PAGE第八章8.58.5.3A組·素養自測一、選擇題1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1與直線A．AC∥截面BA1C1 B．AC與截面BA1CC．AC在截面BA1C1[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C∴AC∥面BA1C2．下列結論正確的是(C)①一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；②一個平面內有多數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；③一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；④一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行.A．①③ B．②④C．③④ D．②③④[解析]假如兩個平面沒有任何一個公共點，那么我們就說這兩個平面平行，也即是兩個平面沒有任何公共直線.對于①：一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，假如這兩條直線不相交，而是平行，那么這兩個平面相交也能夠找得到這樣的直線存在.對于②：一個平面內有多數條直線都與另外一個平面平行，同①.對于③：一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行.這是兩個平面平行的定義.對于④：一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行.這是兩個平面平行的判定定理.所以只有③④正確，選擇C．3．已知直線l、m，平面α、β，下列結論正確的是(D)A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[解析]如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB∥CD，則直線AB∥平面DC1，直線AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項A錯誤；取BB1的中點E，CC1的中點F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項B錯誤；直線AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面4．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與ABA．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能[解析]∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1．又AB∥A1B1，∴DE∥AB.5．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′︰AA′＝2︰3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為(D)A．2︰5 B．3︰8C．4︰9 D．4︰25[解析]∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′︰AA′＝2︰3，∴A′B′︰AB＝PA′︰PA＝2︰5．同理B′C′︰BC＝A′C′︰AC＝2︰5．∴△A′B′C′與△ABC相像，∴S△A′B′C′︰S△ABC＝4︰25．二、填空題6．已知平面α和β，在平面α內任取一條直線a，在β內總存在直線b∥a，則α與β的位置關系是__平行__(填“平行”或“相交”).[解析]假如α∩β＝l，則在平面α內，與l相交的直線a，設a∩l＝A，對于β內的隨意直線b，若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內不存在直線b∥a.故α∥β.7．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則eq\f(MN,AC)＝__eq\f(1,2)__.[解析]∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性質定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E為BB1的中點，∴M，N分別為BA，BC的中點，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).8．如圖，a∥α，A是α的另一側的點，B、C、D∈a，線段AB、AC、AD分別交平面α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝__eq\f(20,9)__.[解析]∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴eq\f(EG,BD)＝eq\f(AF,AF＋FC)，則EG＝eq\f(AF·BD,AF＋FC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).三、解答題9．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點.求證：平面AFH∥平面PCE.[解析]因為F為CD的中點，H為PD的中點，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面[解析]當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點，P為DD1的中點，∴QB∥PA.而QB?平面PAO，PA?平面PAO，∴QB∥平面PAO.連接DB，∵P、O分別為DD1，DB的中點，∴PO為△DBD1的中位線，∴D1B∥PO.而D1B?平面PAO，PO?平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.B組·素養提升一、選擇題1．a、b、c為三條不重合的直線，α、β、γ為三個不重合平面，現給出六個結論.①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③α∥c，β∥c?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤α∥c，a∥c?α∥a；⑥a∥γ，α∥γ?α∥a.其中正確的結論是(C)A．①②③ B．①④⑤C．①④ D．①③④[解析]①平行公理.②兩直線同時平行于一平面，這兩條直線可相交、平行或異面.③兩平面同時平行于始終線，這兩個平面相交或平行.④面面平行傳遞性.⑤始終線和一平面同時平行于另始終線，這條直線和平面或平行或直線在平面內.⑥始終線和一平面同時平行于另一平面，這條直線和平面可平行也可能直線在平面內.故①④正確.2．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點，過C1，B，MA．eq\f(3\r(5),2) B．eq\f(9,2)C．eq\f(9,8) D．eq\f(3\r(5),8)[解析]取AA1的中點N，連接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面為梯形，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2)，MC1＝BN＝eq\r(5)，所以梯形的高為eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面積為eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2).3．已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點E，F，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數是(D)A．0 B．2C．4 D．6[解析]連接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴E，F，G，H四點共面.由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG?平面EFGH，EH?平面EFGH，AB′?平面AB′D′，AD′?平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH內的每條直線都符合條件.故選D．4．(多選題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F且EF＝1，則當E，FA．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A－BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值[解析]對于A，如圖1，AB1∥DC1，易證AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正確；對于B，如圖2，S△AEF＝eq\f(1,2)EF·h1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(6),4)，點C到平面AEF的距離為點C到平面AB1D1的距離d為定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(6),4)×d＝eq\f(\r(6),4)d為定值，所以B錯誤；對于C，如圖3，S△BEF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，點A到平面BEF的距離為A到平面BB1D1D的距離d為定值，所以VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×d＝eq\f(1,2)d為定值，C正確；對于D，如圖4，四面體ACDF的體積為VA－CDF＝VF－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3＝eq\f(9,2)為定值，D正確.故選ACD．二、填空題5．如圖是四棱錐的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E、F、G、H分別為PA、PD、PC、PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：①平面EFGH∥平面ABCD；②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有__①②③__.(填序號)[解析]把平面綻開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側面，則它們兩兩相交.∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿意__點M在FH上__時，有MN∥平面B1BDD[解析]∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴當M∈FH時，MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．三、解答題7．如圖所示，P為□ABCD所在平面外一點，點M、N分別為AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？證明你的結論.[解析](1)因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BC∥AD.又因為AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下：如圖所示，取PD的中點E，連接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝eq\f(1,2)CD.而CDAB，M為AB的中點，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE.又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平