轉90。得到△44G，畫出△44G；

(2)作出△4BC關于X軸對稱的△48,2.

觀察發現：

(3)△44C經過一次圖形變化就可以得到△4鳥6,這種圖形變化是(填“平移”“旋

轉”或“軸對稱”).

!題型

03|求繞原點旋轉一定角度的點的坐標

(22-23九年級上?山西臨汾?期中)

9.在平面直角坐標系中，點-3,2),連接。/,把線段。/繞原點。逆時針旋轉90。得到

線段OH,則點4的坐標是.

(23-24九年級上?山西大同?期中)

10.如圖、在平面直角坐標系中、點A的坐標為(-8,0),點B的坐標為(-4,3),將△048繞

點。順時針旋轉得到AOCD，點A的對應點C剛好落在AB的延長線上，則點B的對應點D

的坐標為.

試卷第4頁，共12頁

（20-21九年級上?山西?期中）

11.如圖，將一個含30。角的直角三角尺AOB放在平面直角坐標系中，兩條直角邊分別與

坐標軸重疊.已知NCMB=30。，4B=12,點D為斜邊AB的中點，現將三角尺AOB繞點

O順時針旋轉90。，則點D的對應點。的坐標為（）

A.(3月,3)B.(6A/3,-6)C.(3,-3A/3)D.(3百,-3)

!題型04|中心對稱圖形的識別

（23-24九年級上?山西大同?期中）

12.山西省第十六屆運動會于2023年8月8日在大同體育中心開幕，下列用篆書描繪的體

育圖標中，是中心對稱圖形的是（）

A.B.

⑵-24九年級上?山西呂梁?期中）

13.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

（23-24九年級上?山西朔州?期中）

14.刺繡，古代稱之為針繡，是用繡針引彩線，將設計的花紋在紡織品上刺繡運針，以繡跡

構成花紋圖案的一種工藝，是中國民間傳統手工藝之一.下列四個刺繡花紋圖案中，既是軸

對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

試卷第5頁，共12頁

（22-23九年級上?山西陽泉?期中）

15.如圖，在直角坐標系中，已知點4（9,6）,將AAB。繞點。逆時針方向旋轉180。后得到

△CDO,則點C的坐標是.

（23-24九年級上?山西大同?期中）

16.若點”（加,5）與點2（-2,〃）關于原點對稱，則2加+〃的值為

（23-24九年級上?山西晉城?期中）

17.如圖，在平面直角坐標系中，04=48=5,點2到y軸的距離是4,將△0/3關于原

點對稱得到AO/'B',再將AO'/月向左平移5個單位長度得到AO"A"B",則點B"的坐標為

（）

C.(-9,-9)D.(-9,-8)

試卷第6頁，共12頁

I題型01與旋轉有關的最值問題

（20-21九年級上?山西太原?期中）

18.如圖，正方形中，5c=4,點A/是線段的中點，點￡是對角線8。上一動點,

連接/E,將線段/￡繞點A逆時針旋轉90。至4尸，連接則線段板的最小值

（22-23九年級上?山西呂梁?期中）

19.如圖，在邊長為6的正方形4BC。中，M是上一動點，E是CM的中點，NE繞點

E順時針旋轉90。得到E尸，連接。E,DF.

（1）若AW=2,則/￡的長為.

（2）求證：DE=EF.

（3）求NC。尸的度數，及CF的最小值.

II

題型02I旋轉綜合

■?

（23-24九年級上?山西呂梁?期中）

20.綜合與實踐

如圖1,矩形ABCD的邊=4,4D=8,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉角?（0°<?<90°）

得到矩形NEFG,4D與E尸交于點〃.

數學思考：（1）填空：圖1中/〃iF=.（用含々的代數式表示）

試卷第7頁，共12頁

深入探究：（2）如圖2,當a=45。時，求。〃的長.

（3）如圖3,當點打在對角線/C的垂直平分線上時，連接C",求證：EH=DH.

圖1圖2圖3

（20-21九年級上?山西呂梁?期中）

21.綜合與實踐

問題情境

從“特殊到一般”是數學探究的常用方法之，類比特殊圖形中的數量關系和探究方法可以發現

一般圖形具有的普遍規律.

