2.2.4均值不等式及其應用課程標準學習目標1、學會推導并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應用定理求最值.1、通過對均值不等式不同形式應用的研究，滲透“轉化”的數學思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當且僅當這兩個數相等。知識點01均值不等式（1）算術平均值與幾何平均值給定兩個正數a，b，數eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術平均值；數eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個正數的算術平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實質是：兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當且僅當”的含義：當a＝b且僅當a＝b時，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經綸中學?？茧A段練習）下列命題中正確的是（）A．當時，B．若，則的最小值是C．當時，D．的最小值是【答案】BC【分析】對于A，舉反例即可判斷A錯誤；對于B，利用基本不等式可得B正確；對于C，利用基本不等式可得C正確；對于D，不滿足基本不等式取等號的條件，判斷D錯誤.【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯誤；若，則，當且僅當時取等號，最小值是，B正確；若，則，當且僅當時取等號，最小值是，C正確；若，則，當且僅當即時取等號，顯然無解，故取不到最小值，D錯誤.故選：BC.知識點02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數．(1)如果積xy是定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值．可簡記為“兩正數積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯考階段練習）設正實數x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】根據基本不等式一一求解最值即可.【詳解】對于A，，，當且僅當，即，時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，，當且僅當，時等號成立，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，時等號成立，故D錯誤；故選：BC.易錯：利用基本不等式求最值示例若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5錯誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號成立的條件必須一致．【錯解】由x＋3y＝5xy?5xy≥23xy，因為x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝當且僅當3x＝4y時取等號，故3x＋4y的最小值是245【正解】由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y+3當且僅當x＝1，y＝12故3x＋4y的最小值是5.【答案】C【題型1：對均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學?？计谥校┫铝薪Y論正確的是（）A．當時，B．當時，的最小值是C．當時，D．當時，的最小值為1【答案】C【解析】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，當時，，當且僅當時等號成立，故B錯誤，對于C，當時，，當且僅當即時等號成立，故C正確，對于D，當時，，當且僅當即時等號成立，故D錯誤，故選：C變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學?？茧A段練習）（多選）下列推導過程，其中正確的是（）A．因為為正實數，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當且僅當時，等號成立【答案】ABD【解析】對于A，為正實數，有，且，又當且僅當時，成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對于B，，當時，，且，顯然不存在大于3的正數a使成立，所以，B正確；對于C，因為，則，不符合均值不等式成立的條件，C錯誤；對于D，，則，且，又當且僅當時，成立，滿足均值不等式的條件，D正確.故選：ABD變式3.（2024·全國·高一專題練習）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：B變式4.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【答案】B【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，故B正確；對于C：當時，滿足，但是，故C錯誤；對于D：令，因為在上單調遞增，所以，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，故D錯誤；故選：B【方法技巧與總結】基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一校考期中）已知，，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】因為，，所以，當且僅當時，取等號，故選：B變式1.（2024·海南·高一?？计谥校┮阎?，代數式的最大值為（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由于，所以，所以，當且僅當時等號成立.故選：A變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學?？茧A段練習）若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用重要不等式的合理變形可得，即可知A正確；由基本不等式和不等式性質即可計算B正確；由即可求得C正確；根據不等式中“1”的妙用即可得出，即D錯誤.【詳解】對于A，由可得，又，所以，即，當且僅當時等號成立，故A正確；對于B，由可得，即，所以，當且僅當時等號成立，即B正確；對于C，由可得，所以可得，即，當且僅當時等號成立，即C正確；對于D，易知，即；當且僅當時等號成立，可得D錯誤；故選：ABC變式3．（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知，則的最小值為.【答案】【分析】根據題意，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.變式4．（2024·吉林·高三?？茧A段練習）設，則函數的最小值是.【答案】【分析】根據題意，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以函數的最小值是最小值為.故答案為：.變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯考階段練習）設，則函數，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數的最小值為15，故選:D．變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學?？奸_學考試）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據給定條件，利用“1”的妙用計算作答.【詳解】由，，得，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．【答案】A【解析】，，，，，，當且僅當，即，時等號成立，故選：A變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】根據基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數a，b滿足，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學?？