4.4數學歸納法教學設計

課程基本信息學科數學年級高二學期秋季課題4.4數學歸納法教學目標1.了解數學歸納法原理，會用數學歸納法原理證明一些簡單的與正整數有關的命題；2．通過對多米諾骨牌全部倒下的條件的類比和遷移，歸納得到數學數學歸納法的兩個步驟，提高學生數學表達能力和推理論證能力；3.體會從特殊到一般、無窮到有限的辯證思維過程，發展數學抽象素養．教學重難點教學重點：數學歸納法原理的理解及簡單應用．教學難點：理解數學歸納法中兩個步驟的作用．教學過程一、創設情境，問題導入問題1(1)對于一切n∈N*，n2＋n＋11是質數嗎?(2)對于數列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通項公式是an＝eq\f(1,n)嗎?給n賦值計算，寫出你的猜想，并試著證明你的猜想．師生活動對于(1)，學生一般會令n＝1，2，3，4，5…，得12＋1＋11＝13，22＋2＋11＝17，32＋3＋11＝23，42＋4＋11＝31，52＋5＋11＝41…，于是猜想對于一切n∈N*，n2＋n＋11是質數成立．對于(2)令n＝1，2，3…，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，于是猜想an＝eq\f(1,n)成立．追問1這兩個猜想一定成立嗎?師生活動教師引導學生認識到，題(1)中，若令n＝10，得102＋10＋11＝121＝112，所以猜想不成立．對于(2)，即使舉不出反例，但是通過不完全歸納得到的結論，也不能說明對于任意n∈N*，都成立．追問2如果(2)的結論是成立的，如何證明它呢?設計意圖通過設置具體問題，發現運用現有的方法不能證明涉及一切自然數都成立的命題，從而需要研究新的證明方法，引發學習新知識的必要性．同時讓學生看到，用不完全歸納得到的結論不一定成立．二、經驗提煉，探究規律問題2題(2)中，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，這是一個無窮步驟的問題，我們能否通過有限的步驟來解決這一無窮的問題呢?師生活動教師引導學生思考，因為n∈N*，，我們要達到證明的目的，必須用有限的步驟完成．這就需要我們思考，怎樣將“無限”轉化為“有限”，通過有限步驟，證明n∈N*，時，命題成立．追問你在學過的知識里，有將“無限”轉化為“有限”的實例嗎?你認為什么能夠實現這樣的轉化?師生活動學生回顧，教師適時引導，立體幾何中，直線與平面的垂直的定義為：如果一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線與這個平面垂直．直線與平面垂直的判定定理為：一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與這個平面垂直．其定義是“無限”，判定則是“有限”．之所以能夠實現轉化，是因為一個平面可以由兩條相交直線確定，所以一條直線與兩條相交直線垂直就能保證直線與平面垂直．設計意圖類比無限到有限的轉化，實現知識的遷移．情景觀看多米諾骨牌游戲視頻，思考以下問題：問題3要想保證骨牌全部倒下去，需要具備哪些條件呢?師生活動教師組織學生重復觀看視頻，引導學生討論交流歸納，得到骨牌要全部倒下去，需要具備兩個條件：①第一塊骨牌要倒下；②如果某一張骨牌倒下，要能保證它的后一張骨牌也倒下(用數學語言表述：如果第k張倒下，則要使第k＋1張也倒下)．設計意圖通過“多米諾骨牌”視頻游戲，引導學生理解從有限遞推到到無窮所需滿足的兩個條件，逐漸實現問題情景數學化的過渡；同時體會方法的探究過程是來源于生活實踐，并接受實踐的經驗．三、類比分析，形成原理問題4你認為上述題（2）猜想，與多米諾骨牌有相似性嗎?請你完成下表．師生活動學生合作完成下表：多米諾骨牌題（2）解答條件一：第一塊牌倒下；步驟一：證明n＝1時，a1＝1，結論成立；條件二：任意一塊牌倒下，它的后一塊牌也倒下(如果第k張倒下，則要使第k＋1張也倒下)．步驟二：如果n＝k時結論成立，即ak＝eq\f(1,k)，那么有ak＋1＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1時結論也成立．結果：所有骨牌都倒下．結果：結論對一切正整數n都成立．設計意圖通過對多米諾骨牌全部倒下的兩個條件的類比分析，得到完成題（2）解答過程應有的兩個主要步驟，實現了知識的遷移．追問1你能完成上述ak＝eq\f(1,k)ak＋1＝eq\f(1,k＋1)的證明嗎?師生活動學生獨立完成．如果n＝k，即ak＝eq\f(1,k)成立，那么有ak＋1＝eq\f(ak,1＋ak)＝eq\f(eq\f(1,k),1＋eq\f(1,k))＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1時ak＋1＝eq\f(1,k＋1)也成立．追問2如何解釋題（2）猜想的合理性?師生活動由學生解釋，由n＝1時，a1＝1成立，根據步驟二的證明過程知道，就可以得到n＝2時，a2＝eq\f(1,2)成立；由n＝2時，a2＝eq\f(1,2)成立，就可以得到n＝3時，a3＝eq\f(1,3)成立；……所以，對于任意的n∈N*，an＝eq\f(1,n)成立．設計意圖由多米諾骨牌全部倒下的條件分析，遷移到對數學命題的證明過程探究，得到了證明方法．