如圖1,在△NBC中，ZACB=90°,AC=BC,為8c邊上的中線，E為/。上一點，

將以點C為旋轉中心，逆時針旋轉90。得到△AFT,4D的延長線交線段于點

P.探究線段EP,FP,8尸之間的數量關系.

圖1圖2

數學思考

（1）請你在圖1中證明4PJL8廠；

特例探究

（2）如圖2,當CE垂直于AD時，求證：EP+FP=2BP；

類比再探

（3）請判斷（2）的結論在圖1中是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

（20-21九年級上?山西?期中）

22.綜合與實踐

如圖1,在正方形488中，點E為。C邊上一點，連接NE,點尸為/E的中點，過點

試卷第8頁，共12頁

E作EGJ./C于點G.連接。尸，FG.

觀察猜想：

（1）①NDbG與/D/C的數量關系是_；②。尸和FG的數量關系是

探究發現：

（2）將圖1中aEGC繞點C逆時針旋轉，使點￡恰好落在NC上，將線段。尸繞點尸旋

轉180。得到線段〃F,連接DG,H3,HE,如圖2所示，探究。G和佑的數量關系，并

說明理由；

（3）探究在（2）的條件下，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立,

請說明理由.

（22-23九年級上?山西大同?期中）

23.綜合與探究

2

如圖，已知二次函數y=-§x2+6x+c的圖象與x軸交于4C兩點（點/在點。左側），

2

與了軸交于點3,直線了=§x+2經過48兩點，點尸是直線43上方拋物線上的一個動點,

設點P的橫坐標為機，過點P作尸尸，無軸于點尸，交直線48于點D

試卷第9頁，共12頁

(1)求6,c的值；

(2)求線段尸。的最大值；

⑶連接&尸，將線段3尸繞點尸逆時針旋轉90。得到線段￡尸，是否存在這樣的點E,使點￡

恰好落在拋物線上.若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，說明理由.

(20-21九年級上?山西晉中?期中)

24.(1)如圖①，在等邊三角形N3C中，點尸在A42C內，且/^尸2=150。，猜想尸/,

PB,PC三條線段之間有何數量關系，并說明理由.

小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：

想法一：將ALPC繞點/按順時針方向旋轉60。，得到連接PP,尋找尸/,PB,

PC三條線段之間的數量關系；

想法二：將尸8繞點/按逆時針方向旋轉60。，得到AJPC,連接尸P,尋找尸/,PB,

PC三條線段之間的數量關系.…

請參考小明同學的想法，補充圖形，并完成該問題的解答過程.(一種方法即可)

(2)如圖②，點尸是正方形ABCZ)內一點，若乙4P2=135。，PA,PB,尸C三條線段之間

又有何數量關系？請說明理由.

(3)如圖③，點尸是正方形488外一點，若尸PB,PC三條線段滿足“類比探究”中的

數量關系，請直接寫出乙4尸8的度數.

(20-21九年級上?山西呂梁?期中)

25.實踐與探究

已知：ZiABC和aDOE都是等腰三角形，ZCAB=ZDOE=90°,點O是BC的中點，發現結

論：

(1)如圖1,當OE經過點A,OD經過點C時，線段AE和CD的數量關系是_，位置關

系是

(2)在圖1的基礎上，將aDOE繞點O順時針旋轉1(0。＜々＜90。)得到圖2,貝U問題

試卷第10頁，共12頁

（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）如圖3在（2）的基礎上，當AE=CE時，請求出口的度數.

（4）在（2）的基礎上，ADOE在旋轉的過程中設AC與OE相交于點F,當△OFC為等腰

三角形時，請直接寫出1的度數.

（23-24九年級上?山西太原?期中）

26.綜合與探究

問題情境：數學課上，老師引導同學們以“正方形中線段的旋轉”為主題開展數學活動.已知

正方形/2CD中，/3=2,點E是射線CD上一點（不與點C重合），連接BE,將5E繞點E

順時針旋轉90°得到FE,連接DF.

特例分析：（1）如圖1，當點E與點。重合時，求N4Db的度數；

深入談及：（2）當點￡不與點。重合時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請在圖2

與圖3中選擇一種情況進行證明；若不成立，請說明理由；

問題解決：（3）如圖4,當點E在線段CZ）上，且小=D4時，請直接寫出線段3尸的長.