茧A段練習）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據已知等式，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以當且僅當，即時，等號成立．故選：D．變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學?？茧A段練習）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．【答案】(1)8(2)10【分析】（1）將化為，利用基本不等式即可求得答案；（2）化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為，故，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是8．（2）由，得，，所以，所以，當且僅當，結合即時，等號成立．故的最小值為10．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎龜祒，y滿足，則的最小值為.【答案】4【分析】根據已知條件變形，結合基本不等式求得答案.【詳解】∵，∴，又，∴，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值4.故答案為：4.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區楊村第一中學?？茧A段練習）若，，則的最小值為．【答案】【分析】連續使用基本不等式計算即可.【詳解】由，，所以，當且僅當且，解得：，所以的最小值為.故答案為：.【方法技巧與總結】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數式變形拼湊出和或積為常數的兩項，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解．有時會出現多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數最值，千萬不要忽視等號成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知均為正數，且，求證：.【答案】證明見解析【解析】因為則，，三式相加得：所以.變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數，，，求證：，當且僅當時等號成立．【答案】證明見解析【分析】運用基本不等式進行證明即可.【詳解】因為，，，所以由基本不等式，得，，，當且僅當，，時成立，把上述三個式子的兩邊分別相加，得，即．當且僅當時等號成立．變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設，為正數，證明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】運用基本不等式對（1）（2）進行證明即可.【詳解】（1）因為，均為正數，由基本不等式，得，當且僅當，即時等號成立，所以原不等式成立．（2）因為，為正數，所以，也為正數，由基本不等式，得，當且僅當，即時等號成立，所以原不等式成立．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？茧A段練習）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.（2）由，兩邊同時平方，結合基本不等式求的最小值.【詳解】（1），當且僅當時取等號，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知當a，b，c均為正數時，，，，當且僅當時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當且僅當時等號成立.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習）（1）設均為正數，且，證明：若，則：（2）已知為正數，且滿足，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）先對和平方化簡，然后結合已知條件可證得結論，（2）利用基本不等式結合可證得結論【詳解】（1）因為，又因為，則為正數，所以，因此.（2）因為，當且僅當時，取等號，又，故有.所以，當且僅當時取等號.變式5．（2024·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設均為正數，且，證明：．【答案】（1）

（2）證明見解析【分析】（1）根據基本不等式求最值求解即可.（2）根據基本不等式，運用不等式的性質即可證明；【詳解】解：（1）因為，所以，當且僅當，即時等號成立，則的最大值為；（2）證明：由，a，b，c均為正數，因為，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，相加可得，即當且僅當取得等號.變式6.（2024·湖南長沙·高一?？计谀┮阎?，都是正數.（1）若，證明：；（2）當時，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：由于，都是正數，，當且僅當時等號成立.所以.（2）證明：.因為，，所以，，所以成立.【方法技巧與總結】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時要注意對所給代數式通過添項配湊，構造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用．【題型4：均值不等式的恒成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一?？奸_學考試）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，故選：D．變式1．（2024·全國·高一專題練習）已知且，若恒成立，則實數的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因為且，若恒成立，則，又，當且僅當，即，時等號成立，所以，即實數的取值范圍是．故答案為：．變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒成立，則實數a的最小值為．【答案】【解析】因為，故，所以，當且僅當，即時等號成立，即有，所以，即a的最小值為，故答案為：變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，則，當且僅當，即時，等號成立，即，因為恒成立，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C.變式4．（2024·全國·高一專題練習）已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：C變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據基本不等式即可求解最值，進而由即可求解.【詳解】因為，當且僅當且時取等號，所以，整理得，解得，故正實數的最小值為9.故選:D.變式6．（2024·吉林四平·高一?？茧A段練習）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）由題意可得，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，（2）將問題轉化為恒成立，求出的最小值，而，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）因為，且，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，（2）因為（）恒成立，所以恒成立，因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.變式7．（2024·安徽阜陽·高二?？计谥校﹥蓚€正實數，滿足，若不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.【詳解】正實數，滿足，，當且僅當且，即，時取等號，不等式有解，，解得或，即．故選：C．【方法技巧與總結】求參數的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數，轉化為求代數式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一校考開學考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，設新長方體高為，則，得到，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為．