第三講幾何概型(文)第六講幾何概型(理)A組基礎鞏固一、選擇題1．(2024·遼寧省葫蘆島市模擬)某次測量發覺一組數據(xi，yi)具有較強的相關性，并計算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中數據(1，y1)因書寫不清晰，只記得y1是[0,3]上的一個值，則該數據對應的殘差(殘差＝真實值－預料值)的肯定值不大于0.5的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]依題意可知，估計值為1＋1.5＝2.5，殘差為y1－2.5，依題意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率為eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故選C．2．(2024·云南昆明一中檢測)在區間[0,8]上隨機取一個實數a，則方程x2＋2ax＋16＝0有實數根的概率為(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它與0≤a≤8的公共元素為4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，選B.3．(2024·湖北武漢調研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)[解析]設MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A．4.(2024·湖南湘潭模擬)如圖來自中國古代的木紋飾圖．若大正方形的邊長為6個單位長度，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，則在大正方形內隨機取一點，此點取自圖形中小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)[解析]因為大正方形的面積為6×6＝36；而小正方的面積為1×1＝1；故在大正方形內隨機取一點，大正方形內部有8個小正方形，此點取自圖形中小正方形內的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故選D.5．(2024·廣西河池期末)在區間[4,12]上隨機地取一個實數a，則方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]因為方程2x2－ax＋8＝0有實數根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有實數根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故選D.6．(2024·貴州貴陽四校聯考)在區間[－2,2]隨機取一個數x，則事務“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x

SymbolcB@0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”發生的概率為(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)[解析]事務“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由題可知，該分段函數是一個增函數，y∈[eq\f(1,2)，2]，此時x∈[－1,1]，所以該事務發生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故選D.7．(2024·貴州貴陽模擬)若貴陽某路公交車起點站的發車時間為635,650,705，小明同學在640至705之間到達起點站乘坐公交車，且到達起點站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)[解析]640至705共25分鐘，小明同學等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是645至650和700至705到站，共10分鐘，所以所求概率為P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選C．8.(2024·山西太原模擬)七巧板是中國古代勞動人民獨創的一種傳統智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．(清)陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數七，其改變之式多至千余，體物肖形，順手變化，蓋嬉戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)[解析]設正方形邊長為a，則其面積S＝a2，陰影部分面積S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故選C．9．(2024·湖北省四校聯考)如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別對應平行，且各邊都被交點三等分，若往該圖案內投擲一點，則該點落在圖中陰影部分內的概率為(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]設六角星的中心點為O，分別將點O與兩個等邊三角形的六個交點連接起來，則將陰影部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故選C．10．(2024·武漢武昌區聯考)若從區間(0,2)內隨機取兩個數，則這兩個數的比不小于4的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]設這兩個數分別為x，y，則由條件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，則所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2024·河南三門峽模擬)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內有一內接正四棱錐S－ABCD，該四棱錐的體積為eq\f(4\r(2),3)，現在半球內任取一點，則該點在正四棱錐內的概率為(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)[解析]設球半徑為R，正四棱錐底面邊長為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故選A．12．(2024·安徽合肥質檢)若在x2＋y2≤1所圍區域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區域內的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)[解析]不等式x2＋y2≤1表示的區域是半徑為1的圓，面積為π，且|x|＋|y|≤1滿意不等式x2＋y2≤1表示的區域是邊長為eq\r(2)的正方形，面積為2，∴在x2＋y2≤1所圍區域內隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區域內的概率為eq\f(2,π)，故選B.13．(2024·廣西欽州、崇左質檢)用電腦每次可以從區間(0,3)內自動生成一個實數，且每次生成的實數都是等可能性的．若用該電腦連續生成2個實數，則這2個實數都小于1的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,9)[解析]設電腦兩次生成的數分別為x，y，S1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<3,0<y<3))))))，S2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))))))，∴所求概率P＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(1,9)，故選D.(理)∵每次生成一個實數小于1的概率為eq\f(1,3).∴這2個實數都小于1的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).故選D.14．(2024·課標Ⅰ卷改編)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則下列結論正確的個數為(C)①p1＝p2②p1＝p3③p1的最大值為eq\f(2,π＋2)④p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設AB＝c，AC＝b，則區域Ⅰ的面積S1＝eq\f(1,2)bc；區域Ⅲ的面積S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，區域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由幾何概型可知p1＝p2，故①正確；又整個區域的面積S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(當且僅當b＝c時取等號)，即p1的最大值為eq\f(2,π＋2)，③正確；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(當且僅當b＝c時取等號)，即p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)，④正確；明顯②錯．故選C．二、填空題15．(2024·福建漳州調研)在半徑為2的圓C內任取一點P，則以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)的概率為eq\f(3,4).[解析]由題可知，當且僅當弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1時，以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)，由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2024·河北衡水中學調研)有一個底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為eq\f(1,3).[解析]到點O1，O2距離為1的點是半徑為1的球面，所以所求概率為P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2024·廣東六校聯考)我國傳統的房屋建筑中，常會出現一些形態不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構成種類繁多的圖案，如圖所示的窗欞圖案，是將半徑為R的圓六等分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內部構成的平面圖形，現在向該圓形區域內的隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在黑色部分(忽視圖中的白線)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).[解析]∵陰影部分面積為12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πR2－\f(R,2)×\f(\r(3)R,2)))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飛鏢落在黑色部分的概率為eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故答案為2－eq\f(3\r(3),π).B組實力提升1.(2024·四川瀘州二診)我國三國時期的數學家趙爽為了證明勾股定理創制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形，設直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內隨機取一點，則此點取自小正方形內的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[解析]設直角三角形較短的直角邊的邊長為a，則小正方形的邊長為2a，大正方形的邊長為eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故選D.2．(2024·四川達州診斷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中點，在矩形ABCD內(包括邊界)隨機取一點F，事務eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1發生的概率為(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中點，在矩形ABCD內(包括邊界)隨機取一點F，事務eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1即：|eq\o(EF,\s\up6(→))|≤1，如圖所示：所以P＝eq\f(S陰影,S矩形)＝eq\f(\f(1,2)·π·12,2)＝eq\f(π,4).故選A．3．(2024·福建莆田質檢/安徽蕪湖模擬)中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝飾生活或協作其他民俗活動的民間藝術，蘊涵了極致的數學美和豐富的傳統文化信息．現有一幅剪紙的設計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內切于正方形的兩鄰邊．若在正方形內隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C．eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)[解析]分析題意可知，陰影部分剛好可以拼湊成一個圓形，設圓的半徑為R，該正方形的邊長為l，eq\r(2)l＝2(eq\r(2)R＋R)，∴l＝(2＋eq\r(2))R，∴所求概率P＝eq\f(πR2,2＋\r(2)2R2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故選A．4．(2024·河南階段測試)《九章算術·商功》中有這樣一段話：“斜解