（23-24九年級上?山西大同?期中）

27.在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，如圖①所示，已知直角三角形N3C

試卷第11頁，共12頁

中，BC=AC,點、E,D為AC、8c邊的中點.

操作探究

將AECD以點C為旋轉中心逆時針旋轉，得到△E'CD,連接.

(1)如圖②，判斷線段與8。'的數量關系與位置關系，并說明理由；

(2)如圖③，當B,D',夕三點在同一直線上時，ZE'AC=20°,求旋轉角的度數；

(3)如圖④，當旋轉到某一時刻，CD'_LAD',延長與交于點尸,請判斷四邊形D'CE'F

的形狀，并說明理由；

試卷第12頁，共12頁

1.B

【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，根據旋轉的性質可得

AB=AE,NBAE=60°,然后判斷出班是等邊三角形，再根據等邊三角形的三條邊都相等

可得BE=NB主要利用了旋轉前后對應邊相等以及旋轉角的定義.

【詳解】解：???△ABC繞點A順時針旋轉60。得到A/ED,

：.AB=AE,ZBAE=60°,

:.AAEB是等邊三角形，

：.BE=AB,

■：AB=4,

:.BE=4.

故選：B.

2.C

【分析】本題考查了旋轉的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的判定，根據旋轉可得:

OB=OB',ZAOA'=ZBOB',即可得到結論.

【詳解】解：由旋轉可得：OB=OB，,NACW=NBOB',

-.-zAOA'=32°,

ZAOA'=/BOB'=32°,

?1-OB=OB',

NB'=NOBB'=14°.

故選：C.

3.A

【分析】由直角三角形的兩個銳角互余得出N/=40。，再由旋轉的性質得出

=40°,NACB'=/ACB=90°.最后由直角三角形斜邊中線的性質即可得出

A'O=OC,從而得出乙4'C4=/H=40。，即a=40。.

【詳解】"ZACB=90°,4=50。，

NA=40°.

由旋轉的性質可知//'=//=40°,NA'CB'=NACB=90°.

又；A'B'的中點。恰好在AC±,

A'O=OC,

ZA'CA=ZA'=40°,即a=40°.

答案第1頁，共30頁

故選A.

【點睛】本題考查直角三角形的兩個銳角，旋轉的性質，直角三角形斜邊中線的性質.熟練

掌握旋轉的性質是解題關鍵.

4.(1-272,272)

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，坐標與圖形，得出

是等腰直角三角形，是解題的關鍵.

過點軸于點。，根據旋轉的性質得出/G=/C=/3=4,A4G。是等腰直角三角形,

根據勾股定理求得AD=2V2進而即可求解.

【詳解】解：如圖，過點G作CQLx軸于點D

???線段AB繞點A逆時針旋轉60。得到線段AC,

ABAC=60°,^ABC是等邊三角形.

?.?把ZUBC繞點A逆時針旋轉75。得到△N4G,

NCAC[=75°.

ZCtAD=45°.

二△力G。是等腰直角三角形.

?.?點4(1,0),3(5,0),

???AB=4.

:.ACl=AC=AB^4.

2

在放中，AC^=AD+CXD-,即2/h=4'解得3=20(負值已舍去).

AD=C[D=25/2.

答案第2頁，共30頁

.?.C|(1-2也,2物.

故答案為：(1-2亞,2/).

5.5

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，根據旋轉得

AC=BC,AP=BM=4,PC=MC,zACB=zPCM=90°,可證是直角三角形，根據勾

股定理求出加=5,再證出&AMC。即可得出結果.

【詳解】解：?.TP=4,△/CP繞點C逆時針旋轉90。得到ABCM,

AC=BC,AP=BM=4,PC=MC/ACB=zPCM=90°,//=ZCBM,

//=NCBA=45°,

NA=NCBM=45°,

ZQBM=90°,

QB=3,BM=4,

QM=V32+42=5，

■-ZPCQ=45°,NPCM=90°,

zPCQ=zMCQ=45°,

■：CQ=CQ,PC=MC,

"PCQaMCQ,

PQ=MQ=5.

故答案為：5.

