第1頁共13頁《直線和平面復習》課堂教學實錄（一）教學目標1．配合系統復習，進一步培養空間想象力；2．借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內心、外心等知識，解決立體幾何問題．教學重點和難點1．空間想象力的培養；2．分析問題能力與綜合運用知識能力的培養．教學設計過程師：同學們已經很好地完成了知識總結的作業，有些同學還將知識的內在聯系用圖表展示出來．也有的同學將各種位置關系用圖形語言和符號語言進行歸納和整理．在此一并提出表揚．我們將把這些總結用展板展示，請同學們互相學習．師：本節課我們將通過一組問題來進行復習．復習的目的之一是進一步培養同學們的空間想象力．關于空間想象力的問題，在高一年級剛開始時，單純的想象占主導地位，隨著一個學期的學習，關于線面的各種位置關系及性質研究的深入，單純的想象力就轉化為：在線面各種位置關系的定義、性質定理指導下的想象．請先看下面一組題目：填空題：1．空間三個平面可能將空間分成______部分．2．正方體各個面所在的平面將空間分成______部分．3．與空間四個點距離相等的平面有______個．*4．A，B，C，D是空間不共面的四點．它們到平面α的距離比（依次）為：2∶1∶1∶1，滿足條件的平面α有＿＿個．生：第1題空間三個平面可能將空間分成4或6或7或8部分．師：請你畫圖說明你的觀點．生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個平面將空間分成4，6，7，8部分．生：第2題答案是27．師：你給同學們解釋一下，答案為什么是27．生：（手拿一個粉筆盒）這個粉筆盒近似看成一個正方體，它的上底面與下底之間被分成9部分．同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分．總計正方體各個面所在的平面將空間分成27部分．師：對于第3小題，需要先證明下面的命題：線段AB與平面α相交，若AB中點C在平面α上，則點A、點B到平面α的距離相等．生A：本題的答案為4，因為經過有公共頂點的三條棱的中點作截面，根據老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件．（如圖5）生B：還有一種情況．剛才生A所作平面使已知四個點中有三個在平面的同一側，另外一個點在另一側．我想所作平面兩側各有2個點．如圖6．這類平面共有3個，即V，A兩點在平面同側；V，B兩點在平面同側；V，C兩點在平面同側．師：剛才兩名同學講的都很好，相互補充，符合條件的平面共有7個．同學們有不同意見嗎？……師：剛才兩名同學都認為已知四個點不共面，事實上，當這四個點共面時，符合題目要求的平面有無數個．只要與四點所在平面平行的平面都符合要求．生：老師，如果這四個點共線呢？師：當四個點共線時，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個題目的正確答案應該是7個或無數個．分類討論的方法不僅在代數課上使用，幾何學中也經常使用，此題就是按照圖形的不同位置關系進行分類討論．我們繼續討論第4題．生：我認為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點A、點B師：他的猜測是正確的．這個命題的正確性請同學們課下論證．下面我們討論第4小題的解法．生A：分別延長AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如圖7，則平面α就是平面B1C1D1．生B：分別在AB，AC，AD上取點B′，C′，D′，使得：師：分別取BC，CD，DA的中點E，F，G．那么經過EG的任何一個平面都滿足：它與B，C，D三點的距離相等，在這些平面中，經過點B′或經過C′D′（因為C′D′∥CD∥GE）的平面符合題目要求．（圖8）經過EG有兩個平面符合題意．同樣，經過EF，FG各有兩個平面符合題意，綜合以上分析共有8個平面符合題目要求．師：問題5．是否存在一個四面體，它的每個面都是直角三角形？請同學們思考．……生A：我找到一個幾何體，它的三個面都是直角三角形．如圖

9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾經證過生A所給的圖中，△ABC是銳角三角形．師：根據兩名同學的發言，給我們以下啟示：三個面是直角三角形的幾個體已經找到；三個直角頂點不能是同一個點！構造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再構造∠ACB=90°，同學們不難證明∠VCB=90°．生：是根據三垂線定理．師：空間想象力在不同時期有不同要求．上面這個問題如果是高一第一學期開始讓同學們作，那就只有想象或動手制做模型．現在解決它，可以借助我們所學的線面位置關系去尋找解決問題的方法，并且在想象結束時，論證想象的合理性．師；如圖11，正方體ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分別在C1D1，CC1，AB上．畫出截面PQR與正方體各面的交線．由公理知：PQ面DC1．因為面AB1∥面DC1，截面與它們相交，交線必平行（根據面面平行的性質定理）．過點R在面AB1中作PQ平行線交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，連結EQ，過S作SF∥EQ交A1D1于F，連FP，則多邊形PQERSF的邊就是截面PQR與正方體各面的交線．師：同學們請看下面一組題：6．從平面外一點向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一點P，PA=PB=PC=13，點P到△ABC所在平面的距離為______．生：垂足是斜足多邊形的外心，因為從平面外一點向平面引斜線．它們與平面所成角相等，可以得到它們的長相等，它們在平面內的射影長也相等．師：同學們還可以進一步思考，滿足什么條件時，垂足是斜足多邊形的內心？垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠將條件、結論變換后的有關命題進行研究，可達到事半功倍，提高能力的效果．師：根據已知條件，第7小題中，點P在△ABC所在平面上的射影恰為△ABC的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由點P引平面ABC的垂線，垂足恰為△ABC斜邊AB的中點，你們知道了解題思路嗎？生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因為∠ACB=90°，由平面幾何知識，得出D為AB的中點．PA=13，AD=5，PD=12．即點P到平面ABC的距離為12．師：三角形的垂心、內心、外心、重心的知識在立體幾何中經常使用．有一些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運用四心有關的知識，可簡化解題過程．下面一道題目也是與三角形的“心”有關的問題．8．如圖13，正△ABC邊長為a，O為外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分別為AC，AB的中點，且PA∥面DEFG．求：四邊形DEFG的面積．由題設我們能得到哪些有用的結論？生A：因為PA∥面EFGD，由線面平行的性質可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分別是AB，AC的中點，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．進一步得出BC∥FG．綜上DEFG是平行四邊形．能求出平行四邊形DEFG的面積．師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發揮作用．①等邊△ABC；②O為△ABC的外心，生C：當O為等邊三角形外心時，它也是等邊△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂線定理知：BC⊥PA．已經證明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF⊥DE，EFGD為一矩形，它的面積師：有效地利用“心”的有關概念，較好地解決一些立體幾何問題．本節課重點討論了兩個方面的問題；1．關于空間想象力的進一步培養問題．不是空象，要注意有意識地利用各種線面位置關系．2．通過問題，適當復習了平面幾何中的“四心”問題，進一步掌握利用“四心”的知識解決的方法．下面布置作業：（略）《直線和平面復習》課堂實錄（二）教學目標結合第一章的內容，滲透數學思想方法．（數形結合思想；方程的思想；轉化的思想；分類討論的思想）教學重點和難點數學思想的滲透與培養．教學設計過程師：今天是復習課的最后一節．今天以復習題目中體現的數學思想為主線，研究幾種常用數學思想在本章的體現．分類討論的思想是同學們比較熟悉的．使用較多的是在代數課上y=ax2+bx+c的圖象，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．幾何中，分類討論思想的應用，主要是依據圖形中元素位置關系的不同而展開的．請看以下一組題目：例1

