學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5（整體設計））教學分析倍角公式是在研究了兩角和與差的三角函數的基礎上，進一步研究具有“二倍角”關系的正弦、余弦、正切公式的,它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又為以后求三角函數值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具,通過對二倍角的推導知道,二倍角的內涵是:揭示具有倍數關系的兩個三角函數的運算規律，通過推導還讓學生加深理解了高中數學由一般到特殊的化歸思想．因此本節內容也是培養學生運算和邏輯推理能力的重要內容,對培養學生的探索精神和創新能力、發現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．本節課通過教師提出問題、設置情境及對和角公式中α、β關系的特殊情形α＝β時的簡化，讓學生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數與倍角公式的聯系,同時也讓學生學會怎樣發現規律及體會由一般到特殊的化歸思想．這一切教師要引導學生自己去做，因為，《數學課程標準》提出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗．”在實際教學過程中不要過多地補充一些高技巧、高難度的練習，否則就違背了新課標在這一節的編寫意圖和新課改精神．三維目標1．通過讓學生探索、發現并推導二倍角公式，了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內在聯系,并通過強化題目的訓練，加深對二倍角公式的理解,培養運算能力及邏輯推理能力．2．通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明．體會化歸這一基本數學思想在發現中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用．3．通過本節學習，引導學生領悟尋找數學規律的方法,培養學生的創新意識，以及善于發現和勇于探索的科學精神．重點難點教學重點：二倍角公式推導及其應用．教學難點：靈活應用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式．課時安排1課時eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學過程）)導入新課思路1.（復習導入）請學生回憶上兩節共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學生默寫這六個公式．教師引導學生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的．當兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢？今天，我們進一步探討一下二倍角的問題,請同學們思考一下，應解決哪些問題呢？由此展開新課．思路2。(問題導入)出示問題，讓學生計算，若sinα＝eq\f（3,5)，α∈(eq\f（π，2)，π)，求sin2α，cos2α的值．學生會很容易看出：sin2α＝sin（α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展開新課，并由此展開聯想推出其他公式．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))1還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？請學生默寫出來，并由一名學生到黑板默寫2你寫的這三個公式中角α、β會有特殊關系α＝β嗎?此時公式變成什么形式？3在得到的C2α公式中，還有其他表示形式嗎？4細心觀察二倍角公式結構，有什么特征呢？5能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？6讓學生填空：老師隨機給出等號一邊括號內的角，學生回答等號另一邊括號內的角，稍后兩人為一組，做填數游戲:sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2。7思考過公式的逆用嗎?想一想C2α還有哪些變形？8請思考以下問題：sin2α＝2sinα嗎?cos2α＝2cosα嗎？tan2α＝2tanα嗎活動:本節總的指導思想是教師引導學生自己推導倍角公式．學生默寫完問題（1)后,教師打出課件,然后引導學生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學生注意公式中的α，β,既然可以是任意角，怎么任意的?你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學生大膽試一試．如果學生想到α，β會有相等這個特殊情況,教師就此進入下一個問題,如果學生沒想到這種特殊情況，教師適當點撥進入問題(2)，然后找一名學生到黑板進行簡化，其他學生在自己的座位上簡化,教師再與學生一起集體訂正黑板的書寫，最后學生都不難得出以下式子，鼓勵學生嘗試一下，對得出的結論給出解釋．這個過程教師要舍得花時間，充分地讓學生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義．同時開拓學生的思維空間，為學生將來遇到的3α或3β等角的探究附設類比聯想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α（C2α)；tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）（T2α）．這時教師適時地向學生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導學生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角"．教師適時提出問題(3），點撥學生結合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式．eq\a\vs4\al（sin2α＝2sinαcosαS2α，cos2α＝cos2α－sin2αC2α，tan2α＝\f（2tanα，1－tan2α)T2α）eq\a\vs4\al（cos2α＝2cos2α－1,cos2α＝1－2sin2α)這時教師點出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示)．