6.(1)①見解析；②見解析；(2)AG2+FB2=GF2

【分析】(I)根據旋轉的性質和等邊三角形證明即可；通過條件證明AOCE義AFCE(SAS)即

可證明；

(2)同(1)可得：AHCA&FCB心咐,^CHGSACGF(SAS),再根據△ABC為等腰直角

三角形，全等三角形的性質可得NH4G=90。即可求解.

【詳解】解：(1)①證明：；△NBC是等邊三角形，

.-.AC=BC,ZBAC=6Q°.

ZDCF=60°,

ZACF=NBCD,

答案第3頁，共30頁

???CF=CD,

/分3CZ)(SAS)；

②證明：???NOCF=60。，ZDCE=30°,

ZFCE=30°,

ZFCE=ZDCE.

CF=CD,CE=CE

ADCEAFCE(SAS).

■■DE=EF；

解：(2)同(1)可得：AHCA三FCB(SAS),^CHGSACGF(SAS),

■.BF=AH,HG=GF,NB=NCAH,

???△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,

ZB=ZCAH=ZCAB=45°,

NH4G=90°,

???AG2+AH2=HG2,

■■AGr+FB2=GF2-,

【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質勾股定理，看

到旋轉要想到旋轉的性質，對應邊相等，對應角相等，以此來證明三角形全等.

7.(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析;4(-2,-2)

【分析】(1)作出點/、B、C關于x軸的對稱點4、耳、G，然后順次連接即可；

(2)作出點/、B、C平移后的對應點4、&、然后順次連接即可；

(3)作出點4、與繞點順時針旋轉90。后的對應點，然后順次連接即可得出△44G，

再寫出點4的坐標即可.

【詳解】(1)解：如圖，△/田。即為所求.

(2)解:如圖,△4與。2即為所求.

(3)解:如圖,△44G即為所求.

答案第4頁，共30頁

點4的坐標為（-2,-2）.

【點睛】本題主要考查了軸對稱作圖，旋轉作圖，平移作圖，解題的關鍵是作出對應點平移、

旋轉、軸對稱的對應點.

8.（1）所作圖形如圖所示；見解析；（2）所作圖形如圖所示；見解析；（3）軸對稱.

【分析】（1）根據旋轉的性質可直接進行作圖；

（2）先描出點A、B、C關于x軸的對稱點，然后進行依次連線即可；

（3）由（1）（2）圖像可直接進行求解.

【詳解】（1）（2）所作圖形如圖所示；

（3）由（1）（2）圖像可得△44G經過一次圖形變化就可以得到這種圖形變化

是軸對稱；

故答案為軸對稱.

【點睛】本題主要考查軸對稱及旋轉，熟練掌握在平面直角坐標系中作軸對稱圖形與旋轉圖

形是解題的關鍵.

答案第5頁，共30頁

9.(-2,-3)

【分析】過點/作NBIx軸于點8,過點/作軸于點C,得到

NABO=NOC/=90°,推出NCMB+N/O8=90。，根據旋轉性質得到。4=。4’，

ZAOA'=90°,推出乙lO2+//OC=90。，得到/O4B=//OC,推出AO42/A/OC,根

據/(一3,2),得到/3=2,08=3,推出/C=O8=3,OC=AB=2,得到/(-2,-3).

【詳解】如圖，過點/作481x軸于點3,過點/作/C_Lx軸于點C,

則ZABO=AOCA=90。，

■.ZOAB+ZAOB=90°,

???川-3,2),

AB=2,OB=3,

由旋轉知，OA=OA,ZAOA'=90°,

■■ZAOB+ZA'OC=90°,

???ZOAB=NA'OC,

...A。/的/。CA(AAS),

AC=OB=3,OC=AB=2,

A(-2,-3).

故答案為：(-2,-3),

【點睛】本題考查了平面直角坐標系中的圖形旋轉等，解決問題的關鍵是熟練掌握旋轉的性

質，全等三角形的判定與性質.

10.（4,3）

【分析】連接3。，交y軸于點E,過點5作2斤，無軸于點尸，本題先通過證明

答案第6頁，共30頁

AAOB=ZOBD,從而根據內錯角相等兩直線平行，證明8O〃x軸，得出再根

據等腰三角形的三線合一，可得DE=BE,即可解答

【詳解】如圖，連接2。，交>軸于點E,過點B作昉_Lx軸于點尸.