故選：C.變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學校考開學考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要小時.【答案】8【解析】設這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則＝＋(小時)，當且僅當＝，即v＝100時，等號成立，此時小時.故答案為：8.變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯考階段練習）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環境不滿意度降低.設住第層樓時，環境不滿意程度為.則此人應選第樓，會有一個最佳滿意度.【答案】3【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得取最小值即為最佳滿意度.【詳解】由題意可知，當住層樓時，不滿意程度為，因，且，所以，當且僅當即時等號成立，故當住樓時，不滿意程度最低，故答案為：3變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學校考階段練習）某小區要建一座八邊形的休閑小區，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設草坪，造價為每平方米80元．

(1)設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數關系式；(2)問：當x為何值時S最小，并求出這個S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據題意，建立函數關系式即可；（2）根據題意，由（1）中的函數關系式，結合基本不等式即可得到結果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，當且僅當時，即時，等號成立，所以，當米時，元.變式4．（2024·重慶·高一校聯考階段練習）中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯通、貿易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區的始發站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．【答案】(1)長度為4米時，報價最低(2)【分析】（1）首先由題意抽象出甲工程隊的總造價的函數，再利用基本不等式求最值，結合等號成立的條件，即可求解；（2）由（1）可知，轉化為不等式恒成立，參變分離后，轉化為求最值的問題.【詳解】（1）設甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），則屋子前面新建墻體長為，則即，當且僅當，即時，等號成立，故當左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；（2）由題意可知，當對任意的恒成立，即，所以，即，，當，，即時，的最小值為12，即，所以的取值范圍是.變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┠彻緮M在下一年度開展系列促銷活動，已知其產品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數；(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入生產成本促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）【答案】(1)(2)7萬元，最大利潤為42萬元【分析】（1）根據題意表示出年生產成本，年銷售收入，從而可表示出年利潤；（2）由（1）知，變形后利用基本不等式可求得結果.【詳解】（1）由題意知，當年生產（萬件）時，年生產成本為：，當銷售（萬件）時，年銷售收入為：，由題意，，即.（2）由（1）知，即，當且僅當，又即時，等號成立.此時，.所以該公司下一年促銷費投入7萬元時年利潤最大，最大利潤為42萬元.【方法技巧與總結】利用均值不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：(1)理解題意，設變量，設變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習）若，使得成立是真命題，則實數的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】依據題意先將問題等價轉化成在上恒成立，接著將恒成立問題轉化成最值問題，再結合基本不等式即可求解.【詳解】，使得成立是真命題，所以,恒成立.所以在上恒成立，所以，因為，當且僅當即時等號成立，所以，所以，即實數的最大值為.故選：B.2．（2024高一上·福建福州·階段練習）已知實數，則函數的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】配湊后，根據基本不等式即可求解.【詳解】實數，，當且僅當，即時等號成立，函數的最小值為6.故選：B.3．（2024高三上·江蘇南通·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.【詳解】由，得，由，得，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為3.故選：A4．（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】，則，且,整理得到，所以，當且僅當，即時取等號.即的最小值為.故選：C.5．（2526高一上·上海·課后作業）若兩個正實數滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，則化簡后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.【詳解】由，，可得，所以，當且僅當，即時等號成立．所以，解得或，所以實數的取值范圍是．故選：C．6．（2425高三上·廣東·開學考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對進行變形，再利用不相等時，即可求出的范圍.【詳解】由，則，又，則，又當時，，因此可得，，即，又，因此可得，故選：D.7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．38【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】由題意得，當且僅當，即時，等號成立．故選：A8．（2024·福建寧德·模擬預測）若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據題意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，轉化為不等式，即可求解.【詳解】由兩個正實數滿足，得，則，當且僅當，即時取等號，又由不等式有解，可得，解得或，所以實數的取值范圍為或.故選：B.9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數．已知均為正實數，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】設，可得，利用基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可知：均為正實數，設，則，，則，當且僅當，即時，等號成立，又因為，當且僅當，即時，等號成立，可得，即，所以的最小值為2.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據定義得出，，再結合基本不等式求得.二、多選題10．（2425高三上·河南·開學考試）已知a，b為正實數，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為2【答案】BCD【分析】A選項，由基本不等式得到，從而得到，求出；B選項，，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C選項，由基本不等式得到，從而得到，得到；D選項，變形得到，由C選項，得到答案.