倍角公式給出了α的三角函數與2α的三角函數之間的關系．問題(4），教師指導學生，這組公式用途很廣，并與學生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2α的三角函數的一次式，右邊是α的三角函數的二次式，即左到右→升冪縮角，右到左→降冪擴角、二倍角的正弦是單項式，余弦是多項式,正切是分式．問題(5)，因為還沒有應用,對公式中的含義學生可能還理解不到位，教師要引導學生觀察思考并初步感性認識到：(Ⅰ）這里的“倍角”專指“二倍角”,遇到“三倍角"等名詞時,“三”字等不可省去；（Ⅱ）通過二倍角公式,可以用單角的三角函數表示二倍角的三角函數；（Ⅲ)二倍角公式是兩角和的三角函數公式的特殊情況；(Ⅳ）公式（S2α），(C2α）中的角α沒有限制,都是α∈R，但公式(T2α)需在α≠eq\f（1，2)kπ＋eq\f(π,4）和α≠kπ＋eq\f(π,2）(k∈Z）時才成立，這一條件限制要引起學生的注意．但是當α＝kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z時，雖然tanα不存在,此時不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用誘導公式．問題（6)，填空是為了讓學生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍,eq\f（α,2)是eq\f（α,4)的二倍，3α是eq\f(3α,2）的二倍，eq\f（α，3）是eq\f（α,6）的二倍，eq\f(π，2)－α是eq\f(π,4）－eq\f(α，2）的二倍等，所有這些都可以應用二倍角公式．例如：sineq\f(α，2)＝2sineq\f（α，4)coseq\f（α，4)，coseq\f(α，3）＝cos2eq\f(α,6）－sin2eq\f(α,6)等等．問題(7），本組公式的靈活運用還在于它的逆用以及它的變形用，這點教師更要提醒學生引起足夠的注意．如：sin3αcos3α＝eq\f(1,2）sin6α,4sineq\f(α,4)coseq\f（α,4）＝2（2sineq\f（α,4)coseq\f（α,4）)＝2sineq\f(α,2)，eq\f(2tan40°,1－tan240°）＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α,tan2α＝2tanα(1－tan2α）等等．問題(8），一般情況下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα。若sin2α＝2sinα,則2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此時α＝kπ(k∈Z）．若cos2α＝2cosα,則2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝eq\f（1－\r(3)，2)（cosα＝eq\f(1＋\r（3）,2）舍去)．若tan2α＝2tanα，則eq\f(2tanα，1－tan2α）＝2tanα，∴tanα＝0,即α＝kπ(k∈Z）．討論結果：（1）~(8)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例））思路1例1已知sinα＝eq\f(5，13），α∈（eq\f(π,2),π),求sin2α，cos2α，tan2α的值．活動：教師引導學生分析題目中角的關系，觀察所給條件與結論的結構,注意二倍角公式的選用，領悟“倍角"是相對的這一換元思想．讓學生體會“倍”的深刻含義，它是描述兩個數量之間關系的．本題中的已知條件給出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考慮用倍角公式．本例是直接應用二倍角公式解題,目的是為了讓學生初步熟悉二倍角的應用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學生自己獨立探究完成．解:因為sinα＝eq\f(5,13）,α∈（eq\f(π,2），π)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α）＝－eq\r(1－\f（5，13)2）＝－eq\f（12,13），sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(5，13）×(－eq\f（12，13））＝－eq\f（120,169)，cos2α＝cos2α－sin2α＝（－eq\f（12,13))2－(eq\f（5，13））2＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α，cos2α)＝－eq\f（120,169)÷eq\f(119，169)＝－eq\f（120,119)。點評：學生由問題中條件與結論的結構不難想象出解法，但要提醒學生注意，在解題時注意優化問題的解答過程,使問題的解答簡捷、巧妙、規范，并達到熟練掌握的程度．本節公式的基本應用是高考的熱點.變式訓練1．y＝(sinx－cosx)2－1是（）A．最小正周期為2π的偶函數B．最小正周期為2π的奇函數C．最小正周期為π的偶函數D．最小正周期為π的奇函數答案：D2．若eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝－eq\f(\r（2）,2),則cosα＋sinα的值為()A．－eq\f(\r(7），2）B．－eq\f（1,2）C。eq\f（1,2）D。eq\f(\r（7），2)答案：C3．下列各式中,值為eq\f（\r（3）,2）的是（)A．2sin15°－cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°答案：B例2證明eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ）＝tanθ.活動：教師可點撥學生想一想，到現在為止，所學的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等．對找不到思考方向的學生,教師點出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導，前面學習同角三角函數的基本關系時曾用到“1”的代換,對“1"的妙用大家深有體會，這里可否在“1”上做做文章？待學生探究解決方法后,可找幾個學生到黑板書寫解答過程，以便對照點評及給學生以啟發．點評時對能夠善于運用所學的新知識解決問題的學生給予贊揚；對暫時找不到思路的學生給予點撥、鼓勵．