4C

AFaX

由旋轉，得/4OC=NBOD,OC=OA,OD=OB.

ZOAC=ZOCA=1(180°-Z^OC),ZOBD=ZODB=1(180°-NBOD)

AOAC=ZOBD.

一8,0),5(-4,3),

OA=8,OF=4.

AF=OA-OF=4.

AF=OF=4.

.8斤垂直平分

AB=OB.

ZOAC=ZAOB.

/.AAOB=ZOBD.

軸.

s.OEIBD.

DE=BE.

???8(-4,3),

BE=4,OE=3.

DE=4.

???點。的坐標為(4,3).

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，等腰三角形的“三線合一”的性質，“內錯角相等

兩直線平行線”的判定方法，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

11.D

答案第7頁，共30頁

【分析】先利用直角三角形的性質、勾股定理分別求出OB、0A的長，再根據旋轉的性質

可得。4',08'的長，從而可得點兒*的坐標，然后根據中點坐標公式即可得.

【詳解】；在必A/03中，Z0AB=30°,/5=12,

OB=-AB=6,OA=>]AB2-OB2=673,

2

由旋轉的性質得：04=CM=66,0夕=08=6,點。為斜邊的中點，

1??將三角尺A0B繞點0順時針旋轉90。,

???點A的對應點H落在x軸正半軸上，點B的對應點Q落在y軸負半軸上，

H(66,0),"(0,-6),

又.?,點D'為斜邊A'B'的中點，

0(6a+0,號)，即。'(36,-3),

故選：D.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質、勾股定理、旋轉的性質、中點坐標公式，熟練掌握

旋轉的性質是解題關鍵.

12.C

【分析】本題考查了中心對稱圖形的識別，熟記“把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果

旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形”是解題關鍵.

【詳解】解：由中心對稱圖形的定義可知，只有C選項是中心對稱圖形，

故選：C.

13.C

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的

概念，對各選項分析判斷即可得解.把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠

與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、既是中心對稱圖形又是是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：C.

答案第8頁，共30頁

14.D

【分析】中心對稱是指把一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果它能夠與另一個圖形重合，

那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后,

直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.由此

即可求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，軸對稱圖形的識別，理解并掌握中心對稱圖形的定義，

軸對稱圖形的定義，找出中心對稱點，對稱軸是解題的關鍵.

15.(-9,-6)

【分析】根據中心對稱的性質解決問題即可.關于原點對稱的兩個點，它們的橫坐標互為相

反數，縱坐標也互為相反數.

【詳解】解：由題意C關于原點對稱，

VA(9,6),

C(-9,-6),

故本答案為：(-9,-6).

【點睛】本題考查中心對稱，旋轉變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

常考題型.

16.-1

【分析】本題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標符號是解題的關鍵.本

題直接利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,力關于原點。的對稱

點是再代入計算即可得出答案.

【詳解】解：???點，(加⑸與點8(-2,〃)關于原點對稱,

:.m=2,n=—5,

???2m+n=4-5=-1,

故答案為：-1.

答案第9頁，共30頁

17.D

【分析】此題主要考查直角坐標系中關于原點對稱的點的坐標性質，坐標與圖形變換一平移,

勾股定理，作BCL.y軸于點C,根據勾股定理求出=彳=3,然后得到點2的坐標

為(4,8),然后根據關于原點對稱的點的坐標性質得到點9的坐標為(-4,-8),然后坐標系中

點的平移規律求解即可.解題的關鍵是掌握關于原點對稱的點的坐標性質(橫縱坐標互為相

反數)與點的平移的規律(左減右加).

【詳解】解：如圖，作了軸于點C,

???點3到y軸的距離為4,

BC=4,

■■AC=后"=3，

.-.OC=5+8=8,

.??點3的坐標為(4,8),

???點B關于原點對稱的點B'的坐標為(-4,-8),

點Q’的坐標為(一9,-8).

故選：D.

18.V2.

【分析】連接DF,由題意可得NADF=45。且當MF1DF時MF有最小值，所以根據勾股定理

及正方形的邊長即可得到解答.