已知：a∥b，直線a平面α，直線b平面α，直線c平面α，c∥a．若直線a與直線b的距離為6cm，直線b與直線c的距離5cm，直線c與平面α的距離為4cm．求：直線a與直線c的距離．（教師畫圖）生A：在直線c上任取一點A，作AB⊥α于B，過B作BC⊥a于C，反向延長交b于D，因為a∥b，所以BC⊥b．分別連結AC、AD，根據三垂線定理，a⊥AC，b⊥AD．據題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．師：哪位同學對“生A”的解答有補充？師：生A的解答基礎是依據我畫的圖．而原題中并沒有給圖，也沒有“如圖”這樣的說明，因此我們先要研究圖應該怎么畫！生B：老師，我對“生A”的發言有補充．這個題目的圖形還有以下兩種可能：師：好．這道題目體現了分類討論的思想．它是根據直線c在平面α內射影的不同位置來進行討論的．生C：老師，我認為還有兩種情況：情形1：直線c在平面α內射影與直線a重合．情形2：直線c在平面α內射影與直線b重合．師：“生C”同學的補充很好．例1應該分為5種情況來討論．但是其中會有一些情況無解，請同學們現在實踐一下．圖一的位置．其余三種位置關系均無解．師：還有一點提醒同學們注意：對于不同的位置關系，解題時都要給予論述，對于無解的情形要講清無解的原因。有些同學認為無解就不用寫了，這種認識是錯誤的．再看例2．例2

平面α外兩點A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點P到平面α的距離．生A：我認為有兩種情況：一種是點A、點B在平面α同側；另一種是點A、點B在平面α異側．生B：我有不同看法，已知條件中沒有給出a，b的大小關系，“生A”解決圖5情形時，默認為b＞a是不對的，應該再分兩種情形：師：“生B”的補充很好，例2不僅在圖形的位置關系上分類討論，還要根據數據a，b的大小關系來分類討論．如果簡化題目，已知條件上補一個條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？生C：當A，B兩點在兩側時，在圖6中，點P不一定在A1B1上方．當b＞2a時，點P位于A1B1上方；當b=2a時，點P在A1B1上；師：經過“生C”的補充，題目解答就全面了．下面談一下方程的思想．在初中階段，同學們重點研究了列方程解應用題，這就是最基本的方程的思想．通過設未知數，尋求已知量與未知量之間的關系，從而獲得問題的解決．下面請看例3．例3

如圖7，二面角α-l-β，點B∈l，ABα，BCβ．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．求：二面角α-l-β的大小．師：首先我們可以根據二面角的平面角的定義構造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點D，經過點D分別在α，β平面內作l的垂線交BA，BC于E，F．設AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．∠EDF=90°．本例特點在于題目中沒有給出任何線段的長度，而是通過設未知量，進而知道已知與未知的關系．例4

二面角α-EF-β為120°，點A∈α，點B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點D．問：D點在何處時，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？為了確定點D的位置，可設與D點有關的某一條線段長為x，依據題設建立等量關系．再求出x的值，同學們實踐一下．生A：在EF上取點D，設AD=x．因為

AC=BC=a，∠ACB=120°，因為

∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以

∠ADC=180°-θ．△ABD中由余弦定理可得：AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運用了圖8中各點之間位置關系．應該給予討論，當點D位于CF之間時，∠ADC=180°而不是等于180°-θ．師：“生B”的問題提的好，在“生A”的解答中，距點C的距離例5

如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由求：△ABC的周長．師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁．生：觀察圖形，我發現圖中有三對全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．師：上面列舉了3個題目，從不同的側面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．下面再談一下轉化的思想，轉化的內涵十分豐富．有條件的轉化；結論的轉化；圖形的轉化；解題策略的轉化……事實上，許多題目的解答過程都不同程度在使用轉化的思