景德鎮市2024屆高三第三次質檢試題數學命題景德鎮一中邱金龍景德鎮二中馬小宇景德鎮十六中余倩本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.2.下列有關復數，的等式中錯誤的是（）A. B.C. D.3.已知函數是奇函數，則時，的解析式為（）A. B. C. D.4.已知是數列的前項和，，，則（）A. B. C. D.5.已知，是空間內兩條不同直線，，，是空間內三個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則或6.過拋物線上的一點作圓：的切線，切點為，，則可能的取值是（）A.1 B.4 C. D.57.函數在內恰有兩個對稱中心，，將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象.若，則（）A. B. C. D.8.六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學，小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.等邊邊長2，，，與交于點，則（）A. B.C. D.在方向上的投影向量為10.正方體的棱長為6，，分別是棱，的中點，過，，作正方體的截面，則（）A.該截面是五邊形B.四面體外接球的球心在該截面上C.該截面與底面夾角的正切值為D.該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為7511.已知、是橢圓：上兩個不同的動點（不關于兩坐標軸及原點對稱），是左焦點，為離心率.則下列結論正確的是（）A.直線的斜率為1時，在軸上的截距小于B.周長的最大值是C.當直線過點，且中點縱坐標的最大值為時，則D.當時，線段的中垂線與兩坐標軸所圍成三角形面積的取值范圍是第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，分別為三個內角，，的對邊，其中，，，則______.13.若關于，的三項式的展開式中各項系數之和為64，則______；其中項系數的最大值為______.14.不經過第四象限的直線與函數的圖象從左往右依次交于三個不同的點，，，且，，成等差數列，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在正三棱柱中，，.（1）已知，分別為棱，的中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.近年來，景德鎮市積極探索傳統文化與現代生活的連接點，活化利用陶溪川等工業遺產，創新場景和內容，打造了創意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，讓傳統文化綻放當代生命力.為了了解游客喜歡景德鎮是否與年齡有關，隨機選取了來景旅游的老年人和年輕人各50人進行調查，調查結果如表所示：喜歡景德鎮不喜歡景德鎮合計年輕人302050老年人153550合計4555100（1）判斷是否有的把握認為游客喜歡景德鎮與年齡有關？（2）2024年春節期間，景德鎮某旅行社推出了A、B兩條旅游路線.現有甲、乙、丙共3名游客，他們都決定在A、B路線中選擇其中一條路線旅游，他們之間選擇哪條旅游路線相互獨立.其中甲選擇A路線的概率為，而乙、丙選擇A路線的概率均為，且在三人中有且僅有1人選擇A路線的條件下該人為甲的概率為.設表示這3位游客中選擇A路線的人數，求的分布列與數學期望.附：0.1000.05000102.7063.8416.63517.已知是雙曲線：上一個點，且與兩焦點構成的三角形的面積是.（1）求雙曲線的標準方程；（2）是的右頂點，過點的直線與交于異于的不同兩點、，與直線交于點.連接，并過作的平行線分別與直線、交于、兩點.求證：是線段的中點.18.已知函數，.（1）當時，求函數的極值；（2）已知實數.①求證：函數有且僅有一個零點；②設該零點為，若圖象上有且只有一對點，關于點成中心對稱，求實數的取值范圍.19.設，是非空集合，定義二元有序對集合為和的笛卡爾積.若，則稱是到的一個關系.當時，則稱與是相關的，記作.已知非空集合上的關系是的一個子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，有，則，則稱是對稱的；若，有，，則，則稱是傳遞的.且同時滿足以上三種關系時，則稱是集合中的一個等價關系，記作~.（1）設，，，，求集合與；（2）設是非空有限集合中的一個等價關系，記中的子集為的等價類，求證：存在有限個元素，使得，且對任意，；