【詳解】解：如圖，連接。尸，

答案第10頁，共30頁

F

A

??,四邊形/BCD是正方形，

AB=AD,ZABD=45°,

???將線段AE繞點A逆時針旋轉90°至AF,

AE=AF,ZEAF=90°,

ZEAF=ZBAD=90°,

ZBAE=ZDAF,

在.BAE和△加尸中,

AB=AD

<NBAE=NDAF,

AE=AF

??.△BAE%LDAFlSAS),

??.ZADF=ZABE=45°,

???。/與/。所成的角為45。，

???當尸時，又少有最小值，

,?,點M是線段4。的中點，

：.MD=-AD=2

2f

MDrr

:.MF=F=也，

故答案為

【點睛】本題考查旋轉與正方形的綜合應用，熟練掌握旋轉的性質、正方形的性質及三角形

全等的判定與性質是解題關鍵.

19.(1)/￡=衣

⑵見解析

(3)ZCDF=45°,C尸的最小值為3夜.

【分析】(1)過E作EGJL/8于點G,根據￡是。亂的中點，由平行線分線段成比例定理

答案第11頁，共30頁

及中位線定理可知EG=3,/G=5,再由勾股定理即可求出/E的長;

(2)連接班，證出△N8E會ADCEGS^S),進而易求證DE=斯；

(3)連接歹C,過點C作尸于點尸，根據四邊形內角和定理，求出/C。尸=45。,

再根據垂線段最短找到CF的最小值為W的長，進而求出W的長即可.

【詳解】(1)解：過E作EGLN8于點G,則EG〃3C,如下圖：

MEMG

"~CE~^G'

???E是CM的中點，

：.MG=BG,

二由中位線定理可知：EG=—BC=3,AG=AB-BM=5,

2

.,.在Rt/\AGE中，4E=siAG2+GE2=A/52+32=734，

AE=V34；

(2)證明：連接BE,???/43。=90。，E是C"的中點，

:,BE=ME=CE,

???/EBC=ZECB,

-ZABC=ZDCB=90°,

ZABC-ZEBC=ZDCB-ZECB,gpZABE=ZDCE,

??,BE=CE,AB=CD,

??.AABE^ADCE(SAS),

???AE=DE,

??,AE=EF,

DE=EF；

答案第12頁，共30頁

(3)連接尸C,過點。作C尸」。尸于點尸'，如下圖:

由(2)知AE=DE=EF,

-ZDAE=ZADE,/EDF=/EFD,

???NAEF+ZDAE+/ADE+ZEDF+ZEFD=360°,

???2/ADE+2/EDF=270°,

??.ZADF=135°,

.?"CDF=ZADF-ZADC=135。一90。=45。，

???點廠在。尸上運動，

??.當尸時，C戶的最小值為CP的長，

vCD=6,/CDF=45。,

?.6=1=3后,

NCDF=45。，CF的最小值為3底.

【點睛】此題主要考查了正方形性質，平行線分線段成比例定理，中位線定理，全等三角形

的判定與性質，旋轉的性質等知識，解題關鍵是正確作出輔助線.

20.(1)180。-。；(2)。"=8-4應；(3)見解析

【分析】⑴利用等角的余角相等得到==再利用鄰補角的性質即可求解;

(2)證明AE4H是等腰直角三角形，利用勾股定理求得/#=4行，據此求解即可；

(3)根據線段垂直平分線的性質求得〃4=C”，利用HL證明即可證

明結論成立.

【詳解】解：(1)???四邊形和/E尸G是矩形，

ABAD=NE=90°,

；.NBAE+NEAH=ZEAH+NAHE=90°,

ZBAE=ZAHE=a,

答案第13頁，共30頁

ZAHF=1SO0-a,

故答案為：180。-a；

（2）?.?將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉角a得到矩形AEFG,

*'?AE=AB=4,

a=45°,

??.ZEAH=45°,

.J胡〃是等腰直角三角形，

???AH=42AE=472，

■■DH=AD-AH=8-4y/2.;

（3）?.?點〃在對角線/C的垂直平分線上，

HA=CH,

由旋轉的性質知4E=48=CD,NE=ND=9。。,

RtA^E//^RtACr>77（HL）,

■.EH=DH.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，線段垂直平

分線的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

21.（1）見解析；（2）見解析；（3）成立.證明見解析.

