湖北省武漢市鋼城第四中學2025屆高一上數學期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．對于兩條不同的直線l1,l2,兩個不同的平面α，β，下列結論正確的A.若l1∥α，l2∥α，則l1∥l2 B.若l1∥α，l1∥β，則α∥βC若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α D.若l1∥l2，l1⊥α，則l2⊥α2．已知向量，且，則的值為（）A.1 B.2C. D.33．與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）A. B.C. D.4．函數的部分圖像如圖所示，則的值為（）A. B.C. D.5．如果AB>0,BC>0，那么直線Ax－By－C＝0不經過的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．如果“，”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件7．若直線與圓相切，則的值是（）A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或128．函數在區間單調遞減，在區間上有零點，則的取值范圍是A. B.C. D.9．已知集合，，則（）A. B.C. D.10．已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（）A. B.[-1，2）C.（0，2） D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(且)恒過的定點坐標為_____，若直線經過點且，則的最小值為___________.12．給出下列命題：①函數是偶函數；②方程是函數的圖象的一條對稱軸方程；③在銳角中，；④函數的最小正周期為；⑤函數的對稱中心是，，其中正確命題的序號是________.13．在空間直角坐標系中，一點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是________.14．若冪函數是偶函數，則___________.15．____________16．計算：______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數（1）寫出函數的最小正周期及單調遞減區間；（2）當時，函數的最大值與最小值的和為，求不等式的解集18．某單位安裝1個自動污水凈化設備，安裝這種凈水設備的成本費（單位：萬元）與管線、主體裝置的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數為0.1，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補的用水模式．假設在此模式下，安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費為，記y為該單位安裝這種凈水設備費用與安裝設備后每年向自來水公司繳水費之和（1）寫出y關于x的函數表達式；（2）求x為多少時，y有最小值，并求出y的最小值19．已知集合，集合（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍在①；②“”是“”的充分條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，并解答注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分20．已知，，，.（1）求和的值；（2）求的值.21．設函數f（x）的定義域為I，對于區間，若，x2∈D（x1＜x2）滿足f（x1）＋f（x2）＝1，則稱區間D為函數f（x）的V區間（1）證明：區間（0，2）是函數的V區間；（2）若區間[0，a]（a＞0）是函數的V區間，求實數a的取值范圍；（3）已知函數在區間[0，＋∞）上的圖象連續不斷，且在[0，＋∞）上僅有2個零點，證明：區間[π，＋∞）不是函數f（x）的V區間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】詳解】A.若l1∥α，l2∥α，則兩條直線可以相交可以平行，故A選項不正確；B.若l1∥α，l1∥β，則α∥β，當兩條直線平行時，兩個平面可以是相交的，故B不正確；C.若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α，有可能在平面內，故C不正確；D.若l1∥l2，l1⊥α，則l2⊥α，根據課本的判定定理得到是正確的.故答案為D.2、A【解析】由，轉化為，結合數量積的坐標運算得出，然后將所求代數式化為，并在分子分母上同時除以，利用弦化切的思想求解【詳解】由題意可得，即∴，故選A【點睛】本題考查垂直向量的坐標表示以及同角三角函數的基本關系，考查弦化切思想的應用，一般而言，弦化切思想應用于以下兩方面：（1）弦的分式齊次式：當分式是關于角弦的次分式齊次式，分子分母同時除以，可以將分式由弦化為切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時除以可以實現弦化切3、A【解析】先求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【詳解】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為故選：A【點睛】方法點睛：求直線的方程，常用的方法：待定系數法，先定式（從直線的五種形式中選擇一種作為直線的方程），后定量（求出直線方程中的待定系數）.4、C【解析】根據的最值得出，根據周期得出，利用特殊點計算，從而得出的解析式，再計算.【詳解】由函數的最小值可知：，函數的周期：，則，當時，，據此可得：，令可得：，則函數的解析式為：，.