既體現了知識來源于實踐，又通過由猜想到理性分析，培養學生的邏輯推理能力．設計問題追問，也為原理歸納作好鋪墊．問題5從題（2）猜想的解答過程中，你能歸納出證明一個與正整數n有關的命題的一般步驟嗎?師生活動師生共同歸納，證明與一個與正整數有關的命題，可按下列步驟進行：結論結論：對一切正整數n，命題都成立．兩者缺一不可!歸納遞推歸納奠基（1）驗證：當n＝1時，命題成立；(2)證明：假設當n＝k時命題成立，那么當n＝k＋1時命題也成立；這種證明方法叫做數學歸納法．師生活動師生共同理解數學歸納法原理：對于一個與正整數有關的命題，如果①當n取第一個值n0(例如n0＝1，2等)時結論正確；②假設當n＝k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確，證明當n＝k＋1時結論也正確，那么，命題對于從n0開始的所有正整數n都成立．追問1數學歸納法的適用范圍是什么?追問2如果n取的第一個數是5，那么結論又是什么?追問3第二步證明過程中的條件和結論分別是什么?追問4兩個步驟中是否可以省略一個?為什么?設計意圖：教師引導學生歸納數學歸納法的一般步驟及其數學歸納法原理的形式化表達．然后設置問題串，抓住學生思維的起點，逐層剖析，讓學生真正理解數學歸納法的第一步是證明奠基性，第二步是證明遞推性，這樣既突破了難點，又突出了重點．四、數學應用，評析強化例題用數學歸納法證明12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6)(n∈N*)師生活動教師引導學生規范表達，運用數學歸納法證明與正整數n有關的命題．證明：(1)當n＝1時，12＝eq\f(1×2×3,6)，等式成立．(2)假設n＝k時等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)，那么，當n＝k＋1時，有12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)＋(k＋1)2＝eq\f((k＋1)(2k2＋k＋6k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(2k2＋7k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(k＋2)(2k＋3),6)＝eq\f((k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1],6)所以當n＝k＋1時，等式成立．根據(1)(2)可知，對任何n∈N*，等式都成立．鞏固練習觀察下列命題及運用數學歸納法的證明過程，談談你的理解：(1)設n∈N*，求證：2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1．證明假設當n＝k時等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么，當n＝k＋1時，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即當n＝k＋1時，等式成立．因此，當n∈N*時，等式2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1成立．(2)證明：當n∈N*時，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．證明①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．②假設當n＝k時等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，那么，當n＝k＋1時，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝eq\f((1＋2k＋1)(k＋1),2)＝(k＋1)2，即當n＝k＋1時，等式成立．因此，對于當n∈N*時，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．設計意圖：通過例題展示對數學歸納法的理解應用及規范書寫，既強調了學生的主體地位，又突出了教學的針對性．通過鞏固練習辨析，強化理解兩個主要步驟缺一不可：(1)證明奠基性，(2)證明遞推性．幫助學生進一步深刻理解數學歸納法的本質．五、課堂鞏固，總結提升本節課我們發現、歸納、運用了一種新的方法－數學歸納法，通過以下問題談談你的收獲與體會．（1）數學歸納法能夠解決哪一類問題?（2）數學歸納法證明命題的步驟有哪些?（3）我們是怎么發現和歸納出這種方法的?設計意圖通過以問題形式進行總結，既梳理數學歸納法的內容，又提煉了數學歸納法的發生發展過程及其蘊含的思想方法．附：數學歸納法的發展歷程數學歸納法從萌芽到應用，有著悠久的歷史，凝聚了眾多中外數學家的精力和智慧。一般認為歸納推理可以追溯到公元前6世紀畢達哥拉斯時代，完整的歸納推理，即數學歸納法的早期例證是公元前3世紀歐幾里得在《幾何原本》中對素數無限的證明。19世紀意大利數學家皮亞諾建立的序數理論，為數學歸納法提供了理論基礎。在中國，李善蘭和偉烈亞力合譯的《代數學》中，對數學歸