【分析】（1）根據旋轉圖形的性質，RJMAAEC^ABFC,得至UNFBC=NEAC,再由三角形

內角和證明AP1BE即可.

（2）先證明四邊形CEPF是正方形，得至!JCE=FP,再證明4CEDmABPD,可得CE=BP,

則問題可證.

（3）過點C作CG1AD,垂足為G,CH1BP,垂足為H,則按照（1）中方法問題證.

【詳解】（1）證明：根據旋轉圖形的性質，可得^AEC三ABFC,

???ZFBC=ZEAC.

又???ZADC=NBDP,Z.EAC+ZADC=180°-Z.ACD=90°,

.-.ZBDP+ZFBC=9O°,

.?.zBPD=180°-（ZBDP+Z.FBC）=90°,

???APIBE.

（2）證明：vzCEP=zEPF=zECF=90°,

答案第14頁，共30頁

???四邊形CEPF是矩形.

???CE=CF

???四邊形CEPF是正方形.

???CE=EP=FP.

又???4CDE=NBDP,CD=BD,ZCED=ZBPD=90°

.-.△CED=ABPD,

???CE=BP.

???EP+FP=2CE=2BP.

(3)成立.

理由如下：過點C作CG1AD,垂足為G,CH1BP,垂足為H.

vABFC由AAEC逆時針90。旋轉得到，

.*.ZAEC=ZBFC,CE=CF,zECF=90°.

vzCEG+zAEC=l80°,ZCFH+ZBFC=18O°,

.*.ZCEG=ZCFH.

vzCGE=zCHF=90°,

.*.ACEG=ACFH,

???CH=CG,EG=FH.

???EP+FP=GP+HP

vzCGP=zGPH=zH=90°,

???四邊形CGPH是正方形.

又(2)可知，GP+PH=2BP,

???EP+PF=2BP.

【點睛】本題考查了利用圖形旋轉證明三角形全等以及正方形的性質和判定，解答關鍵是應

用由特殊到一般思想，通過類比方法證明問題.

22.(1)@ZDFG=2ZDAC；@DF=FG；(2)DG=HG,理由見解析；(3)成立，證

明見解析.

答案第15頁，共30頁

【分析】(1)①先根據正方形的性質可得NNOC=90。，再根據直角三角形的性質可得

DF=AF=EF=^AE,然后根據等腰三角形的性質、三角形的外角性質可得

ZDFE=2NDAF,同樣的方法可得FG=AF=EF=；AE,NGFE=2ZGAF,最后根據角的

和差即可得；

②由①已證得=么尸=防=：4&,FG=AF=EF=3AE,由此即可得；

(2)先根據三角形全等的判定定理與性質可得力。=硒,/的=/"尸=45。，再根據旋

轉的性質、等腰直角三角形的判定與性質可得/CEG=/ECG=45o,EG=CG,從而可得

NDCG=NHEG=90。,然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證；

(3)先根據三角形全等的性質可得。G=8G,/HGE=/DGC,再根據角的和差可得

/HGD=NEGC=90°,然后根據等腰直角三角形的判定與性質可得NDFG=9Q°,DF=FG,

由此即可得出結論.