強調“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現，在證明過程中就會起到至關重要的作用，在今后的證題中,萬萬不要忽視它．證明：方法一：左＝eq\f(sin2θ＋1－cos2θ，sin2θ＋1＋cos2θ)＝eq\f（2sinθcosθ＋1＋1－2cos2θ,2sinθcosθ＋1＋2cos2θ－1)＝eq\f（sinθcosθ＋1－cos2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(sinθcosθ＋sin2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sinθ，cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右，所以，原式成立．方法二:左＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ，sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ）＝eq\f(sin2θ＋2sin2θ,sin2θ＋2cos2θ)＝eq\f（2sinθsinθ＋cosθ，2cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右．方法三：左＝eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ)＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ－cos2θ－sin2θ，sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝eq\f（sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθ，sinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ，sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ·2sinθ,sinθ＋cosθ·2cosθ）＝tanθ＝右．點評：以上幾種方法大致遵循以下規律：首先從復雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角,這是我們今天剛剛學習的；第三，證題中注意對數字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學們在探究中仔細體會這點．在這道題中通常用的幾種方法都用到了,不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規范才是。變式訓練1．若角α的終邊經過點P(1，－2)，則tan2α的值為__________．答案：eq\f(4,3）2．證明恒等式：eq\f(sin2θ＋sinθ,2cos2θ＋2sin2θ＋cosθ)＝tanθ.證明：左邊＝eq\f（2sinθcosθ＋sinθ,2cos2θ－sin2θ＋2sin2θ＋cosθ)＝eq\f（sinθ2cosθ＋1,cosθ2cosθ＋1）＝tanθ＝右邊。思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活動：本例是一道靈活應用二倍角公式的經典例題，有一定難度，但也是訓練學生思維能力的一道好題．本題需要公式的逆用,逆用公式的先決條件是認識公式的本質，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式的本質屬性，以便合理運用公式．教學中教師可讓學生充分進行討論探究，不要輕易告訴學生解法，可適時點撥學生需要做怎樣的變化，又需怎樣應用二倍角公式．并點撥學生結合誘導公式思考．學生經過探索發現，如果用誘導公式把10°，30°,50°,70°正弦的積化為20°，40°，60°,80°余弦的積,其中60°是特殊角，很容易發現40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考慮逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝eq\f(23·sin20°cos20°cos40°cos80°，23·2sin20°)＝eq\f（sin160°,16sin20°）＝eq\f（sin20°,16sin20°）＝eq\f(1,16）。變式訓練1．函數f（x)＝eq\f(sinx，sinx＋2sin\f（x,2)）是(）A．以4π為周期的偶函數B．以2π為周期的奇函數C．以2π為周期的偶函數D．以4π為周期的奇函數答案：A2．函數y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是(）A。eq\f(π，2)B．πC。eq\f（3π，2)D．2π答案：B例2在△ABC中，cosA＝eq\f(4，5），tanB＝2，求tan（2A＋2B)的值．活動：這是本節課本上最后一個例題，結合三角形,具有一定的綜合性，同時也是和與差公式的應用問題．教師可引導學生注意在三角形的背景下研究問題，會帶來一些隱含的條件，如A＋B＋C＝π,0<A〈π，0<B〈π，0〈C〈π,就是其中的一個隱含條件．可先讓學生討論探究,教師適時點撥．學生探究解法時教師進一步啟發學生思考由條件到結果的函數及角的聯系．由于對2A＋2B與A，B之間關系的看法不同會產生不同的解題思路,所以學生會產生不同的解法，不過它們都是對倍角公式、和角公式的聯合運用，本質上沒有區別．不論學生的解答正確與否，教師都不要直接干預．在學生自己嘗試解決問題后，教師可與學生一起比較各種不同的解法，并引導學生進行解題方法的歸納總結．基礎較好的班級還可以把求tan(2A＋2B）的值改為求tan2C的值．解法一：在△ABC中，由cosA＝eq\f(4，5），0〈A〈π，得sinA＝eq\r（1－cos2A）＝eq\r（1－\f(4，5)2)＝eq\f(3,5).所以tanA＝eq\f（sinA,cosA)＝eq\f(3，5）×eq\f(5,4)＝eq\f(3,4)，tan2A＝eq\f（2tanA，1－tan2A)＝eq\f(2×\f(3,4),1－\f(3，4)2）＝eq\f(24，7).又tanB＝2,所以tan2B＝eq\f（2tanB，1－tan2B)＝eq\f(2×2,1－22）＝－eq\f（4，3)。于是tan（2A＋2B)＝eq\f（tan2A＋tan2B，1－tan2Atan2B）＝eq\f(\f(24，7)－\f(4，3),1－\f(24，7）×－\f(4,3))＝eq\f(44，117）.