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.5、B【解析】斜率為，截距，故不過第二象限.考點：直線方程.6、A【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當，時，，故充分；當時，，，故不必要，故選：A7、C【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心坐標為半徑為1，所以或.故選：C8、C【解析】分析：結合余弦函數的單調減區間，求出零點，再結合零點范圍列出不等式詳解：當，，又∵，則，即，，由得，，∴，解得，綜上.故選C.點睛：余弦函數的單調減區間：，增區間：，零點：，對稱軸：，對稱中心：，.9、D【解析】先求出集合B，再求出兩集合的交集即可【詳解】由，得，所以，因為，所以，故選：D10、B【解析】先求出函數的值域，而的值域為，進而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因為函數的值域為，而的值域為，所以，解得，故選：B【點睛】此題考查由分段函數的值域求參數的取值范圍，分段函數的值域等于各段上的函數的值域的并集是解此題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.【解析】根據對數函數過定點得過定點，再根據基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：函數(且)由函數(且)向上平移1個單位得到，函數(且)過定點，所以函數過定點，即，所以，因為，所以所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為故答案為：；12、①②③【解析】由誘導公式化簡得函數，判斷①正確；求出函數的圖象的對稱軸（），當時，，判斷②正確；在銳角中，由化簡得到，判斷③正確；直接求出函數的最小正周期為，判斷④錯誤；直接求出函數的對稱中心是，判斷⑤錯誤.【詳解】①因為函數，所以函數是偶函數，故①正確；②因為函數，所以函數圖象的對稱軸（），即（），當時，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數的最小正周期為，故④錯誤；⑤令，解得，所以函數的對稱中心是，故⑤錯誤.故答案為：①②③【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質、誘導公式與三角恒等變換，是中檔題.13、【解析】設出點的坐標，根據題意列出方程組，從而求得該點到原點的距離.【詳解】設該點的坐標因為點到三個坐標軸的距離都是1所以，，，所以故該點到原點的距離為，故填.【點睛】本題主要考查了空間中點的坐標與應用，空間兩點間的距離公式，屬于中檔題.14、【解析】根據冪函數的定義得，解得或，再結合偶函數性質得.【詳解】解：因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，，為奇函數，不滿足，舍；當時，，為偶函數，滿足條件.所以.故答案為：15、【解析】,故答案為.考點：對數的運算.16、【解析】利用指數冪和對數的運算性質可計算出所求代數式的值.【詳解】原式.故答案為：.【點睛】本題考查指數與對數的計算，考查指數冪與對數運算性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期為；遞減區間為：；（2）【解析】（1）化函數為正弦型函數，求出它的最小正周期和單調遞減區間；（2）根據時求得的最大值和最小值，由此求得的值，再求不等式的解集【詳解】（1），∴，令，∴，∴函數的遞減區間為：（2）由得：，∴，，∴，∴，∴，又，∴不等式的解集為【點睛】方法點睛：三角函數的一般性質研究：1.周期性：根據公式可求得；2.單調性：令，解出不等式，即可求出函數的單調遞增區間；令，解出不等式，即可求出函數的單調遞減區間.18、（1）（2）當時，y有最小值為3.【解析】（1）根據y為該單位安裝這種凈水設備費用與安裝設備后每年向自來水公司繳水費之和即可建立函數模型；（2）利用均值不等式即可求解.【小問1詳解】解：由題意，y關于x的函數表達式為；【小問2詳解】解：因為，當且僅當，即時等號成立.所以當時，y有最小值為3.19、（1）或（2）【解析】（1）根據集合的補集與交集定義運算即可；（2）選①②③中任何一個，都可以轉化為，討論與求解即可【小問1詳解】化簡集合有當時，，則或故或【小問2詳解】選①②③中任何一個，都可以轉化為（ⅰ）當時，，即時，（ⅱ）當時，若，則，解得綜上（ⅰ）（ⅱ），實數的取值范圍是20、（1）；（2）.【解析】（1）由二倍角公式得，結合和解方程即可；（2）依次計算和的值，代入求解即可.試題解析：（1）由，得，因為，所以，又，所以，所以.（2）因為，所以，所以，于是，又，所以，由（1），所以.21、（1）證明詳見解析；（2）a＞1；（3）證明詳見解析.【解析】（1）取特殊點可以驗證；（2）利用的單調遞減可以求實數a的取值范圍；（3）先證f（x）在上存在零點，然后函數在區間[0，＋∞）上僅有2個零點，f（x）在[π，＋∞）上不存在零點，利用定義說明區間[π，＋∞）不是函數f（x）的V區間.詳解】（1）設x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）若f（x1）＋f（x2）＝1，則所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，取，，滿足定義所以區間（0，2）是函數的V區間（2）因為區間[0，a]是函數的V區間，所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得因為在[0，a]上單調遞減所以，，所以，a-1＞0，a＞1故所求實數a的取值范圍為a＞1（3）因為，，所以f（x