【詳解】A選項，，因為a，b為正實數，且，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號成立，故的最小值為4，A錯誤；B選項，由，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，，因為a，b為正實數，且，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號成立，故的最小值為4，C正確；D選項，因為，所以，因為的最小值為4，所以的最小值為2，D正確.故選：BCD11．（2425高三上·湖南常德·階段練習）已知且，則下列不等式恒成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為2【答案】AC【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，當且僅當時，時等號成立，故B錯誤；對于C，，故，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，由A知，，故，故，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為2，故D錯誤.故選：AC12．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由已知結合基本不等式及相關結論檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于A，因為，，且，所以，即，當且僅當時等號成立，故A錯誤；對于B，根據A可知，，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，故C正確．對于D，要證明，只需要證明，由于，則只需要證明，只需證明，由于，當且僅當時等號成立，此時，故等號不能取到，故，即，故D正確.故選：BCD13．（2425高三上·福建龍巖·開學考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值【答案】BC【分析】由結合基本不等式即可判斷A；由基本不等式，換元法及一元二次不等式的解法即可判斷B；由基本不等式“1”的妙用即可判斷C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判斷D．【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A錯誤；對于B，，即，當且僅當時，等號成立，設，則，解得，即，當時，取等號，所以，故B正確；對于C，，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對于D，，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即，解得，所以的最大值為，故D錯誤，故選：BC．三、填空題14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）已知函數，當時，取得最小值，則；．【答案】21【分析】現將函數進行配湊，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為,所以,所以，當且僅當,即x=2時等號成立，所以.故答案為：.15．（2024高二下·安徽·學業考試）某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本．已知購買臺設備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備臺．【答案】400【分析】由的表達式得到每臺設備的平均成本，由均值不等式等號成立條件得到答案.【詳解】每臺設備的平均成本，當且僅當，時，等號成立，故答案為：400.【點睛】方法點睛：均值不等式常用結論1、如果，，則，當且僅當時取等號；推論：；2、如果，那么，當且僅當時取等號；推論：；3、16．（2024高一上·江蘇南通·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的最大值.【答案】【分析】由命題的否定轉化為能成立問題，利用分離參數法和基本不等式即可求解.【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．即，即，其中，因為，當且僅當時等號成立，則故實數的最大值為故答案為：.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．【答案】144【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案.【詳解】因為，由基本不等式得，故，當且僅當時，等號成立．故的最大值為故答案為：14418．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產線運轉時間t（單位：年，）滿足二次函數關系：，現在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行的時間t為年．【答案】7【分析】求出年平均利潤函數，利用均值不等式求解即可.【詳解】依題意，年平均利潤為,由于，當且僅當，即時取等號，此時，所以當每條生產線運行的時間時，年平均利潤最大.故答案為：7.19．（2425高三上·福建莆田·開學考試）若實數滿足，則的最大值為.【答案】/【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當且僅當，也即時，上式右邊等號成立；此時的最大值為.故答案為：.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習）運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規限制（單位:千米/時），假設汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時18元.(1)求這次行車總費用關于的表達式;(2)當為何值時，這次行車的總費用最低?最低費用是幾元?【答案】(1)(2)，最低費用為元【分析】（1）求出運貨卡車行駛的時間，然后根據題意求出行車總運費即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【詳解】（1）運貨卡車行駛的時間為，則有，，即.（2）由（1）得，當且僅當，即時取等號，即當時，這次行車總費用最低為元.21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）對式子進行配湊，然后用基本不等式即可；（2）對式子進行配湊和變形，確保滿足“一正”的前提下使用基本不等式.【詳解】（1）∵，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴當時，取得最小值6．（2）∵，∴，∴，∴，∵，當且僅當，即時等號成立．∴，∴當時，取得最大值．22．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，求的最大值．【答案】【分析】由基本不等式，結合乘“1”法即可求得答案，注意“一正、二定、三相等”的條件.【詳解】可以先求的最小值，又，當且僅當，即，時取“＝”，因此，的最大值是．23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習）（1）若，求的最大值；（2）求在時的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數滿足．求的最大值．【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）.【分析】對于（1），用配湊法及基本不等式的變形即可求解最大值；對于（2）可以先用換元的方法進行化簡，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；對于（3）直接利用基本不等式的變形，然后解不等式即可；對于（4）將變成，然后用兩次基本不等式求解即可求解最大值.【詳解】（1），，當且僅當，即x=2時等號成立，的最大值為12.（2）,令,則則可化為,當且僅當,即時等號成立,的最小值為.（3），即，解得或(舍),當且僅當且，即時等號武立，的最小值為6.（4）正數a,b,c滿足，,即,,，，當且僅當且,即時等號成立,故的最大值為.24．（2024高三·全國·專題練習）已知，求函數的最大值．【答案】【分析】利用基本不等式可求函數的最大值或將原函數變形為二次函數求最值，根據二次函數性質可求出最大值.【詳解】法1：因為，故，故，當且僅當x=1時等號成立，故的最大值為4.法2：根據題意知，根據二次函數性質函數圖象開口向下，因為，所以當時，取得最