解法二：在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5)，0〈A〈π，得sinA＝eq\r（1－cos2A）＝eq\r（1－\f(4,5)2)＝eq\f(3,5)。所以tanA＝eq\f(sinA，cosA)＝eq\f（3，5）×eq\f（5,4)＝eq\f（3，4).又tanB＝2,所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB，1－tanAtanB）＝eq\f（\f(3，4)＋2，1－\f(3，4)×2）＝－eq\f（11，2).于是tan(2A＋2B)＝tan［2（A＋B)］＝eq\f(2tanA＋B,1－tan2A＋B)＝eq\f（2×－\f（11，2),1－－\f（11,2）2）＝eq\f(44,117）.變式訓練化簡:eq\f（1＋cos4α＋sin4α，1－cos4α＋sin4α)。解：原式＝eq\f（2cos22α＋2sin2αcos2α,2sin22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f(2cos2αcos2α＋sin2α，2sin2αsin2α＋cos2α）＝eq\f(1,tan2α）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結）)1．先由學生回顧本節課都學到了什么?有哪些收獲？對前面學過的兩角和公式有什么新的認識？對三角函數式子的變化有什么新的認識?怎樣用二倍角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值與恒等式證明．2．教師畫龍點睛:本節課要理解并掌握二倍角公式及其推導，明白從一般到特殊的思想,并要正確熟練地運用二倍角公式解題．在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關系，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優化解題過程，規范解題步驟,領悟變換思路，強化數學思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業））課本本節練習B組1～4。eq\o（\s\up7(）,\s\do5（設計感想))1．新課改的核心理念是：以學生發展為本．本節課的設計流程從回顧→探索→應用,充分體現了“學生主體、主動探索、培養能力”的新課改理念，體現“活動、開放、綜合”的創新教學模式．本節在學生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式,在這個活動過程中,由一般化歸為特殊的基本數學思想方法就深深的留在了學生記憶中．本節課的教學設計流程還是比較流暢的．2．縱觀本教案的設計，學生發現二倍角后就是應用,至于如何訓練二倍角公式正用，逆用，變形用倒成了次要的了．而學生從探究活動過程中學會了怎樣去發現數學規律，又發現了怎樣逆用公式及活用公式，那才是深層的，那才是我們中學數學教育的最終目的．3．教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心,會學是目的，根據高中三角函數的推理特點，本節主要是教給學生“回顧公式、探索特殊情形、發現規律、推導公式、學習應用”的探索創新式學習方法．這樣做增加了學生溫故知新的空間，增強了學生的參與意識，教給了學生發現規律、探索推導、獲取新知的途徑,讓學生真正嘗試到探索的喜悅，真正成為教學的主體．eq\o(\s\up7（），\s\do5（備課資料)）一、三角變換中的“一致代換”法在三角變換中，“一致代換”法是一種重要的方法，所謂“一致代換”法，即在三角變換中，化“異角”“異名”“異次”為“同角"“同名”“同次"的方法．它主要包括：在三角函數式中，①如果只含同角三角函數，一般應從變化函數名稱入手，盡量化為同名函數,常用“化弦法”；②如果含有異角，一般應從變化角入手，盡量化不同角為同角,變復角為單角；③如果含有異次冪，一般利用升冪或降冪公式化異次冪為同次冪．二、備用習題1．求值：eq\f(1，sin10°)－eq\f（\r（3），cos10°).2．化簡：cos36°cos72°.3．化簡：cosαcoseq\f（α,2）coseq\f(α，22）coseq\f(α，23）·…·coseq\f(α，2n－1）.4．求值:sin6°sin42°sin66°sin78°。5．已知向量m＝(sinA，cosA），n＝(1，－2),且m·n＝0。(1）求tanA的值；(2)求函數f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．6．已知cos(α－eq\f（β,2））＝－eq\f(1，9)，sin(eq\f(α，2)－β)＝eq\f（2，3)，且eq\f(π，2)<α<π,0<β<eq\f（π,2），求cos(α＋β)的值．7．已知cos（x－eq\f（π，4）)＝eq\f（\r(2），10），x∈（eq\f（π,2），eq\f（3π，4）)．(1)求sinx的值；(2)求sin（2x＋eq\f(π，3))的值．參考答案:1．解：原式＝eq\f（cos10°－\r(3）sin10°，sin10°cos10°)＝eq\f(2\f(1，2）cos10°－\f（\r(3),2）sin10°，sin10°cos10°）＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°，2sin10°cos10°）＝eq\f(4sin30°－10°,sin20°)＝4。2．解：原式＝eq\f（2sin36°cos36°·cos72°，2sin36°)＝eq\f（2sin72°cos72°，4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4）.3．解：先將原式同乘除因式sineq\f（α，2n－1），然后逐次使用倍角公式,則原式＝eq\f(sin2α,2nsin\f(α，2n－1））.4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝eq\f(24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°，24cos6°)＝eq\f(sin96°,24cos6°）＝eq\f(cos6°，16cos6°)＝eq\f（1，16）.5．解：(1)由題意，得m·n＝sinA－2cosA＝0，因為cosA≠0，所以tanA＝2.(2)由（1）知tanA＝2,得f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2（sinx－eq\f（1,2））2＋eq\f(3，2），因為x∈R,所以si