【詳解】(1)①???四邊形ABCD是正方形，

NADC=90°,

???點尸為NE的中點，

：.DF=AF=EF=-AE,

2

ZADF=ZDAF,

ZDFE=ZADF+NDAF=2ZDAF,

同理可得：FG=AF=EF=；AE,NGFE=2NGAF,

ZDFG=ZDFE+NGFE=2NDAF+2.ZGAF=2(ZDAF+ZGAF)=2ZDAC,

故答案為：ADFG=1ADAC-

②由①已證：DF=AF=EF=^AE,FG=AF=EF=^AE,

則DF=FG,

故答案為：DF=FG；

(2)DG=HG,理由如下：

???四邊形A8CA是正方形，

AD=DC,ZDCB=90°,ADAC=ZDCA=45°,

???線段DF繞點F旋轉180°得到線段HF,

DF=HF,

答案第16頁，共30頁

,??點尸為/￡的中點，

AF=EF,

AF=EF

在尸和△￡/如中，＜ZAFD=ZEFH,

DF=HF

：AADF=@HF(SAS),

AD=EH,NHEF=/DAF=45。,

DC=EH,

???圖1中的RtXEGC繞點C逆時針旋轉，使點E恰好落在AC±9

:./CEG=/ECG=45。,

/.EG=CG,

NCEG=45。，ZHEF=45°,

/.NHEG=180-ZHEF-ZCEG=90°,

ZDCG=/HEG,

CG=EG

在△OCG和△小G中，izDCG=ZHEG,

DC=HE

:.力CGNWEG(SAS),

DG=HG；

(3)在(2)的條件下，(1)中的結論仍然成立，證明如下：

由(2)已證：△DCGNAHEG,

DG=HG,/LHGE=ZDGC,

ZHGD=ZHGE+ZEGD=/DGC+ZEGD=ZEGC=90°,

.?.△以汨為等腰直角三角形，

又?：DF=HF,即FG為斜邊DH上的中線，

:.DF上GF,DF=FG,

ZDFG=90°,

又???/ZMC=45。，

ZDFG=2ZDAC.

【點睛】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、三角形全等的判定定理與性質、直角三角

答案第17頁，共30頁

形的性質等知識點，較難的是題(2),正確找出兩組全等三角形是解題關鍵.

4

23.⑴6=-§,c=2

(2)最大值是:3

(7-797)

⑶存在，FI4J

2?

【分析】(1)根據直線V=§x+2經過43兩點，得45的坐標，代入y=-§x2+6x+c,

即可求解；

(2)依題意，點小+2),則。卜,：m+2j,表示出PD,根據二次函數的性

質求得最大值即可；

(3)過點E作EGLx于點G,根據旋轉的性質得出AEG尸0AFOB,設廠(-m,0)(加＞0),

24

得出￡(一加一2,機)，由E點在>=一§/一§y+2上，代入解方程即可求解.

2

【詳解】(1)解：?.?直線尸尸+2經過4B兩點，

當％=0時，V=2,當歹=0時，x=-3.

2

，直線>=寸+2與坐標軸的交點坐標為/(-3,0)1(0,2).

將4-3,0),5(0,2)代入歹=—§/+/+。，

b=--,

解得3

c=2.

4

：.b=—,c=2.

3

24

(2)解：由(1)得y=_§工+2.

,:點P的橫坐標為m,

點尸］機,_|■機2_gm+2)則機■加+21.

24(2、

PD=——m2——m+2-—m+2.

33U)

22n

——m—2m,

3

2(3丫3/々小

=--Im+~^\+/(_3<加<0)；

答案第18頁，共30頁

...當加=_；3時，PD最大,最大值是3：.

22

（3）解：如圖，過點￡作EG_Lx于點G,

備用圖

???將線段BF繞點、F逆時針旋轉90°得到線段EF,

ZBFE=90°,BF=EF,

???ZEGF=ZFOB=90°,

??.ZGEF=90°-NEFG=ABFO,

???AEGFOFOB,

??.EG=FO,FG=BO,

設廠（—私0）（加〉0）,貝|/O=EG=加,Gb=03=2,

工E（-m-2,m）,

24

丁石點在＞=-yX+2上，

240

m=——m2——m+2,

33

解得：mJ屈或mJ屈（舍去）

44

d7-V97）

■■-F---,0.

I4）

【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，線段問題，旋轉的性質，全等三角形的性質與判

定，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

24.（1）PA2+PB2=PC2,見解析；（2）AP2+2BP2=CP2,見解析；（3）45°

【分析】（1）證法一根據小明同學的想法根據旋轉的性質、勾股定理、等邊三角形的性質進

行證明；

答案第19頁，共30頁

(2)證法一：將△APC繞點N按順時針方向旋轉60。，得到A4P8,連接尸P,尋找P4,

PB,尸C三條線段之間的數量關系；

證法二：將△CP8繞點8按逆時針方向旋轉90。，得到A4P8,連接尸P,尋找P4,PB,

尸。三條線段之間的數量關系.

(3)將aBPC繞點8逆時針旋轉90。，得到△8PN,連接PP,再根據勾股定理的逆定理得

出ZJPP=9O。，從而得出乙4尸2的度數

【詳解】(1)結論：PA2+PB2=PC2.

理由：證法一：如圖②-1中，將AlPC繞點/按順時針方向旋轉60。，得到A4P3,連接

PP'.

.?.A